《分治策略》課件

分治策略分治策略概述分解將一個復雜問題分解成多個子問題。解決遞歸地解決這些子問題。合并將子問題的解合并成原問題的解。分治策略的基本思想分解將問題分解為若干個規(guī)模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題相同。解決遞歸地解決這些子問題，直到子問題規(guī)模足夠小，可以容易地解決。合并將子問題的解合并成原問題的解。分治策略的四個步驟1分解將問題分解成多個子問題2解決遞歸地解決子問題3合并將子問題的解合并成原問題的解分治策略的優(yōu)點提高效率通過將問題分解成更小的子問題，分治策略可以有效地減少算法的時間復雜度。簡化問題分治策略可以將復雜的問題分解成更易于解決的子問題，簡化了算法的設計和實現(xiàn)。重復利用分治策略可以重復利用相同的算法來解決子問題，避免重復代碼編寫。分治策略的適用范圍遞歸問題分治策略通常用于解決遞歸問題，通過將問題劃分為子問題，然后遞歸地解決子問題，最終合并子問題的解來得到最終解。并行處理分治策略可以有效地利用并行處理，因為子問題可以獨立地解決，并且可以并行地執(zhí)行。優(yōu)化算法分治策略常用于設計優(yōu)化算法，例如排序、查找、矩陣乘法和最近點對問題等。分治策略在算法設計中的應用排序算法歸并排序和快速排序都是經典的分治策略應用。矩陣乘法Strassen矩陣乘法算法通過分治策略降低了時間復雜度。查找問題二分查找算法利用分治思想在有序數(shù)組中快速查找目標值。動態(tài)規(guī)劃一些動態(tài)規(guī)劃問題可以用分治策略來解決，例如最長公共子序列問題。分治算法的基本結構1分解將原問題分解成若干個規(guī)模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題形式相同。2解決遞歸地解決這些子問題。如果子問題的規(guī)模足夠小，則直接解決。3合并將子問題的解合并成原問題的解。分治算法的偽代碼描述分治算法的偽代碼描述如下：AlgorithmDivideAndConquer(P)if|P|<=n0thenreturnSolve(P)//P的大小足夠小，直接求解elseDividePintosubproblemsP1,P2,...,Pkfori=1tokthenQi=DivideAndConquer(Pi)//遞歸解決子問題returnCombine(Q1,Q2,...,Qk)//合并子問題的解分治算法的時間復雜度分析算法步驟時間復雜度分解問題通常為O(1)遞歸求解子問題取決于子問題的大小和求解方法合并子問題的解通常為O(n)分治算法的空間復雜度分析1遞歸調用遞歸調用會產生額外的空間開銷。2輔助空間分治算法通常需要額外的輔助空間。3空間復雜度空間復雜度通常與遞歸深度有關。分治策略在實際問題中的應用排序算法歸并排序和快速排序都是經典的分治算法，廣泛應用于數(shù)據(jù)排序任務中。矩陣乘法Strassen矩陣乘法算法利用分治策略，降低了矩陣乘法的計算復雜度。搜索問題二分查找是一種基于分治思想的搜索算法，適用于有序數(shù)組的快速查找。動態(tài)規(guī)劃許多動態(tài)規(guī)劃問題可以利用分治思想進行解決，例如最長公共子序列問題。分治策略的歸并排序算法拆分將待排序的數(shù)組遞歸地分成兩個子數(shù)組，直到子數(shù)組的長度為1。合并將兩個已排序的子數(shù)組合并成一個已排序的數(shù)組。遞歸重復上述步驟，直到整個數(shù)組被排序。分治策略的快速排序算法1選擇基準從數(shù)組中選擇一個元素作為基準值2劃分數(shù)組將數(shù)組分成兩部分，一部分小于基準值，另一部分大于基準值3遞歸排序對兩部分子數(shù)組進行遞歸排序分治策略的Strassen矩陣乘法算法1矩陣分解將兩個n×n矩陣分解成四個n/2×n/2的子矩陣。2遞歸計算遞歸地計算七個子矩陣乘積。3矩陣組合組合七個子矩陣乘積，得到最終的矩陣乘積。分治策略的最近點對問題問題描述給定平面上n個點，找出其中距離最近的兩個點。分治策略將平面上的點集分成兩個子集，遞歸地求解每個子集中的最近點對，然后比較兩個子集的最近點對和跨越分割線的最近點對，最終得到全局最近點對。