【原創(chuàng)】江蘇省2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)1-1本章練習(xí)及答案：第二章-09圓錐曲線與方程

本章檢測：圓錐曲線與方程1．拋物線y＝eq\f(1,a)x2的焦點坐標是 2．以eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為3．中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線3x－4y＋12＝0上的等軸雙曲線方程是4．設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為eq\f(1,2)，則此橢圓的方程為5．拋物線2y＝x2上距離點A(0，a)(a＞0)最近的點恰好是頂點，這個結(jié)論成立的充要條件是6．設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線x2－4y2＝4a2(a＞0)的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2，則a的值為7．等軸雙曲線x2－y2＝a2截直線4x＋5y＝0所得的弦長為eq\r(41)，則雙曲線的實軸長是 ()．8．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則橢圓的離心率是 ．9．過拋物線y＝ax2(a>0)的焦點F作始終線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)等于10．已知點A(0，－3)，B(2,3)，點P在x2＝y(tǒng)上，當△PAB的面積最小時，點P的坐標是 11．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距為2，則m＝________.12．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜a)中心的直線與橢圓交于A、B兩點，右焦點為F2(c,0)，則△ABF2的最大面積是______．13．已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點．若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為________．14．已知拋物線y2＝－2px(p＞0)的焦點F恰好是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左焦點，且兩曲線的公共點的連線過F，則該橢圓的離心率為________．15．設(shè)O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，eq\o(FA,\s\up6(→))與x軸正方向的夾角為60°，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|為__________．16．(13分)已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1有公共的焦點，并且橢圓的離心率與雙曲線的離心率之比為eq\f(3,7)，求雙曲線的方程．17．(13分)如圖，已知橢圓長軸|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝4eq\r(2).過橢圓焦點F1作始終線，交橢圓于兩點M，N.(1)求橢圓的方程；(2)當∠F2F1M＝eq\f(π,4)時，求|MN|.18．(13分)已知兩點A(eq\r(2)，0)、B(－eq\r(2)，0)，動點P在y軸上的射影為Q，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))2.(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)設(shè)直線m過點A，斜率為k，當0<k<1時，曲線E的上支上有且僅有一點C到直線m的距離為eq\r(2)，試求k的值及此時點C的坐標．19．(12分)如圖所示，若橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1上存在兩點A、B關(guān)于l：y＝4x＋m對稱，求m的取值范圍．20．(12分)橢圓C的一個焦點F恰好是拋物線y2＝－4x的焦點，離心率是雙曲線x2－y2＝4離心率的倒數(shù)．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，當點G的橫坐標為－eq\f(1,4)時，求直線l的方程．1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))2.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.3.x2－y2＝84.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝15.0＜a≤1解析設(shè)拋物線上任一點P(x0，y0)，則|AP|＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y0－a2)＝eq\r(2y0＋y\o\al(2,0)－2ay0＋a2)＝eq\r(y\o\al(2,0)＋21－ay0＋a2)＝eq\r(y0＋1－a2＋2a－1).由于y0≥0，若|AP|在y0＝0時取最小值，則1－a≥0，所以a≤1，故0＜a≤1.6.1解析雙曲線為eq\f(x2,4a2)－eq\f(y2,a2)＝1，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2＝4c2＝20a2，即：(|eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))|)2＋2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝20a2，∴16a2＋4＝20a2，∴a2＝1，∵a＞0，∴7.3解析直線4x＋5y＝0過原點，可設(shè)弦的一端為(x1，y1)，則有eq\r(1＋\f(16,25)x\o\al(2,1))＝eq\f(\r(41),2)，可得xeq\o\al(2,1)＝eq\f(25,4)，取x1＝eq\f(5,2)，y1＝－2，∴a2＝eq\f(25,4)－4＝eq\f(9,4)，∴|a|＝eq\f(3,2)，∴2|a|＝3.8.eq\f(1,2)解析本題主要考查圓錐曲線中橢圓的幾何性質(zhì)．