專題07 四邊形（4大易錯點分析+16個易錯點+易錯題通關(guān)）-2024年中考數(shù)學考試易錯題（解析版）

專題07四邊形

多邊形及其內(nèi)角和專題

易錯點：

1.理解多邊形的定義：多邊形是由多條直線段順次首尾連接圍成的平面圖形，容易混

淆多邊形和圓形、橢圓形等其他形狀。

2.多邊形內(nèi)角和的計算：多邊形內(nèi)角和的計算公式為"2）X180°,其中n為多邊形的

邊數(shù)。學生容易在計算過程中出錯，如將邊數(shù)誤認為是頂點數(shù)，或者忘記了減2的步驟。

3.多邊形的分類：多邊形根據(jù)邊數(shù)的不同可以分為三角形、四邊形、五邊形等，每種

多邊形的性質(zhì)和特點都有所不同。學生容易在分類時混淆，或者忽視了多邊形邊數(shù)的限

制。

4.特殊多邊形的處理：對于一些特殊的多邊形，如正多邊形（各邊相等，各內(nèi)角也相

等）、等腰多邊形（至少有兩邊相等）等，學生在處理時容易忽視其特殊性，導致計算

錯誤。

5.多邊形與其他圖形的結(jié)合：多邊形常常與其他圖形（如圓、三角形等）結(jié)合出現(xiàn)，

這時需要綜合考慮多個圖形的性質(zhì)。學生容易在解題時忽視這一點，導致解題方向錯誤。

易錯點1：多邊形截角

例：將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內(nèi)角和

是（）

A.360。B.540°C.360c或540。D,360?；?40c或

720°

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，找出五邊形紙片剪去一個角出現(xiàn)的情況，再根據(jù)

〃邊形內(nèi)角和公式（〃-2）180。得出多邊形的內(nèi)角和，即可解題.

【詳解】解：如圖，將一個五邊形沿虛線裁去一個角后得到的多邊形的邊數(shù)是4或5或6.

其中四邊形內(nèi)角和為36。。，五邊形內(nèi)角和為（5-2卜180。=540。，六邊形內(nèi)角和為

（6-2）xl80°=720°,

二?得到的多邊形的內(nèi)角和是360。或540°或720°,

故選：D.

3

變式1:如圖，點A是反比例函數(shù))，=-士在第二象限內(nèi)圖象上一點，點8是反比例函數(shù)

x

4

)，二一在第一象限內(nèi)圖象上一點，直線48與丁軸交于點C,且AC=8C,AQ_Lx軸于

x

點。，8瓦Lt軸于點E，連接OC,EC,則△￡)(:石的面積是()

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用，平行線等分線段定理，梯形的中位線性質(zhì)，

先根據(jù)已知條件推導出CO為梯形A3EO的中位線，得到CO=；(AO+BE),再根據(jù)反

比例函數(shù)解析式設(shè)從屋)，把C。、DE用含°的代數(shù)式表示出來，代入三

ka)\a)

角形面積公式即可求解,利用梯形的中位線的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式用含〃的代數(shù)式

表示出CO、。石是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???AO_Lx軸，8瓦Lx軸，

/.AD//CO//BE,

VAC=BC,

：?DO=EO,

/.co為梯形ABED的中位線,

t\CO=^（AD+BE）,

設(shè)4(一,3,則巾{匕4],

（）

CO=^AD+BE=DE=a-（-a）=2a,

SXE=—xDExCO=—x2r/x—=3.5,

222a

故選：B.

變式2：如圖是一個多邊形，你能否用一直線去截這個多邊形，使得到的新多邊形分別

滿足下列條件：（畫出圖形，把截去的部分打上陰影）

①新多邊形內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了180.

②新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等.

③新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了180.

【分析】（1）①過相鄰兩邊上的點作出直線即可求解；

②過一個頂點和相鄰邊上的點作出直線即可求解；

③過相鄰兩邊非公共頂點作出直線即可求解；

（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式先求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個角的情況

進行討論.

【詳解】（1）如圖所示：

（2）設(shè)新多邊形的邊數(shù)為〃，

則（〃-2>180=2520,

解得〃=16,

①若截去一個角后邊數(shù)增加1,則原多邊形邊數(shù)為15,

②若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為16,

③若截去一個角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為17,

故原多邊形的邊數(shù)可以為15,16或17.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，注意要分情況進行討論，避免漏解.

