2024屆廣州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月模擬考試卷及答案解析

屆廣州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月模擬考試卷2024.1一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3．正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（

）

A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．B．C． D．6．若函數(shù)，的值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．向量，且，則（

）A． B． C． D．8．如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與分別在第一?二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知斜率為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C． D．為中點(diǎn)10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是的圖象的一條對(duì)稱軸C．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)解析式為D．在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)11．若函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．有且僅有1個(gè)零點(diǎn) D．的一條切線方程為12．如圖，已知二面角的棱上有，兩點(diǎn)，，，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．當(dāng)二面角的大小為時(shí)，與平面所成的角為C．若，則四面體的體積為D．若，則二面角的余弦值為三、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系中，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為，則的方程為．14．在中，，若，則．15．與直線和直線都相切且圓心在第一象限，圓心到原點(diǎn)的距離為的圓的方程為．16．設(shè)雙曲線()的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為H，若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為．四、解答題17．已知，，分別是三角形三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，已知，，(1)求的值；(2)求的周長(zhǎng).18．已知等比數(shù)列的第二?三?四項(xiàng)分別是等差數(shù)列的第二?五?十四項(xiàng)，且等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列對(duì)任意均有成立，求的值.19．已知四邊形為矩形，，，且平面，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且平面，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求與平面所成線面角的正弦值.20．設(shè)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且不與軸垂直的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，為的外心，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．中國(guó)象棋是中國(guó)棋文化，也是中華民族的文化瑰寶，它源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，趣味濃厚，基本規(guī)則簡(jiǎn)明易懂.在中國(guó)有著深厚的群眾基礎(chǔ)，是普及最廣的棋類項(xiàng)目.某地區(qū)舉行中國(guó)象棋比賽，先進(jìn)行小組賽，每三人一組，采用單循環(huán)賽（任意兩人之間只賽一場(chǎng)），每場(chǎng)比賽勝者積3分，負(fù)者積0分，平局各1分.根據(jù)積分排名晉級(jí)淘汰賽，若出現(xiàn)積分相同的情況，則再進(jìn)行加賽.已知甲、乙、丙三人分在同一個(gè)小組，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲、乙對(duì)局時(shí)，甲勝概率為，平局概率為；甲、丙對(duì)局時(shí)，甲勝概率為，平局概率為；乙、丙對(duì)局時(shí)，乙勝概率為，平局概率為.各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，若只考慮單循環(huán)賽的三場(chǎng)比賽，求：(1)甲積分的期望；(2)甲、乙積分相同的概率22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．C【分析】利用定義域的求法化簡(jiǎn)集合B，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C2．A【分析】由得，或，可知“”是“”充分不必要條件.【詳解】充分性：若，則；必要性：若則，則，得，或，故不滿足必要性綜上“”是“”充分不必要條件，故選：A3．B【分析】利用四棱錐體積公式，可得正八面體的體積，再根據(jù)正三角形面積公式可得正八面體的表面積.【詳解】

如圖所示，連接，，則四邊形為正方形，且平面，由正八面體可知，，則，，所以，表面積，所以，故選：B.4．D【分析】由已知求出，再利用余弦函數(shù)的二倍角公式求解即可.【詳解】，則，故選：D.5．C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，以及求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解相應(yīng)不等式.【詳解】，，為奇函數(shù)，則，，，，為減函數(shù)，又，則，，或.故選：C6．D【分析】利用可得，再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知若，則可得；顯然當(dāng)時(shí)，可得，由的值域?yàn)?，利用三角函?shù)圖像性質(zhì)可得，解得，即的取值范圍是.故選：D7．A【分析】利用平面向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)計(jì)算夾角即可.【詳解】由已知可得，又，所以.故選：A8．D【分析】根據(jù)雙曲線定義和幾何性質(zhì)，結(jié)合圓的切線長(zhǎng)定理與余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)分別為，則，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，從而，所以.故選：D.9．BCD【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識(shí)來(lái)判斷各選項(xiàng)命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，設(shè)，，由，則，可得，所以，,解得所以,所以B正確.，得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以,滿足,所以C正確.而,所以D正確.故選：BCD10．AB【分析】利用三角函數(shù)的定義求得，從而得到的解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)與平移的結(jié)論，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以由三角函?shù)的定義得，，所以，則，A:，故A正確；B：因?yàn)?，所以是的圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；C：將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)解析式為，故C錯(cuò)誤；D：令，得，解得，僅，1，即符合題意，即在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AB11．AC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義可判定A，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)可判定B，由函數(shù)與方程的關(guān)系可判定C，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判定D.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，故A正確；令，故C正確；由，顯然時(shí)，，即此時(shí)單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)，故在R上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)，則，對(duì)于，即函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以，同理，對(duì)于，即函數(shù)單調(diào)遞減，且，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．AD【分析】由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可判斷A，由線面角的定義即可判斷B，由三棱錐的體積計(jì)算公式即可判斷C，由二面角的定義，即可判斷D.【詳解】A：，故A正確；