時間復雜度分治策略可以將最近點對問題的時間復雜度降至O(nlogn)。分治策略的棋盤覆蓋問題1問題描述在一個2^k×2^k的棋盤中，只有一個方格是黑色的，其余方格都是白色的?，F(xiàn)在要用L型骨牌覆蓋這個棋盤，要求每個骨牌覆蓋3個方格，且每個方格都被覆蓋一次。2分治策略將棋盤分成4個大小相等的子棋盤，遞歸地解決每個子棋盤的覆蓋問題。3算法步驟將黑色方格所在的子棋盤進行特殊處理，然后遞歸地解決其余子棋盤。棋盤覆蓋問題是一個經典的算法問題，它可以利用分治策略有效地解決。分治策略將問題分解成多個子問題，遞歸地解決子問題，最后合并子問題的解得到最終結果。分治策略的漢諾塔問題1分治將問題分解成子問題2遞歸用相同方法解決子問題3合并組合子問題結果分治策略的斐波那契數(shù)列計算1遞歸計算通過遞歸公式計算，時間復雜度為指數(shù)級2動態(tài)規(guī)劃利用動態(tài)規(guī)劃，時間復雜度為線性級3矩陣乘法利用矩陣乘法，時間復雜度為對數(shù)級分治策略的數(shù)據(jù)壓縮算法1HuffmanCoding2Run-LengthEncoding3Lempel-Ziv數(shù)據(jù)壓縮算法利用分治策略將數(shù)據(jù)分解成更小的部分，然后對每個部分進行壓縮處理。例如，Huffman編碼通過構建樹來對字符進行編碼，Run-LengthEncoding通過對重復字符進行壓縮來減少數(shù)據(jù)量，而Lempel-Ziv算法則通過尋找重復模式來壓縮數(shù)據(jù)。分治策略的多項式乘法算法1分解將兩個多項式分解成若干個子多項式。2遞歸遞歸地計算子多項式的乘積。3合并將子多項式的乘積合并成最終的多項式。分治策略的最大子數(shù)組問題問題描述給定一個數(shù)組，找到其最大子數(shù)組，即連續(xù)子數(shù)組之和最大。分治策略將數(shù)組分成左右兩部分，分別求出左右兩部分的最大子數(shù)組，然后合并結果。算法步驟遞歸地對左右子數(shù)組進行處理，并找出跨越中點的最大子數(shù)組。分治策略的最長公共子序列問題1問題定義給定兩個序列，找出它們的最長公共子序列。2分治思想將問題分解成子問題，遞歸求解子問題，最后合并子問題的解。3算法實現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃或遞歸方法可以實現(xiàn)分治策略解決最長公共子序列問題。分治策略的離散傅里葉變換算法1分解將輸入信號分解為多個較小的子信號2遞歸對每個子信號進行離散傅里葉變換3合并將子信號的傅里葉變換結果合并為最終結果分治策略的快速逆矩陣計算矩陣分解將矩陣分解為若干子矩陣。遞歸求解遞歸地計算每個子矩陣的逆矩陣。組合結果將子矩陣的逆矩陣組合成原矩陣的逆矩陣。分治策略的最優(yōu)二叉搜索樹問題1最優(yōu)BST構建一個具有最小期望搜索代價的BST2分治策略將問題分解為子問題，遞歸求解3動態(tài)規(guī)劃利用子問題的解構建全局最優(yōu)解分治策略的最大流問題1問題描述在給定網絡圖中，找到從源點到匯點的最大流量。2分治思想將網絡圖分成多個子圖，分別求解子圖的最大流，然后合并子圖的結果得到整個網絡圖的最大流。3算法實現(xiàn)可以使用Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法等經典算法來求解子圖的最大流，然后合并結果。分治策略的圖著色問題1圖著色問題描述給定一個無向圖，用最少的顏色給圖的頂點著色，使得相鄰的頂點顏色不同2分治策略的應用將圖分成多個子圖，分別對子圖進行著色，最后將子圖的著色結果合并3時間復雜度分治策略可以有效地降低圖著色問題的復雜度分治策略的旅行商問題問題描述給定n個城市，求一個最短的路線，該路線從某個城市出發(fā)，經過所有城市恰好一次，最后回到出發(fā)城市。分治思路將所有城市分成兩組，分別求解這兩組城市的旅行商問題，然后將兩組的最優(yōu)解合并成全局的最優(yōu)解。復雜度分治策略可以將旅行商問題的時間復雜度從指數(shù)級降到多項式級