易錯點2：多邊形對角線規(guī)律

例：某多邊形由一個頂點引出的對角線可以將該多邊形分成10個三角形，則這個多邊

形的邊數(shù)是（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】

此題考查了多邊形對角線條數(shù)，〃邊形從一個頂點出發(fā)可以引出（〃-3）條對角線，把多

邊形分成（〃-2）個三角形，據(jù)此作答即可.

【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是〃，則〃-2=13,解得〃=12,

即這個多邊形的邊數(shù)是12,

故選：B.

3

變式1：如圖，點A是反比例函數(shù)），=-二在第二象限內(nèi)圖象上一點，點B是反比例函數(shù)

X

4

），二一在第一象限內(nèi)圖象上一點，直線A8與丁軸交于點C,且AC=8C,A￡>_Lx軸于

x

點。，8瓦L.r軸于點E,連接OC,EC,則△OCE的面積是（）

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用，平行線等分線段定理，梯形的中位線性質(zhì)，

先根據(jù)已知條件推導出CO為梯形A3EO的中位線，得至IJCO=；（4O+BE）,再根據(jù)反

比例函數(shù)解析式設(shè)小晨），把CO、OE用含。的代數(shù)式表示出來，代入三

kk

角形面積公式即可求解.利用梯形的中位線的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式用含。的代數(shù)式

表示出CO、。石是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：軸，8及Lx軸，

???AD//CO//BE,

AC=BC,

:?DO=EO,

co為梯形ABED的中位線,

???CO=；(A￡>+㈣,

設(shè)“一4,2],則用4,341,

?)

.?CO=^AD+BE=U-+-y-,DE=?-(-?)=2(1,

\|7

?q

,,」DCE=-xDExCO=-x2ax—=3.5t

22

故選：B.

（1）如圖1,經(jīng)過四邊形的一個頂點可以作條對角線，它把四邊形分成

個三角形；

⑵如圖2,經(jīng)過五邊形的一個頂點可以作條對角線，它把五邊形分成

個三角形；

⑶探索歸納：對于〃邊形（〃〉3）,過一個頂點可以作條對角線，它把〃邊形分

成個三角形；（用含〃的式子表示）

（4）如果經(jīng)過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，那么這個多邊形的邊數(shù)為

【答案】⑴12

（2）23

⑶（〃一3）（〃-2）

(4)103

【分析】本題考查多邊形的對角線、邊及三角形分割等規(guī)律探究.

（1）根據(jù)題意畫出對圖中的一個頂點的對角線即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意畫出對圖中的一個頂點的對角線即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論，可找到規(guī)律即可得到結(jié)論;

(4)將1(X)代入(3)的結(jié)論中即可得到答案.

【詳解】(I)如圖1：

經(jīng)過1個頂點做1條對角線，它把四邊形分為2個三角形,

故答案為：1,2

經(jīng)過五邊形一個頂點，共有2條對角線，將這個多邊形分為3個三角形；

故答案為：2,3.

(3)???經(jīng)過四邊形的一個頂點可以作4-3=1條對角線，它把四邊形分成4-2=2個三

角形；

經(jīng)過五邊形的一個頂點可以作5-3=2條對角線，它把五邊形分成5-2=3個三角形：

經(jīng)過六邊形的一個頂點可以作6-3=3條對角線，它把六邊形分成6-2=4個三角形；

經(jīng)過七邊形的一個頂點可以作7-3=4條對角線，它把七邊形分成7-2=5個三角形；

,經(jīng)過〃邊形的?個頂點可以作(〃-3)條對角線，它把〃邊形分成(〃-2)個三角形;

故答案為：(〃一3),(〃-2).

(4)???過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，

???根據(jù)(3)中結(jié)論可得，〃-3=100,

〃=103,

故答案為：103.

易錯點3：平面鑲嵌

例：用下面圖形不能實現(xiàn)平面鑲嵌的是（）

A.等邊三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【分析】本題考查了平面鑲嵌、正多邊形的內(nèi)角和，先求出各個正多邊形每個內(nèi)角的度

數(shù)，再結(jié)合平面圖形鑲嵌的條件即可得，熟練掌握平面鑲嵌的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A、等邊三角形的每個內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+3=60。，且360。+60。=6是

整數(shù)，則等邊三角形能實施平面鑲嵌，此項不符題意；

B、正方形的每個內(nèi)角的度數(shù)為180°-360。+4=90。，且3600+90°=4是整數(shù)，正方形能

實施平面鑲嵌，此項不符題意；

C、正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+5=10即，且360。+108。=與，不是整數(shù)，

正五邊形不能實施平而狼嵌，此項符合題意；

D、正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+6=120。,且360。+1200=3是整數(shù),正

六邊形能實施平面鑲嵌.則此項不符題意；

故選：C.

