天一大聯(lián)考頂尖聯(lián)盟2024屆高三階段性測(cè)試(二)（老教材版）理科數(shù)學(xué)試題

天一大聯(lián)考頂尖聯(lián)盟2024屆高三階段性測(cè)試(二)（老教材版）

理科數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的共軛復(fù)數(shù)（）A．B．C．D．2．已知集合，則（）A．B．C．D．3．已知向量，若，則（）A．B．2C．D．64．設(shè)函數(shù)，數(shù)列，滿(mǎn)足，則（）A．B．C．D．5．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，且，則（）A．B．C．D．6．通過(guò)驗(yàn)血診斷某疾病的誤診率（將未患病者判定為陽(yáng)性的概率）為，漏診率（將患病者判定為陰性的概率）為，現(xiàn)對(duì)2名未患病者和1名患病者進(jìn)行驗(yàn)血，每人的診斷結(jié)果互不影響，則診斷結(jié)果均為陰性的概率為（）A．B．C．D．7．斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，小李以前6項(xiàng)數(shù)字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為（）A．144B．120C．108D．968．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．c．D．9．陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，如圖所示，某陀螺可以視為由圓錐和圓柱組合而成，點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，且的面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為3，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．10．已知函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．311．已知是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上除頂點(diǎn)外的一點(diǎn)，，且，則的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．12．已知，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知橢圓的離心率為，則______．14．已知滿(mǎn)足約束條件，則的最小值是______．15．在正四棱柱中，，平面與棱分別交于點(diǎn)，其中分別是的中點(diǎn)，且，則______．16．已知，若，則的最小值為_(kāi)_____．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）隨著寒冷冬季的到來(lái)，羽絨服進(jìn)入了銷(xiāo)售旺季，某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了400人，詢(xún)問(wèn)他們選購(gòu)羽絨服時(shí)更關(guān)注保暖性能還是更關(guān)注款式設(shè)計(jì)，得到以下的列聯(lián)表：更關(guān)注保暖性能更關(guān)注款式設(shè)計(jì)合計(jì)女性16080240男性12040160合計(jì)280120400（Ⅰ）是否有的把握認(rèn)為男性和女性在選購(gòu)羽線(xiàn)服時(shí)的關(guān)注點(diǎn)有差異？（Ⅱ）若從這400人中按男女比例用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行采訪，再?gòu)倪@5人中任選2人贈(zèng)送羽線(xiàn)服，記為抽取的2人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.100.050.0102.7063.8416.63518．（12分）如圖，矩形與梯形所在的平面垂直，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．（12分）在數(shù)列中，已知．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（12分）已知為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求的面積；（Ⅱ）若為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與的斜率之積恒等于，作為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，求的取值范圍；（Ⅱ）若，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)（為參數(shù)），為的傾斜角，與軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，且的面積為．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求的值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）設(shè)，若的最小值為2，求的最小值．