B：如圖，過(guò)作，且，連接，，則為正方形，則，又，，平面，所以平面，所以平面，則為二面角的平面角，當(dāng)時(shí)，易得為正三角形，過(guò)作，則平面，故即為與平面所成的角.且，，在中，，故B錯(cuò)誤；C：時(shí)，則，且，則，所以，則，又，，平面，所以平面，則到面的距離為1，所以四面體的體積為，所以C錯(cuò)誤；

D：由可得，則，即為等邊三角形，所以，即二面角的大小為，取中點(diǎn)，連接，，則，所以，由選項(xiàng)B可知，平面，且平面，所以，且平面，所以平面，又平面，則，所以為二面角的平面角，又，所以，則，故D正確；故選：AD13．【分析】直線為線段的垂直平分線，確定線段的中點(diǎn)和斜率即可求出的方程為.【詳解】圓，即，其圓心，又的圓心，根據(jù)題意可得直線為線段的垂直平分線，又，線段的中點(diǎn)，則直線的方程為，即.故答案為：.14．0【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算得，利用向量數(shù)量積運(yùn)算可得解.【詳解】，，又，即，.故答案為：0.15．【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)，根據(jù)題意列關(guān)于的方程，求出它們的值，進(jìn)而求得半徑，即可得答案.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由于所求圓與直線和直線都相切，故，化簡(jiǎn)為，而，則，又圓心到原點(diǎn)的距離為，即，解得，即圓心坐標(biāo)為，則半徑為，故圓的方程為，故答案為：16．【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，，，，所以，再結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可．【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，，，，所以，所以，即，所以，所以離心率．故答案為：．17．(1)(2)14【分析】（1）依題意用表示，結(jié)合為銳角即可求解；（2）用正弦定理結(jié)合等比例性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由得：，∴，由知，故為銳角，∴，∴.（2）由（1）知：，，由正弦定理得：，∴，故的周長(zhǎng)為14.18．(1).(2)【分析】（1）由題意得，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)列方程可求出，從而可求出公比，進(jìn)而可求得數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）由，得，兩式相減可求得，再驗(yàn)證，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，，，解得，或（舍去），，.（2）由題意，，①，②②-①得，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以，.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及等腰三角形的三線合一定理，再利用三角形的中位線定理及平行的傳遞性，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及線面平行的判定定理；（2）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）取中的，連接、，因?yàn)槠矫?平面,所以,因?yàn)?，，所以為中點(diǎn)，為中點(diǎn),所以,又因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，四邊形為矩形，所以,所以四邊形為平行四邊形，所以,平面,平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫?平面,所以,由（1）知，為中點(diǎn),因?yàn)槠矫?平面，所以,又因?yàn)樗云矫妫矫?所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示由題意可知，,,設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則，所以，設(shè)與平面所成線面角為，則,所以與平面所成線面角的正弦值為.20．(1)(2)是，【分析】（1）根據(jù)兩圓關(guān)系可得，即可根據(jù)橢圓定義求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解,進(jìn)而求解的中垂線的方程，根據(jù)外心的性質(zhì)即可結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為，由圓與圓外切得：，由圓與圓內(nèi)切得：，故，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，故，∴點(diǎn)的軌跡的方程為：.（2）設(shè)，，由，故，，，所以的中點(diǎn)，故的中垂線的方程為：．因?yàn)榈闹写咕€為軸，故的中垂線與軸的交點(diǎn)即為外心，令得：，故，又，故（定值）．21．(1)(2)【分析】（1）求出甲和乙、丙對(duì)局時(shí)輸?shù)母怕剩追e分為，則的可能取值為，算出每種情況的概率，得到的分布列，利用期望的公式求解即可；（2）若甲、乙積分相同，則只能同時(shí)積1分、2分、3分、4分，分類求出每種情況的概率，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】（1）由已知可得，甲、乙對(duì)局時(shí)，甲輸?shù)母怕蕿?；甲、丙?duì)局時(shí)，甲輸?shù)母怕蕿椋O(shè)甲積分為，則的可能取值為，，，，，，.的分布列為：012346；（2）若甲、乙積分相同，則只能同時(shí)積1分、2分、3分、4分，若甲、乙均積1分，則甲、乙對(duì)局平局，甲、丙對(duì)局丙勝，乙、丙對(duì)局丙勝，其概率為；若甲、乙均積2分，則甲、乙對(duì)局平局，甲、丙對(duì)局平局，乙、丙對(duì)局平局，其概率為；若甲、乙均積3分，則甲、乙對(duì)局甲勝，甲、丙對(duì)局丙勝，乙、丙對(duì)局乙勝，或者甲、乙對(duì)局乙勝，甲、丙對(duì)局甲勝，乙、丙對(duì)局丙勝，其概率為：；若甲、乙均積4分，則甲、乙對(duì)局平局，甲、丙對(duì)局甲勝，乙、丙對(duì)局乙勝，其概率為：；所以甲、乙積分相同的概率為.22．(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合一元二次方程根的判別式分類討論進(jìn)行求解即可；（2）利用換元法構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】