變式1：如圖，用正多邊形鑲嵌地面，則圖中a的大小為度.

【答案】150

【分析】進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內(nèi)角和應(yīng)為360。，據(jù)此求出?

即可.

【詳解】解：???正方形的內(nèi)角為90。,正六邊形的內(nèi)角為120°,

/.90o+120o+a=360°,

解得a=150。.

故答案為：150.

【點睛】本題考查了平面鑲嵌，解題的關(guān)鍵是求正多邊形一個內(nèi)角度數(shù)，可先求出這個

外角度數(shù)，讓180。減去即可.一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除360。；

兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在

一起恰好組成一個周角.

變式2：在生活中經(jīng)?？吹揭恍┢春蠄D案如圖所示，它們或是用單獨的正方形或是用多

種正多邊形混合拼接成的，拼成的圖案要求嚴絲合縫，不留空隙.從數(shù)學角度看:這些

工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊

形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題.

（1）如果限用一種正多邊形來覆蓋平面的一部分，正六邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形?

請說明理由；

（2）同時用正方形和正八邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形？請說明理由；

（3）請你探索，是否存在同時用三種不同的正多邊形組合（至少包含一個正五邊形）鑲嵌

成的平面圖形，寫出驗證過程.

【答案】（1）正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形，理由見解析

（2）同時用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形，理由見解析

（3）存在同時用三種不同的正多邊形組合（至少包含一個正五邊形）鑲嵌成的平面圖形，

驗證見解析

【分析】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的外角和問題，熟練掌握正多邊

形的內(nèi)角和為（〃-2）x180。是解此題的關(guān)鍵.

（1）先求出正六邊形的內(nèi)角和，再求出每一個內(nèi)角的度數(shù)，用3600除以內(nèi)角的度數(shù)，

看是否能夠除盡，由此即可得出答案；

（2）正方形的每個內(nèi)角為90。，求出正八邊形的每一個內(nèi)角為135。，再結(jié)合

135°X24-90O=360°,即可得出答案；

（3）求出正方形的每個內(nèi)角為90。，正五邊形的每一個內(nèi)角為108。，正二十變形的每

一個內(nèi)角為162。,由162。+108。+90。=360。，即可得出答案.

【詳解】（1）解：正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形，

理由如下：

正六邊形的內(nèi)角和為：（6-2）乂180。=720。，

「?正六邊形的每一個內(nèi)景為：720°4-6=120°,

360°-5-120°=3,

「?正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形；

（2）解：同時用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形，

理由如下：

:正八邊形的內(nèi)角和為：（8-2）x180°=1080°,

二正八邊形的每一個內(nèi)帶為：1080。+8=135。，

135ox2+90°=360°,

???同時用1塊正方形和2塊正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形；

（3）解：存在同時用三種不同的正多邊形組合（至少包含一個正五邊形）鑲嵌成的平面

圖形，

理由如下：

正方形的每個內(nèi)角為90。

???正五邊形的內(nèi)角和為：（5-2）xl80°=540°,

正五邊形的每一個內(nèi)角為：540。+5=1（）8。，

??正二十邊形的內(nèi)角和為：（20-2卜180。=3240。，

???正二十邊形的每一個內(nèi)角為：32400-20=162°,

1620+108°+90°=360°,

???存在同時用三種不同H勺正多邊形組合（至少包含一個正五邊形）鑲嵌成的平面圖形，此

時該平面圖形由1塊正二十邊形、1塊正五邊形、1塊正方形構(gòu)成.