理科數(shù)學(xué)（老教材版）答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1．答案D命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算．解析，故．2．答案C命題意圖本題考查集合的運(yùn)算．解析因?yàn)?，所以?．答案B命題意圖本題考查平面向量的數(shù)量積．解析，因?yàn)椋?，得?．答案C命題意圖本題考查數(shù)列的概念與性質(zhì)．解析由題意知，可知．5．答案C命題意圖本題考恒三角形的面積公式和余弦定理．解析由題意得，則，所以，故，又，所以．6．答案A命題意圖本題考查概率的計(jì)算．解析未患病者的診斷結(jié)果為陰性的概率為，患病者的診斷結(jié)果為陰性的概率為q，所以對(duì)2名未患病者和1名患病者進(jìn)行驗(yàn)血，診斷結(jié)果均為陰性的概率為．7．答案A命題意圖本題考查排列與組合的應(yīng)用．解析先排數(shù)字2，3，5，8，有種排法，4個(gè)數(shù)字形成5個(gè)空當(dāng)．第一類(lèi)：若兩個(gè)1相鄰，則從可選擇的3個(gè)空當(dāng)中選出一個(gè)放入兩個(gè)1，有3種排法；第二類(lèi)：若兩個(gè)1也不相鄰，則從可選擇的3個(gè)空當(dāng)中選出兩個(gè)分別放入數(shù)字1，有3種排法．所以密碼個(gè)數(shù)為．8．答案D命題意圖本題考查函數(shù)的單調(diào)性．解析由，得，所以的定義域?yàn)椋O(shè)，易得在上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．9．答案B命題意圖本題考查圓柱與圓錐的結(jié)構(gòu)特征．解析設(shè)圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，則的面積為，解得，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積為，所以．故該幾何體的體積為．10．答案D命題意圖本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解析令，得，又，所以只能是，得，在區(qū)間內(nèi)，有共3個(gè)零點(diǎn)．11．答案A命題意圖本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)．解析設(shè)，顯然，則，所以的離心率．由于，所以，所以的取值范圍是．12．答案B命題意圖本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義．解析有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于曲線(xiàn)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，二者不可能有交點(diǎn)，只需考慮時(shí)的情況．設(shè)，若，則，易知曲線(xiàn)與直線(xiàn)在點(diǎn)處相切；若，當(dāng)時(shí)，，所以，所以曲線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)；若，則，所以，曲線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上可得，滿(mǎn)足條件的的取值范圍是．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．答案命題意圖本題考查橢圓的性質(zhì)．解析因?yàn)?，所以，解得?4．答案命題意圖本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題．解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最小值，且．15．答案3命題意圖本題考查空間位置關(guān)系的判斷以及相關(guān)計(jì)算．解析因?yàn)槠矫娼?jīng)過(guò)棱的中點(diǎn)，所以四邊形為菱形，且易證．又因?yàn)?，所以平面，所以，且?jīng)過(guò)的中點(diǎn)．在矩形中利用三角形相似可計(jì)算得．16．答案命題意圖本題考查三角恒等變換的應(yīng)用．解析由題意知，由題意知，因此．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．命題意圖本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和超幾何分布的相關(guān)計(jì)算．解析（Ⅰ）因?yàn)?，因?yàn)?，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為男性和女性在選購(gòu)羽線(xiàn)服時(shí)的關(guān)注點(diǎn)有差異．（Ⅱ）選出的男性人數(shù)為，選出的女性人數(shù)為，由題意可得的所有可能取值為0，1，2，，故的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望．18．命題意圖本題考查面面垂直的證明以及二面角的計(jì)算．解析（Ⅰ）因?yàn)?，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕诰匦沃?，為的中點(diǎn)，所以，根據(jù)勾股定理可得．因?yàn)椋云矫?，所以平面平面．（Ⅱ）以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．所以．設(shè)平面的法向量為，由得令，則．同理可得平面的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為，故，即二面角的余弦值為．19．命題意圖本題考查遞推關(guān)系與等比數(shù)列的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．解析（Ⅰ）因?yàn)椋裕允鞘醉?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．設(shè)前項(xiàng)和為，則，，兩式相減可得，所以．20．命題意圖本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系．解析（Ⅰ）由題可得，解得，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的方程為．由題意可知直線(xiàn)不與軸平行，設(shè)直線(xiàn)的方程為，則．聯(lián)立方程得整理可得，則，且①，②．，同理可得．由題意得，即，將①②代入可得，即．故直線(xiàn)的方程可化為，即，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．因?yàn)橛邳c(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故存在的中點(diǎn)，即，使得，為定值．21．命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)．解析（Ⅰ），可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．令，作出與的大致圖象如圖所示，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏呢?fù)整數(shù)，使得，則，故即，故的取值范圍為．（Ⅱ）根據(jù)題意，對(duì)恒成立，等價(jià)于對(duì)恒成立．令，則有，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又時(shí)，時(shí)，，從而存在唯一的，使得，即，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，故原不等式恒成立只需，即．構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)椋瑥亩傻迷跁r(shí)恒成立，又，所以的解集為．又因?yàn)?，令，易得在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以