左焦點F(－c,0)，右頂點A(a,0)，不妨設(shè)點B在其次象限，則B(－c，eq\f(b2,a))，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))得：xP－xA＝2(xB－xP)，代入坐標得，0－a＝2(－c－0)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).9.4a解析如圖所示，設(shè)PQ與x軸成θ角，焦點F到準線的距離為eq\f(1,2a)，∴p＝eq\f(1,2a)－psinθ，∴p＝eq\f(1,2a1＋sinθ)，∴eq\f(1,p)＝2a(1＋sinθ)，q＝eq\f(1,2a)＋qsinθ，∴q＝eq\f(1,2a1－sinθ)，∴eq\f(1,q)＝2a(1－sinθ)，∴eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)＝4a.10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))解析因△PAB中，AB的長為定值，因此AB邊上的高最小時，S△PAB的面積最小，平移直線AB使之與拋物線相切，此時兩直線間的距離為P到AB距離的最小值．由題設(shè)條件得AB的方程為y＝3x－3.即3x－y－3＝0，設(shè)相切時直線方程為3x－y＋m＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y(tǒng)，3x－y＋m＝0))消去y得x2－3x－m＝0，Δ＝9＋4m∴m＝－eq\f(9,4)，進而求得x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(9,4).11.5或312.解析S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2＝eq\f(1,2)c·|y1|＋eq\f(1,2)c·|y2|(y1、y2分別為A、B兩點的縱坐標)，∴S△ABF2＝eq\f(1,2)c|y1－y2|≤eq\f(1,2)c·2b＝bc.答案bc13.解析設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)．聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，y＝x))整理得x2－2px＝0.又∵直線與拋物線交于A，B兩點，∴xA＋xB＝2p.又eq\f(xA＋xB,2)＝2，∴2p＝4，即拋物線C的方程為y2＝4x.答案y2＝4x14.解析由題意知：－eq\f(p,2)＝－eq\r(a2－b2)①且eq\f(2b2,a)＝2p②由①②得：eq\f(b2,2a)＝eq\r(a2－b2)＝c，∴b2＝2ac，又a2＝b2＋c2∴a2＝2ac＋c2即e2＋2e∴e＝eq\r(2)－1.答案eq\r(2)－115.解析設(shè)A(x，y)(x>0，y>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，kAF＝\f(y,x－\f(p,2))＝\r(3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)p，x＝\f(3p,2).))∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(21),2)p.答案eq\f(\r(21),2)p16.解橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1的焦點為F1(0，－eq\r(13))，F(xiàn)2(0，eq\r(13))．離心率e＝eq\f(\r(13),7).∴雙曲線的離心率eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，又∵c＝eq\r(13)，∴a＝3，∴b2＝c2－a2＝4，∴雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝117.解(1)由題意知：2a＝6,2c＝4eq\r(2)，∴b2＝a2－c2＝9－8＝1，且焦點在x軸上，∴橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)當∠F2F1M＝eq\f(π,4)時，直線MN的斜率k＝1.又F1(－2eq\r(2)，0)，∴直線MN的方程為y＝x＋2eq\r(2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋y2＝1，y＝x＋2\r(2)))得：10x2＋36eq\r(2)x＋63＝0.若M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(18\r(2),5)，x1x2＝eq\f(63,10).∴|MN|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(6,5).即|MN|的長為eq\f(6,5).18.解(1)設(shè)動點P的坐標為(x，y)，則點Q(0，y)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－x,0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)－x，－y)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2－2＋y2，由于eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))2，所以x2－2＋y2＝2x2，即動點P的軌跡方程為y2－x2＝2.(2)設(shè)直線m：y＝k(x－eq\r(2))(0<k<1)，依題意，點C在與直線m平行且與m之間的距離為eq\r(2)的直線上，設(shè)此直線為m1：y＝kx＋b，由eq\f(|\r(2)k＋b|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，得b2＋2eq\r(2)kb＝2.①把y＝kx＋b代入y2－x2＝2，整理，得(k2－1)x2＋2kbx＋(b2－2)＝0.則Δ＝4k2b2－4(k2－1)(b2－2)＝0，即b2＋2k2＝2.②由①②得k＝eq\f(2\r(5),5)，b＝eq\f(\r(10),5)，此時，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2\r(5),5)x＋\f(\r(10),5)，y2－x2＝2))?C(2eq\r(2)，eq\r(10))．19.解設(shè)直線AB的方程為y＝－eq\f(1,4)x＋n，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x＋n，\f(x2,2)＋\f(y2,3)＝1))消去y得25x2－8nx＋16n2－48＝0.∵AB與橢圓有兩公共點A、B，∴方程有兩實根，∴Δ>0，即n2<eq\f(25,8).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(8n,25)，設(shè)AB中點M(x0，y0)，則x0＝eq\f(4,25)n，y0＝－eq\f(1,4)x0＋n＝eq\f(24,25)n.即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,25)n，\f(24,25)n))，又點M在直線y＝4x＋m上，∴eq\f(24,25)n＝eq\f(16n,25)＋m，∴n＝eq\f(25,8)m，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\