平行四邊形專題

易錯點：

1.性質(zhì)與判定的混淆：平行四邊形的性質(zhì)和判定條件容易混淆。例如，知道?個四邊形

是平行四邊形，并不意味著它的對角線一定相等或互相平分。同樣，即使一個四邊形的

對角線相等或互相平分.也并不意味著它一定是平行四邊形。

2.面積計算錯誤：平行四邊形的面積計算公式為底乘以高，但有時候可能會錯誤地將對

角線長度或鄰邊長度作為底或高來計算面積。

3.特殊平行四邊形的識別：對于矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形，需要明確它們

的性質(zhì)，例如矩形的對邊相等且鄰邊垂直，菱形的四邊相等，正方形的四邊相等且鄰邊

垂直等。錯誤地識別這些特殊平行四邊形可能導致解題錯誤。

4.對稱性的理解：平行四邊形是中心對稱圖形，這意味著通過其對稱中心的任何直線都

會將其分成面積相等的兩部分。同時，對角線也會將四邊形分成面積相等的四部分。對

這些對稱性的理解不足可能導致解題錯誤。

5.全等和相似三角形的浜用：在平行四邊形中，雖然可以利用全等三角形和相似三隹形

的性質(zhì)解題，但這并不意味著所有的三角形都是全等或相似的。錯誤地應(yīng)用這些性質(zhì)可

能導致解題錯誤。

6.矩形和正方形的折疊問題：在解決矩形和正方形的折疊問題時，需要理解折疊后的圖

形及其性質(zhì)。例如，折疊后的圖形可能仍然是矩形或正方形，也可能變成其他類型的四

邊形。對這些變化的理解不足可能導致解題錯誤。

易錯點1：已知三點組成平行四邊形

例：以點0、A、B、。為頂點的平行四邊形放置在平面直角坐標系X。/中，其中點O

為坐標原點.若點。的坐標是。，3),點A的坐標是(5,0),則點8的坐標是()

A.(6,3)或(4,-3)B.(6,3)或(-4,3)

C.(6,3)或(-3,4)或(3,司D.(6,3)或(-4,3)或(4,-3)

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后分4c為邊和對角線兩種情況，分別根據(jù)平行四邊

形的判定和平移的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：如圖：當AC'為對角線時，點用的坐標為(1+5,3),即(6,3)；

當AC為邊時，點B2的竺標為(1-5,3),即(-4,3):點鳥的坐標為(0+4.0-3),即(4,-3).

故選D.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定、平移的性質(zhì)等知識點，掌握分類討論思想

是解答本題的關(guān)鍵.

變式1：平面直角坐標系中，A（-1,O）,5（3,0）,C（0,2）,。為平面內(nèi)一點?若A、B、

C、。四點恰好構(gòu)成一個平行四邊形，則平面內(nèi)符合條件的點。的坐標為—.

【答案】（2,-2）或（4,2）或（Y,2）

【分析】分三種情形畫出圖形即可解決問題.

當"）AC〃&）時，￡＞點的坐標為（2,-2）：

當AB，C。，AC〃8。時，。點的坐標為（4,2）；

當ABCD,時，。點的坐標為（-4,2）：

綜上所述，滿足條件的點。的坐標為（2,-2）或（4,2）或（T,2）,

故答案為:（2,-2）或（4,2）或（＜2）.

【點睛】本題考杳平行四邊形的判定、坐標與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用

分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

變式2：如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+8分別交X軸，），軸于點八、B,直線

＜%＞交直線AB于點C,交x軸于點O,點。的坐標為（1,0）,點C的橫坐標為4.

⑴求直線CQ的函數(shù)解析式；

⑵在坐標平面內(nèi)是否存在這樣的點F,使以A、C、。、廣為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

44

【答案】⑴尸”§

（2）存在，點下的坐標為（-3,4）或⑴,4）或（5,-4）

【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出點C的坐標，根據(jù)點C,D的

坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)解析式；

（2）存在，設(shè)點尸的坐標為（如〃），分為對角線，AC為對角線及AO為對角線三

種情況考慮，利用平行四邊形的性質(zhì)（對角線互相平分），即可得出關(guān)于小，〃的二元一

次方程組，解之即可得出點尸的坐標.

【詳解】（1）（1）當x=4時，y=-lx4+8=4,

???點C的坐標為（44）；

設(shè)直線的函數(shù)解析式為y="+"攵=0）,

將點C（4,4）,。（1,0）代入），=心十），

4k+b=4

得：+〃'

女，

所以3

4

y=—

13

44

則直線CD的函數(shù)解析式：＞'=-x--

JJ

（2）解：存在，設(shè)點F的坐標為（如〃），

當）,=0時，T+8=（）,

解得：x=8,

，點A的坐標為（8,0）.

