【2021高考復習參考】高三數(shù)學(理)配套黃金練習：7.5

第七章7.5第5課時高考數(shù)學（理）黃金配套練習一、選擇題1．定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質：(ⅰ)1*1=，(ⅰⅰ)（n+1）*1=n*1+1,則n*1等于（）A.nB．n＋1C．n－1D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1).又∵1*1=1,∴n*1=n.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a2011＝()A．3B．－3C．6D．－6答案A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3……∴{an}是以6為周期的周期數(shù)列又2011＝6×335＋1，∴a2011＝a1＝3.選A.3．由于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)是增函數(shù)，而y＝logeq\f(1,2)x是對數(shù)函數(shù)，所以y＝logeq\f(1,2)x是增函數(shù)，上面的推理錯誤的是()A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都是答案A解析y＝logax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，從而導致結論錯誤．選A4．把正整數(shù)按確定的規(guī)章排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設aij(i，j＝N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù)，如a42＝8.若aij＝2009，則i與j的和為()124357681012911131517141618202224…A.105B．106C．107D．108答案C解析由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，2009＝2×1005－1，所以2009為第1005個奇數(shù)，又前31個奇數(shù)行內數(shù)的個數(shù)的和為961，前32個奇數(shù)行內數(shù)的個數(shù)的和為1024，故2009在第32個奇數(shù)行內，所以i＝63，由于第63行的第一個數(shù)為2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.5．設f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，則f2009(x)等于()A．－eq\f(1,x)B．xC.eq\f(x－1,x＋1)D.eq\f(1＋x,1－x)答案D解析計算：f2(x)＝f(eq\f(1＋x,1－x))＝eq\f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq\f(1,x)，f3(x)＝f(－eq\f(1,x))＝eq\f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝eq\f(x－1,x＋1)，f4(x)＝eq\f(1＋\f(x－1,x＋1),1－\f(x－1,x＋1))＝x，f5(x)＝f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，歸納得f4k＋1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，k∈N*，從而f2009(x)＝eq\f(1＋x,1－x).6．已知整數(shù)的數(shù)對列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…則第60個數(shù)對是()A．(3,8)B．(4,7)C．(4,8)D．(5,7)答案D解析觀看可知橫坐標和縱坐標之和為2的數(shù)對有1個，和為3的數(shù)對有2個，和為4的數(shù)對有3個，和為5的數(shù)對有4個，依此類推和為n＋1的數(shù)對有n個，多個數(shù)對的排序是依據(jù)橫坐標依次增大的挨次來排的，由eq\f(n(n＋1),2)＝60?n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10時，eq\f(n(n＋1),2)＝55個數(shù)對，還差5個數(shù)對，且這5個數(shù)對的橫、縱坐標之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60個數(shù)對是(5,7)．7．某紡織廠的一個車間技術工人m名(m∈N*)，編號分別為1,2,3，…，m，有n臺(n∈N*)織布機，編號分別為1,2,3，…，n，定義記號aij：若第i名工人操作了第j號織布機，規(guī)定aij＝1，否則aij＝0，則等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的實際意義是()A．第4名工人操作了3臺織布機B．第4名工人操作了n臺織布機C．第3名工人操作了4臺織布機D．第3名工人操作了n臺織布機答案A解析a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中的第一下標4的意義是第四名工人，其次下標1,2，…，n表示第1號織布機，第2號織布機，……，第n號織布機，依據(jù)規(guī)定可知這名工人操作了三臺織布機．二、填空題8．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，則第5個等式為________，…，推廣到第n個等式為__________________．(留意：按規(guī)律寫出等式的形式，不要求計算結果)答案1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；1－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋3＋…＋n)解析依據(jù)前幾個等式的規(guī)律可知，等式左邊的各數(shù)是自然數(shù)的平方，且正負相間，等式的右邊是自然數(shù)之和且隔項符號相同，由此可推得結果．9．已知扇形的圓心角為2α(定值)，半徑為R(定值)，分別按圖1、圖2作扇形的內接矩形，若按圖1作出的矩形的面積的最大值為eq\f(1,2)R2tanα，則按圖2作出的矩形的面積的最大值為________．答案R2taneq\f(α,2)解析將圖1沿水平邊翻折作出如圖所示的圖形，內接矩形的最大面積S＝2·eq\f(1,2)R2·tanα＝R2·tanα，所以圖2中內接矩形的面積的最大值為R2taneq\f(α,2).10．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,t))＝6eq\r(\f(a,t))，(a，t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推想a，t的值，則a＋t＝________.