2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.6-對數(shù)與對數(shù)函數(shù)-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.6-對數(shù)與對數(shù)函數(shù)-專項訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1．已知eq\f(1,logm3)＝p，9p＝n，其中m＞0且m≠1，n＞0且n≠1.若2m－n＝0，則p的值為()A．log32 B．log23C．2 D．32．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關(guān)系式為P＝P0e－kt，其中P0，k為正常數(shù)．如果一定量的廢氣在前10h的過濾過程中污染物被消除了20%，那么污染物減少到最初含量的50%還需要經(jīng)過多長時間？(結(jié)果四舍五入取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln5≈1.609)()A．11h B．21hC．31h D．41h3．若函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[0，1]，則a等于()A．eq\f(1,2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．24．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)且f(2)＝1，則f(x)等于()A．log2x B．eq\f(1,2x)C．logeq\s\do9(\f(1,2))x D．2x-25．已知a＝2eq\s\up8(－\f(1,2))，b＝log420，c＝log312，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．a(chǎn)＜b＜c6．已知a＝log0.12，b＝log5eq\r(2)，則()A．a(chǎn)b＜0＜a＋b B．a(chǎn)b＜a＋b＜0C．a(chǎn)＋b＜0＜ab D．a(chǎn)＋b＜ab＜07．若實數(shù)x，y，z互不相等，且滿足2x＝3y＝log4z，則()A．z＞x＞y B．z＞y＞xC．x＞y，x＞z D．z＞x，z＞y8．若a＝log23，3b＝2，則2a＋2－a＝________，ab＝________．9．函數(shù)f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值為________．10．若函數(shù)y＝f(x)與y＝5x互為反函數(shù)，則y＝f(x2－2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．11．設(shè)實數(shù)a，b是關(guān)于x的方程|lgx|＝c的兩個不同實數(shù)根，且a<b<10，則abc的取值范圍是________．12．設(shè)f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)x∈[1，2]時，求f(x)的最大值．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．(多選)已知函數(shù)f(x)＝ln(e2x＋1)－x，則()A．f(ln2)＝lneq\f(5,2)B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增D．f(x)的最小值為ln22．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正確的是()A．(1－a)eq\s\up6(\f(1,3))＞(1－a)eq\s\up6(\f(1,2))B．log(1－a)(1＋a)＞0C．(1－a)3＞(1＋a)2D．(1－a)1+a＞13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))，x≤－1，,－\f(1,3)x2＋\f(4,3)x＋\f(2,3)，x＞－1.))若f(x)在區(qū)間[m，4]上的值域為[－1，2]，則實數(shù)m的取值范圍為________．4．已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)當(dāng)x∈[1，4]時，求函數(shù)h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果對任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1．解析：因為eq\f(1,logm3)＝p，所以log3m＝p，得m＝3p，所以2m－n＝2×3p－9p＝2×3p－(3p)2＝0，即3p(2－3p)＝0.因為3p≠0，所以3p＝2，解得p＝log32.答案：A2．解析：由已知得eq\f(4,5)＝e-10k，方程兩邊同取自然對數(shù)得lneq\f(4,5)＝－10k，所以k＝eq\f(2ln2－ln5,－10)≈0.0223.設(shè)污染物減少到最初含量的50%需要經(jīng)過th，則eq\f(1,2)＝e-0.0223t，方程兩邊同取自然對數(shù)得lneq\f(1,2)＝－0.0223t，解得t≈31.所以還需要經(jīng)過31－10＝21h使污染物減少到最初含量的50%.答案：B3．解析：當(dāng)a＞1時，函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)在[0，1]上是增函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(0)＝0，,f(1)＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga1＝0，,loga2＝1，))解得a＝2.當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)在[0，1]上是減函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(0)＝1，,f(1)＝0，))無解．綜上，a＝2.答案：D4．解析：函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)是f(x)＝logax.又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.答案：A5．解析：因為a＝2eq\s\up8(－\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)∈(0，1)，b＝log420＝1＋log45＞1，c＝log312＝1＋log34＞1，所以a＜b，a＜c.下面比較log45和log34的大?。