若使以A、。、。、F為頂點的四邊形為平行四邊形，分三種情況討論:

①當CO為對角線時，記為點E，

???四邊形人3。為平行四邊形,

〃?+8=4+1

〃+0=4+0

m=-3

解得

n=4

所以片的坐標為（-3,4）；

②當AC為對角線時，記為點F2,

???四邊形A5c。為平行四邊形，

*/〃+1=4+8

??〃+0=4+0'

m=11

解得：

〃=4

，點尸2的坐標為（11，4）；

③當4。為對角線時，記為點瑪，

???四邊形ACQ居為平行四邊形，

*6+4=1+8

'[7?+4=0+0'

in=5

解得：『

〃二T

工點5的坐標為（5,-4）；

綜上所述，存在點片使以人、C、/入〃為頂點的四邊形為平行四邊形，點尸的坐標為

（一3,4）或（11,4）或（5,-4）.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及

平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出點C,

A的坐標；根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）分CO為對角線，

AC為對角線及A。為對角線這三種情況，求出點尸的坐標.

易錯點2：平行四邊形的性質(zhì)與判定

例：如圖，平行四邊形人8co中以點4為圓心，適當長為半徑作弧，交BA,BC于F,G,

分別以點F,G為圓心大于g/G長為半作弧，兩弧交于點〃，作8”交AD于點E,連

接CE,若/W=10,DE=6,CE=8,則照的長為（）

A.2x/41B.4072C.4石D.8逐

【答案】D

【分析】本題考查基本作圖-作角平分線，掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，

勾股定理的逆定理等知識是解題的關(guān)鍵.

如圖，過點A作々〃EC交于心證明四邊形A/CE是平行四邊形，再利用勾股定理

的逆定理證明NA/4=90°,推出N4C￡=90。，利用勾股定理求出防即可.

【詳解】解：如圖，過點A作A/〃EC交3c于人

四邊形ABC。是平行四邊形，

,.AD//BC,

:.ZAEB=NEBC,

AJ〃EC,AE/yJC,

一.四邊形A/CE是平行四邊形，

/.AJ=EC,

跖平分NABC,

:.ZABE=Z.EBC,

:.ZABE=ZAEB,

：.AB=AE=1(),A/=EC=8,AE=JC=10,

DE=6,

，AD=BC=16,

.1.a/=BC-JC=16-10=6,

z.AB2=BJ--vAJ-,

.?.NA7B=90。，

AJ〃EC,

；.NBCE=ZBJA=W,

BE=JBC2+EC2=Vl62+82=8^，

故選：D.

變式1:如圖，若四邊形A3C。為矩形，AB=6?,N￡>C4=30。，DE上AC于點E,

BFJ.AC于點、F,連接防，DF,則四邊形。￡3尸的面積為

【答案】1873

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，解直角三角形得出環(huán)=人/-A￡=9-3=6,BF=DE=30

證明四邊形DEBF為平行四邊形，得出S四邊形/闞=斯x?=36x6=1.

【詳解】解：在矩形A8CD中，Z4DC=90°,ZDC4=30°,CD=AB=60AI3//CD,

*：DEIAC,

：.z/Jhc=y<r,

.**DE=?DC=56g=36,CE=CDxcos300=6\/5x—=9,

222

VZADC=90°,CD=6x/3,ZDC4=30°,

“DC673口

??cos30°x/3?

T

/.AE=AC-CE=12-9=3,

■:AB//CD,

/.ZZMC=ZDG4=30°,

/.Ab_LAC,

，Z4FC=90°,

AF=ABxcos30°=6>/3x—=9,3"=[==373,

222

=AF—AE=9-3=6?BF=DE=36,

'：DE1AC,BF1AC,

，DE//BF,

二四邊形DEBF為平行四邊形，

S四邊形0a=BFxEF=373x6=18>/3.

故答案為：186.

【點睛】本題考查r矩形的性質(zhì)、解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，題目的綜合性較強，是一道不錯的中考題.

變式2：已知，如圖，XABCD.

圖3

（1）YA8CO的對角線4&B。相交于點0,直線E尸過點0,分別交ARAC于點

E,F.求證：AE=CF^

（2）將YABCD（紙片）沿直線EF折疊，點A落在點A處，點B落在點片處，設(shè)FBj交CD

于點G,AM分別交CD,DE于點4M.

①求證：ME=FG；

②連接MG,求證：MG//EF.