答案41解析依據(jù)題中所列的前幾項的規(guī)律可知其通項應為eq\r(n＋\f(n,n2－1))＝neq\r(\f(n,n2－1))，所以當n＝6時a＝6，t＝35，a＋t＝41.11．設P是邊長為a的正三角形ABC內的一點，P點到三邊的距離分別為h1、h2、h3，則h1＋h2＋h3＝eq\f(\r(3),2)a；類比到空間，設P是棱長為a的正四周體ABCD內的一點，則P點到四個面的距離之和h1＋h2＋h3＋h4＝________.答案eq\f(\r(6),3)a解析如圖，連接AP，BP，CP，DP，則正四周體ABCD可分成四個小三棱錐，依據(jù)體積相等可得，正四周體的體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)，所以h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.12．觀看下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推想，m－n＋p＝________.答案962解析觀看等式可知，cosα的最高次的系數(shù)2,8,32,128 構成了公比為4的等比數(shù)列，故m＝128×4＝512；取α＝0，則cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350(1)；取α＝eq\f(π,3)，則cosα＝eq\f(1,2)，cos10α＝－eq\f(1,2)，代入等式⑤，得－eq\f(1,2)＝m(eq\f(1,2))10－1280×(eq\f(1,2))8＋1120×(eq\f(1,2))6＋n×(eq\f(1,2))4＋p×(eq\f(1,2))2－1，即n＋4p＝－200(2)．由(1)，(2)可得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝926.13．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結論有：設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．答案eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)解析對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此eq\f(T8,T4)＝a5a6a7a8，eq\f(T12,T8)＝a9a10a11a12，eq\f(T16,T12)＝a13a14a15a16，而T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)的公比為q16，因此T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．三、解答題14．已知橢圓具有如下性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，則KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．試寫出雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)具有的類似的性質，并加以證明．解析雙曲線的類似的性質為：若M，N是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．下面給出證明：設點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，且eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1.又設點P的坐標為(x，y)，由KPM＝eq\f(y－n,x－m)，KPN＝eq\f(y＋n,x＋m)得KPM·KPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)，①將y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2代入①式，得KPM·KPN＝eq\f(b2,a2)(定值)．15．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)，其中a>0，且a≠1.(1)推斷函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上的單調性，并加以證明；(2)推斷f(2)－2與f(1)－1，f(3)－3與f(2)－2的大小關系，由此歸納出一個更一般的結論，并加以證明；解析(1)由已知得f′(x)＝eq\f(alna,a2－1)(ax＋a－x)>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．(2)f(2)－2>f(1)－1，f(3)－3>f(2)－2.一般的結論為：f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)．證明過程如下：事實上，上述不等式等價于f(n＋1)－f(n)>1?eq\f(a2n＋1＋1,an＋1＋an)>1?(an＋1－1)(an－1)>0，在a>0且a≠1的條件下，(an＋1－1)(an－1)>0明顯成立，故f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)成立．拓展練習·自助餐1．自然數(shù)按下列的規(guī)律排列1251017||||4－361118|||9－8－71219||16－15－14－1320|25－24－23－22－21則上起第2007行，左起第2008列的數(shù)為()A．20072B．20082C．2006×2007D．2007×2008答案D解析經觀看可得這個自然數(shù)表的排列特點：①第一列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個數(shù)為n2；②第一行第n個數(shù)為(n－1)2＋1；③第n行從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞減1；④第n列從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞增1.故上起第2007行，左起第2008列的數(shù)，應是第2008列的第2007個數(shù)，即為[(2008－1)2＋1]＋2006＝2007×2008.2．觀看下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第6個圖中有________個小正方形．答案28解析設第n個圖中小正方形個數(shù)為an，則a1＝3，a2＝a1＋3＝6，a3＝a2＋4＝10，a4＝a3＋5＝15，a5＝a4＋6＝21，a6＝a5＋7＝28.3．給出下列不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,2eq\f(5,2)＋5eq\f(5,2)>22·5eq\f(1,2)＋2eq\f(1,2)·52，….