甽og45－log34＝eq\f(ln5,ln4)－eq\f(ln4,ln3)＝eq\f(ln5ln3－(ln4)2,ln4·ln3)≤eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln5＋ln3,2)))\s\up12(2)－(ln4)2,ln4ln3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln15,2)－ln4))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln15,2)＋ln4)),ln4ln3)＜0，所以log45＜log34，即b＜c.綜上，a＜b＜c.答案：D6．解析：因為a＝log0.12＜0，b＝log5eq\r(2)＞0，所以ab＜0.又因為a＋b＝log0.12＋log5eq\r(2)＝eq\f(lg2,lg0.1)＋eq\f(lg\r(2),lg5)＝－lg2＋eq\f(lg2,2lg5)＝eq\f(lg2(1－lg25),lg25)＜0，所以a＋b＜0.又eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log20.1＋logeq\a\vs4\al(\r(2))5＝log20.1＋log225＝log22.5＞1，所以eq\f(a＋b,ab)＞1.又ab＜0，所以a＋b＜ab，所以a＋b＜ab＜0.答案：D7．解析：設(shè)2x＝3y＝log4z＝k＞0，則x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象易得4k＞log2k，4k＞log3k，即z＞x，z＞y.答案：D8．解析：2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).∵3b＝2，∴b＝log32，∴ab＝log23×log32＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝1.答案：eq\f(10,3)19．解析：依題意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，當(dāng)log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(\r(2),2)時等號成立，所以函數(shù)f(x)的最小值為－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)10．解析：因為y＝f(x)與y＝5x互為反函數(shù)，所以f(x)＝log5x，則f(x2－2x)＝log5(x2－2x).設(shè)μ＝x2－2x，則f(μ)＝log5μ.由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2.因為f(μ)＝log5μ在其定義域上單調(diào)遞增，又μ＝x2－2x在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以y＝f(x2－2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0).答案：(－∞，0)11．解析：由題意知，在(0，10)上，函數(shù)y＝|lgx|的圖象和直線y＝c有兩個不同交點(如圖)，∴ab＝1，0<c<lg10＝1，∴abc的取值范圍是(0，1).答案：(0，1)12．解：(1)因為f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(a－b)＝1，,log2(a2－b2)＝log212，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a2－b2＝12，))解得a＝4，b＝2.(2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，令t＝4x－2x，則t＝4x－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4).因為1≤x≤2，所以2≤2x≤4，所以eq\f(9,4)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(49,4)，即2≤t≤12.因為y＝log2t在[2，12]上單調(diào)遞增，所以ymax＝log212＝2＋log23，即函數(shù)f(x)的最大值為2＋log23.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．解析：f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝lneq\f(5,2)，A正確；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－lnex＝lneq\f(e2x＋1,ex)＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，B錯誤；當(dāng)x＞0時，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，C正確；由于f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為f(0)＝ln2，D正確．答案：ACD2．解析：因為0＜a＜1，所以y＝(1－a)x是減函數(shù)．又eq\f(1,3)＜eq\f(1,2)，所以(1－a)eq\s\up6(\f(1,3))＞(1－a)eq\s\up6(\f(1,2)).因為0＜1－a＜1，1＋a＞1，所以log(1－a)(1＋a)＜0，0＜(1－a)3＜1，(1＋a)2＞1，0＜(1－a)1+a＜1，所以(1－a)3＜(1＋a)2.答案：A3．解析：作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．當(dāng)x≤－1時，函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))單調(diào)遞減，且最小值為f(－1)＝－1.令log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))＝2，解得x＝－8.當(dāng)x＞－1時，函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3)在(－1，2)上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則最大值為f(2)＝2.又f(4)＝eq\f(2,3)＜2，f(－1)＝－1，所以實數(shù)m的取值范圍為[－8，－1].答案：[－8，－1]4．解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2.因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函數(shù)h(x)的值域為[0，2].(2)由f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)