【答案】（1）證明見解析

⑵①證明見解析：②證明見解析

【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)即可得證；

（2）①由（1）中結(jié)論WE二/G,結(jié)合折疊性質(zhì)，利用三角形全等的判定與性質(zhì)即可

得證；②過點G作GK〃田W,交￡尸于點K,如圖所示，由等腰三角形的判定與性質(zhì)、

平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得證.

【詳解】(1)證明：???在YA8CQ中，AD//BC,AO=OC,

ZDAC=ZBCA,

又「ZAOE=ZCOF,

在AAOE和COE中，

ZDAC=ZBCA

AO=OC

乙AOE=々COF

???_AOE^qCO*ASA),

，AE=CF；

(2)解：①由(1)得AE=b,

由折疊得AE=AEZZ=ZA,,NAEF=NAEF,NBFE=N&FE,

?/ZAZ?F-ZEFC,

***ZBFE=ZDEF?

：.NDEF=NEFBp乙的=N&FE,

???ZA.ED=/CFG,

CFG,

???EM=FG；

②過點G作GK〃EM,交EF于前K,如圖所示：

?：/MEF=NGFE,

乙GFK=/GKF,

:?GK=GF,

'：GF=ME,

???GK=ME,

???四邊形EKGM是平行四邊形,

：.MG//EF.

【點睛】本題考杳四邊形綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性

質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形與三角形全等的

判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

易錯點3：三角形的中位線

例：如圖，矩形A8C。和矩形CEFGAB=1IC=2,CE=4,點p在邊GF上，且

PF=CQ,連結(jié)AC和PQ,點N是AC的中點，M是。。的中點，則MN的長為（）

22

【答案】C

【分析】連接CF,交戶Q于點K,利用全等三角形的判定與性質(zhì)，得到PK=QK,則

M，K兩點重合，CM=FM,連接AF,延長AO交所于點〃，利用矩形的判定與性

質(zhì)可得四邊形。石，力和四邊形OHR7為矩形，可求得線段利用勾股定理求得

AF,利用三角形的中位線定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：連接C尸，交P。于點K,

???四邊形C/6為矩形，

/.FG//CE,

NFPQ=NCQP,Z.PFC=ZFCQ,

在工刊史和-QCK中，

???乙FPQ=ZCQF,PF=CQ,4PFC=/QCF,

???PFK學QCK（ASA）,

:.FK=CK、PK=QK,

即點K為P。的中點，

丁點M為尸。的中點，

???M,K兩點重合.

???CM=FM.

連接AF,延長交4于點兒

■:矩形48co和矩形CEFG,

???4B=/BAD=Z￡=Z.GDH=ZCDH=NG=乙EFG=90°,

???四邊形CE”O(jiān)和四邊形DHFG為矩形，

/.AB=CD=HE=T,DH=CE=4,AD=BC=2,

,AH=AD+DH=2+4=6,FH=FE-HE=2-\=\f

**-AF=JAH2+FH2=x/62+l2=x/37?

，：CM=FM,CN=AN,

???MN為VC4”的中位線，

:?MN=、AF=叵.

22

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理,

直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，恰當?shù)臉?gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

變式1：如圖，YA8CZ）中，A8=3,BC=4,BE平分NABC,交AD于點E,C/平

分/BCD,交AO于點F,交BE于點0,點、G,〃分別是?！ê?。￡的中點，則G”的長

為?

【答案】1

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出AB=CD=3,BC=AD=4,AD〃BC,結(jié)合

平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證=ZDCF=ZDFCf得出

AB=AE=3,DC=DF=3,從而可求出所=2,最后根據(jù)三角形中位線定理求解卻

可.

【詳解】解：YABC。中，AB=3,BC=4,

：.AB=CD=3,BC=AD=4tAD//BC,

ZAEB=NCBE，Z.DFC=NBCF.

〈BE平分/ABC,CF平分/BCD,

:?ZABE=/CBE,/BCF=/DCF,

/.ZABE=ZAEB,4DCF=ZDFCt

/.AB=AE=3fDC=DF=3.

AE+DF=AD+EF,即3+3=4+￡〃

:.EF=2.

???點G,”分別是OF和。上的中點，

，GH是.。斯的中位線，

,GH=-EF=].