請將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的狀況下加以推廣，使上述不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為________．答案am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)解析由“23＋53>22·5＋2·52”，“24＋54>23·5＋2·53”，“2eq\f(5,2)＋5eq\f(5,2)>22·5eq\f(1,2)＋2eq\f(1,2)·52”，可得推廣形式的最基本的印象：應具有“eq\x()eq\x()＋eq\x()eq\x()>eq\x()eq\x()·eq\x()eq\x()＋eq\x()eq\x()·eq\x()eq\x()”的形式．再分析底數(shù)間的關系，可得較細致的印象：應具有“a□＋b□>a□·b□＋a□·b□”的形式．再分析指數(shù)間的關系，可得精確?????的推廣形式：am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)．4．半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長C(r)＝2πr，若將r看做(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr.①①式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)．對于半徑R的球，若將R看做(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于①的式子：______________________________________________________________；②式可用語言敘述為____________________________________________．答案①(eq\f(4,3)πR3)′＝4πR2②球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)5．在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________．答案n2＋n解析第n行的第一個數(shù)是n，第n行的數(shù)構成以n為公差的等差數(shù)列，則其第n＋1項為n＋n·n＝n2＋n.6．如圖，將平面直角坐標系中的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)按如下規(guī)章標上數(shù)字標簽：原點處標0，點(1,0)處標1，點(1，－1)處標2，點(0，－1)處標3，點(－1，－1)處標4，點(－1,0)處標5，點(－1,1)處標6，點(0,1)處標7，依此類推，則標簽20092的格點的坐標為________．解析∵點(1,0)處標1＝12，點(2,1)處標9＝32點(3,2)處標25＝52，點(4,3)處標49＝72，依此類推得(1005,1004)處標20092.答案(1005,1004)老師備選題1．(1)已知函數(shù)f(x)＝x3－x，其圖象記為曲線C.(ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(ⅱ)證明：若對于任意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1(x1，f(x1))處的切線交于另一點P2(x2，f(x2))，曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3，f(x3))，線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則eq\f(S1,S2)為定值；(2)對于一般的三次函數(shù)g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，請給出類似于(1)(ⅱ)的正確命題，并予以證明．解析解法一(1)(ⅰ)由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1＝3(x－eq\f(\r(3),3))(x＋eq\f(\r(3),3))．當x∈(－∞，－eq\f(\r(3),3))和(eq\f(\r(3),3)，＋∞)時，f′(x)＞0；當x∈(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))時，f′(x)＜0.因此，f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－eq\f(\r(3),3))和(eq\f(\r(3),3)，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))．(ⅱ)曲線C在點P1處的切線方程為y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)(x－x1)＋xeq\o\al(3,1)－x1，即y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝(3x\o\al(2,1)－1)x－2x\o\al(3,1)，,y＝x3－x))得x3－x＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1)，即(x－x1)2(x＋2x1)＝0，解得x＝x1或x＝－2x1，故x2＝－2x1.進而有S1＝|eq\i\in(x1,－2x1,)(x3－3xeq\o\al(2,1)x＋2xeq\o\al(3,1))dx|＝|(eq\f(1,4)x4)－eq\f(3,2)xeq\o\al(2,1)x2＋2xeq\o\al(3,1)x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x1,x1))|＝eq\f(27,4)xeq\o\al(4,1).用x2代替x1，重復上述計算過程，可得x3＝－2x2和S2＝eq\f(27,4)xeq\o\al(4,2).又x2＝－2x1≠0，所以S2＝eq\f(27×16,4)xeq\o\al(4,1)≠0，因此有eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,16).(2)記函數(shù)g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的圖象為曲線C′，類似于(1)(ⅱ)的正確命題為：若對于任意不等于－eq\f(b,3a)的實數(shù)x1，曲線C′與其在點P1(x1，g(x1))處的切線交于另一點P2(x2，g(x2))，曲線C′與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3，g(x3))，線段P1P2，P2P3與曲線C′所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則eq\f(S1,S2)為定值．證明如下：由于平移變換不轉變面積的大小，故可將曲線y＝g(x)的對稱中心(－eq\f(b,3a)，g(－eq\f(b,3a)))平移至坐標原點，因而不妨設g(x)＝ax3＋hx，且x1≠0.類似(1)(ⅱ)的計算可得S1＝eq\f(2