漸近線方程公式

漸近線方程公式漸近線是指當$x$無限大或無限小時，函數(shù)曲線趨近于某條直線的狀態(tài)。這條直線稱為此函數(shù)的漸近線。在數(shù)學上，主要考慮以下幾類漸近線：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線。下面將分別給出它們的方程公式。一、水平漸近線：對于函數(shù)$y=f(x)$，若$x$趨向于$+\\infty$或$-\\infty$時，$y$趨向于常數(shù)$L$，則稱$L$為函數(shù)$f(x)$在$+\\infty$或$-\\infty$處的水平漸近線。這里只考慮$x$趨向于$+\\infty$的情況。當$x$趨向于$+\\infty$時，如果$\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)=L$，則函數(shù)$f(x)$的水平漸近線$y=L$。若$\\displaystyle\\lim_{x\\to\\pm\\infty}f(x)=+\\infty$或$\\displaystyle\\lim_{x\\to\\pm\\infty}f(x)=-\\infty$，則此函數(shù)沒有水平漸近線。二、垂直漸近線：對于函數(shù)$y=f(x)$，若$x$趨向于$a$時，$f(x)$的值趨向于$+\\infty$或$-\\infty$，則稱直線$x=a$為函數(shù)$f(x)$的垂直漸近線。當函數(shù)$y=f(x)$的某一點$x=a$處的導數(shù)不存在，且$x$趨向于$a$時，$f(x)$的值趨向于$+\\infty$或$-\\infty$，則直線$x=a$為函數(shù)$f(x)$的垂直漸近線。此時，垂直漸近線的方程為$x=a$。當函數(shù)$y=f(x)$的某一點$x=a$處的左導數(shù)和右導數(shù)都存在，但它們不相等時，則直線$x=a$為函數(shù)$f(x)$的垂直漸近線。三、斜漸近線：對于函數(shù)$y=f(x)$，若$x$趨向于$+\\infty$或$-\\infty$時，函數(shù)曲線趨近于一條斜線$y=kx+b(k\eq0)$，則稱此線為函數(shù)$f(x)$的斜漸近線。1、當$\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\frac{f(x)}{x}=k$，且$\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}(f(x)-kx)=b$時，$y=kx+b$為函數(shù)$y=f(x)$的斜漸近線。2、當$\\displaystyle\\lim_{x\\to-\\infty}\\frac{f(x)}{x}=k$，且$\\displaystyle\\lim_{x\\to-\\infty}(f(x)-kx)=b$時，$y=kx+b$為函數(shù)$y=f(x)$的斜漸近線。下面給出這三種情況的具體例子和解法。一、水平漸近線：例1：求函數(shù)$y=\\dfrac{2x^2-3x+1}{x-2}$的水平漸近線。解：當$x\\rightarrow\\pm\\infty$時，分子的最高次項是$2x^2$，分母的最高次項是$x$，故當$x\\rightarrow\\pm\\infty$時，函數(shù)的值趨近于正負無窮大。因此，此函數(shù)沒有水平漸近線。例2：求函數(shù)$y=\\dfrac{4x^3-6x^2+2}{x+1}$的水平漸近線。解：當$x\\rightarrow\\pm\\infty$時，分子的最高次項是$4x^3$，分母的最高次項是$x$，故當$x\\rightarrow\\pm\\infty$時，函數(shù)的值趨近于正負無窮大。因此，此函數(shù)沒有水平漸近線。二、垂直漸近線：例3：求函數(shù)$y=\\dfrac{2x^2-3x+1}{x-2}$的垂直漸近線。解：當$x=2$時，函數(shù)的值不合理，故直線$x=2$是函數(shù)$y=\\dfrac{2x^2-3x+1}{x-2}$的垂直漸近線。例4：求函數(shù)$y=\\dfrac{4x^3-6x^2+2}{x+1}$的垂直漸近線。解：將分母$x+1$化為$(x-(-1))$的形式，可得：$$y=\\dfrac{4x^3-6x^2+2}{x+1}=\\dfrac{4x^3+4x^2-10x^2-10x+12x-12+14}{x+1}=\\dfrac{4x^2(x+1)-10x(x+1)+12(x-(-1))+14}{x+1}$$將上式的分子化為$x+1$的形式，可得：$$y=\\dfrac{4x^2(x+1)-10x(x+1)+12(x+1)+2}{x+1}=4x^2-10x+12+\\dfrac{2}{x+1}$$當$x\\rightarrow-1$時，$\\dfrac{2}{x+1}\\rightarrow+\\infty$，故直線$x=-1$為函數(shù)$y=\\dfrac{4x^3-6x^2+2}{x+1}$的垂直漸近線。三、斜漸近線：例5：求函數(shù)$y=\\dfrac{2x^2+3x+1}{x+2}$的斜漸近線。解：當$x\\rightarrow\\pm\\infty$時，分子的最高次項是$2x^2$，分母的最高次項是$x$，故當$x\\rightarrow\\pm\\infty$時，函數(shù)的值趨近于正負無窮大。因此，此函數(shù)沒有水平漸近線。當$x=-2$時，函數(shù)的值不合理，故直線$x=-2$是函數(shù)的垂直漸近線。將函數(shù)$y=\\dfrac{2x^2+3x+1}{x+2}$拆分為：$$y=2x-\\dfrac{x+3}{