2

故答案為：1.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的

判定和性質(zhì)，二角形中位線定理等知識.證明;"A，-AZ?-3,DC-DF-3,并掌握二

角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

【結(jié)論概括】

如果在圖①中，取AC的中點F,假設(shè)M與交于G',如圖②，那么我們同理有

*隼=；，所以有*=喟=1,即兩圖中的點G與G'是重合的?

ADBF3ADAD3

于是，我們有以下結(jié)論：

三角形三條邊上的中線交丁一點，這個點就是三角形的重心，重心與邊中點的連線的

長是對應(yīng)中線長的.

【結(jié)論應(yīng)用】

如圖③所示，在四8。中，已知點。，E,/分別是BC,AD,C石的中點，DE、的相

較于點。，且S》"c=12,則四邊形ODC/的面積值為.

【答案】教材呈現(xiàn)：見解析；結(jié)論概括：I：結(jié)論應(yīng)用：2

【分析】本題考查了相似三角形判定及性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的

重心性質(zhì)：重心與一邊中點的連線的長是對應(yīng)中線長的!解答.

教材呈現(xiàn)：連接力石，如圖①，先利用三角形中位線的性質(zhì)得到應(yīng)'〃力。，DE=^AC,

則證明二0EGSDCG,利用相似三角形的性質(zhì)得票=段=隼=）然后利用比例的

CGAGAC2

性質(zhì)得到結(jié)論；

結(jié)論概括:根據(jù)徑噬j*喑則翁端當即兩圖中的點G與

G'是重合的，即可歸納出結(jié)論；

結(jié)論應(yīng)用：根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得S48力=SACO=；SABC=6,s.=；s&加=3,

=

S^CDE~S/MCD=3,則S&BEC=S△皿+SMDE=6,S/'MiF=由題意知。為三角形

的重心，則。尸=；打"可得&四=1,進而根據(jù)四邊形。QCF的面積為

SMDF.一S&QF，即口J求解.

【詳解】解：教材呈現(xiàn)：連接OE,如圖①,

*：D、E分別為8C、朋的中點,

:?DE為ABC的中位線，

:?DE〃AC,DE=-AC,

2

???DEG^ACG,

.EGDGDE\

??===—，

CGAGAC2

.EG_GD\

**CG+EG~AG+GD~：2+\，

即歿二空」；

CEAD3

GEGD1G'DGF\GDG'D1日口H囪］.

結(jié)法概括：由上可知，至=茄="工r市=“則mil無T而十即兩圖中的

點G與G'是重合的.

則三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線

的長是對應(yīng)中線長的;，

故答案為：~;

結(jié)論應(yīng)用：???S》8C=12,。為BC的中點,

,*?S如=SACD=—SABe=6

VE為AD的中點,

+

?△B/JE=S^ABD=3>S4COE=-S&CD=3,則S3EC=^ABC￡^ACZMi=6?

;。為8C的中點，產(chǎn)為C￡的中點,

:.s'=gs“=3、。為二角形的重心.

貝=產(chǎn)，

,,S,MW=-=1,

則四邊形ODCF的面積為2曲-S*=3-1=2,

故答案為：2.

特殊平行四邊形專題

易錯點：

1.概念理解：對于特殊平行四邊形的定義和性質(zhì)，學生可能會存在理解上的困難。例

如，對于矩形、菱形和正方形的定義和性質(zhì)，學生需要清楚地區(qū)分它們之間的不同和聯(lián)

系。

2.性質(zhì)應(yīng)用：在應(yīng)用特殊平行四邊形的性質(zhì)時，學生可能會忽視一些重要的條件，導

致結(jié)論錯誤。例如，在證明兩個四邊形是矩形時，學生需要證明其對角線相等且互相平

分，或者證明其所有角都是直角。

3.判定方法：在判定一個四邊形是否是特殊平行四邊形時，學生可能會混淆不同的判

定方法。例如，對于矩形，學生需要清楚其判定方法包括有一個角是直角的平行四邊形

是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形等。

4.圖形識別：在識別特殊平行四邊形時，學生可能會受到圖形的干擾，導致判斷錯誤。

例如，對于一個看起來接近正方形的四邊形，學生需要仔細判斷其是否滿足正方形的所

有條件，包括四個角都是直角、四條邊都相等等。

5.計算錯誤：在進行特殊平行四邊形的計算時，學生可能會因為計算錯誤而導致結(jié)果

錯誤。例如，在計算特殊平行四邊形的面積時，學生需要正確應(yīng)用公式，并注意單位換

算等問題。

易錯點1：矩形的折疊

例：如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，A(4,0),8(4,2),C(0,2),將。仍

