2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-9.5-拋物線-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-9.5-拋物線-專項訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1．已知拋物線x2＝2py(p>0)上的一點M(x0，1)到其焦點的距離為2，則該拋物線的焦點到其準線的距離為()A．6 B．4C．3 D．22．在平面直角坐標系Oxy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2，0)的距離小1，則P的軌跡方程為()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝－4x D．y2＝－8x3．設(shè)M是拋物線y2＝4x上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O是坐標原點．若∠OFM＝120°，則|FM|等于()A．3 B．4C．eq\f(4,3) D．eq\f(7,3)4．(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4，直線l過點F且與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2).若M(m，2)是線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．p＝4B．拋物線方程為y2＝16xC．直線l的方程為y＝2x－4D．|AB|＝105．如圖是拋物線形拱橋，當水面為l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，則水位下降1米后，水面寬________米．6．過拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，當點A的縱坐標為1時，|AF|＝2.(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C上存在點M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．7．已知在拋物線C：x2＝2py(p>0)的第一象限的點P(x，1)到其焦點的距離為2.(1)求拋物線C的方程和點P的坐標；(2)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))的直線l交拋物線C于A，B兩點，若∠APB的平分線與y軸垂直，求弦AB的長．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．(多選)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線r：y2＝x，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線l1從點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))射入，經(jīng)過r上的點A(x1，y1)反射后，再經(jīng)r上另一點B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點Q，則下列結(jié)論正確的是()A．y1y2＝－1B．|AB|＝eq\f(25,16)C．PB平分∠ABQD．延長AO交直線x＝－eq\f(1,4)于點C，則C，B，Q三點共線2．在平面直角坐標系Oxy中，點A(1，0)，B(9，6)，動點C在線段OB上，BD⊥y軸，CE⊥y軸，CF⊥BD，垂足分別是D，E，F(xiàn)，OF與CE相交于點P.已知點Q在點P的軌跡上，且∠OAQ＝120°，則|AQ|等于()A．4 B．2C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)3．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點M是拋物線C上一點，MH⊥l于H.若|MH|＝4，∠HFM＝60°，則拋物線C的方程為________．4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線C上的兩個動點，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，設(shè)線段AB的中點M在準線l上的射影為點N，則eq\f(|MN|,|AB|)的值是________．5．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點與橢圓：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一個焦點重合．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l：x＝my＋4交拋物線C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，O為原點，求證：eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→)).參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1．解析：由題可知，拋物線準線為y＝－eq\f(p,2)，可得1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，所以該拋物線的焦點到其準線的距離為p＝2.答案：D2．解析：由題意知動點P(x，y)到直線x＝2的距離與到定點(－2，0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2，0)為焦點，x＝2為準線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.答案：D3．解析：過點M作拋物線的準線l的垂線，垂足為點N，連接FN，如圖所示．因為∠OFM＝120°，MN∥x軸，則∠FMN＝60°，由拋物線的定義可得|MN|＝|FM|，所以△FNM為等邊三角形，則∠FNM＝60°，拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，設(shè)直線x＝－1交x軸于點E，則∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，則|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.答案：B4．解析：由焦點F到準線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p＝4，故A正確；則拋物線的方程為y2＝8x，焦點F(2，0)，故B錯誤；則yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，若M(m，2)是線段AB的中點，則y1＋y2＝4，∴yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8x1－8x2，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(8,4)＝2，∴直線l的方程為y＝2x－4，故C正確；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正確．答案：ACD5．解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，則點(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當y＝－3時，x2＝6，所以水面寬為2eq\r(6)米．答案：2eq\r(6)6．解：(1)拋物線C：x2＝2py(p>0)的準線方程為y＝－eq\f(p,2)，焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).當點A的縱坐標為1時，|AF|＝2，∴1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y.(2)∵點M(－2，y0)在拋物線C上，∴y0＝eq\f((－2)2,4)＝1，M坐標為(－2，1).又直線l過點F(0，1)，∴設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1).∵MA⊥MB，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.當k＝0時，l過點M，不符合題意，∴k＝2，∴直線l的方程為y＝2x＋1.7．解：(1)由1＋eq\f(p,2)＝2，可得p＝2，故拋物線的方程為x2＝4y，當y＝1時，x2＝4.又因為x>0，所以x＝2，所以點P的坐標為(2，1).(2)由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)＋eq\f(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋k＋\f(1,2)，,x2＝4y，))得x2－4kx－4k－2＝0，所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2.因為∠APB的平分線與y軸垂直，所以kPA＋kPB＝0，所以kPA＋kPB＝eq\f(y1－1,x1－2)＋eq\f(y2－1,x2－2)＝0，即eq\f(\f(xeq\o\al(2,1),4)－1,x1－2)＋eq\f(\f(xeq\o\al(2,2),4)－1,x2－2)＝0，即x1＋x2＋4＝0，所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝4.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．解析：設(shè)拋物線的焦點為F，如圖所示，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).因為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))，且l1∥x軸，故A(1，1)，故直線AF：y＝eq\f(1－0,1－\f(1,4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＝eq\f(4,3)x－eq\f(1,3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x，))可得y2－eq\f(3,4)y－eq\f(1,4)＝0，故y1y2＝－eq\f(1,4)，故A錯誤；又y1＝1，故y2＝－eq\f(1,4)，故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，故|AB|＝1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,16)，故B正確；因為|AP|＝eq\f(41,16)－1＝eq\f(25,16)＝|AB|，故△APB為等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正確；直線AO：y＝x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＝－\f(1,4)．))可得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y(tǒng)2，所以C，B，Q三點共線，故D正確．答案：BCD2．解析：設(shè)P(x，y)，則yC＝y(tǒng)，∵lOB：y＝eq\f(2,3)x，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)y，y))，∴E(0，y)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)y，6)).∵FC∥y軸，∴△OPE∽△FPC，∴eq\f(EP,CP)＝eq\f(OE,FC)，∴eq\f(x,\f(3,2)y－x)＝eq\f(y,6－y)，即y2＝4x，∴P的軌跡方程為y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1，0)為該拋物線的焦點．設(shè)Q(x0，y0)，則yeq\o\al(2,0)＝4x0，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(x0－1，y0)，eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1，0)，∴cos∠OAQ＝eq\f(\o(AO,\s\up6(→))·\o(AQ,\s\up6(→)),|\o(AO,\s\up6(→))|·|\o(AQ,\s\up6(→))|)＝eq\f(1－x0,\r((x0－1)2＋yeq\o\al(2,0))·1)＝eq\f(1－x0,x0＋1)＝－eq\f(1,2)，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋eq\f(p,2)＝3＋1＝4.答案：A3．解析：因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，所以△MHF為正三角形，所以|HF|＝4，記準線l與x軸交于點Q，則∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin30°＝2，所以該拋物線方程為y2＝4x.答案：y2＝4x4．解析：如圖所示，作BE⊥l，AD⊥l，設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，由拋物線定義得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b.因為AF⊥AB，∠ABF＝30°，所以b＝2a，則|MN|＝eq\f(3a,2).又|AB|＝eq\r(b2－a2)＝eq\r(3)a，故eq\f(|MN|,|AB|)＝eq\f(\f(3a,2),\r(3)a)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)5．(1)解：因為橢圓：eq\f(x2,4)＋