沿直線0B折疊，使得點A落在點。處，0。與8C交于點E,則點D的縱坐標是()

【答案】D

［分析］根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出ZEOB=ZEBO，進而可得出OE=8E,

設(shè)點石的坐標為(m,2),貝ljQE=3E=4-〃?，CE=m,利用勾股定理即可求出加值，再

根據(jù)點E的坐標，過點。作軸于點F,利用5。即=；隔8。DE=^EDF,

可以求出。尸的長，進而可以解決問題.

【詳解】解：4(4,0),8(4,2),C(0,2),0(0,0),

，四邊形。48c為矩形，

???BC//OA.

:.ZEBO=ZAOB.

/.NEOB=/EBO,

OE=BE.

設(shè)點E的坐標為(m,2),貝IJOE=BE=4-m，CE=m,

在RlOCE中，OC=2,CE=m,OE=4-mf

：.（4-ni）'=22+”/,

???點七的坐標為仁，2.

Iz/

/.OE=BE=4-ni=—,

2

53

：.DE=OD-OE=OA-OE=4--=-,

22

\SDEB酉晶。DE=^BEDF,

則點。的縱坐標為號.

故選：D.

【點睛】本題主要考查r矩形的判定和性質(zhì)、圖形的〃疊、等腰三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)、圖形的折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理是解題的關(guān)鍵

變式1：如圖，在長方形A8CQ中，AB=5,AD=6,點E為邊AO上的一個動點，把

4A座沿踮折疊，若點4的對應(yīng)點A剛好落在邊AO的垂直平分線MN上，則AE的長

為.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得AN=3,再由折疊的性質(zhì)，得到AB=5,

根據(jù)勾股定理可求得4W=4,因此4M=1,設(shè)AE=AE=x,在Rt.AHW中，由勾股

定理列方程并求解，即得答案.

【詳解】四邊形A8CD為矩形，

/.ZA=ZABC=90°

?.MN是邊4。的垂直平分線，

：.MN±AD,AM=網(wǎng)=LA8=3

2

二?四邊形AMN8為矩形，

:.BN=AM=3,MN=AB=5,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知AE=4E,A,B=AB=5,

在RtAABN中，AW=dA?-BN?=-3?=4.

.?.A'M=5-4=1,

設(shè)AE=A￡=x,則ME=3—x,

在RtMEW中，(3-A)2+12=X2,

解得x

J

.?.人石的長為］.

故答案為：~.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，圖形折疊

的性質(zhì)等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題關(guān)鍵.

變式2；如圖，矩形A3CD中，AB=8,BC=\2,E,"分別為BC上兩個動點，連接

EF,將矩形沿E尸折疊，點A,8的對應(yīng)點分別為〃，G.

H

A

D

(1)如圖1,當點G落在DC邊上時，連接3G.

①求箓的值；

oG

②若點G為OC的中點，求。尸的長.

CF1

(2)如圖2,若￡為4。的中點，求sin/GBC的值.

BF2

916

【答案】(1)①、②與

喈

【分析】(1)①過點A作AAZ〃斤，交BC于點M,交BG于點N,證明四邊形4以

為平行四邊形，可得AM=￡F,然后求出/B4M=NCBG,證明.BAMsCBG,利

用相似三角形的性質(zhì)解答即可；

②設(shè)CE=x,則勿'=12T,利用軸對稱的性質(zhì)求出GF=12T,再在Rl_GFC中利用

勾股定理解答即可；

(2)過點尸作式KJ.A。于點K,證明四邊形KRTO為矩形，利用勾股定理求出所，

可得sin/EFK="Z,再利用直角三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)證明NGBC=NEFK即

17

可.

【詳解】(1)解：①過點A作AM〃律，交8c于點M,交BGF點N,如圖，

四邊形A8CO為矩形，

/.AD//EF,

AM//EF,

二?四邊形物必為平行四邊形,

...AM=EF,

將矩形沿口折疊，點A,3的對應(yīng)點分別為，，G,

尸垂直平分3G,

:.AAfLBG,

N8AM+ZABG=90。.

Z4BG+ZCBG=90°.

:.NBAM=NCBG.

.?ZABM=NBCG=9Q0,

BAMs.CBG,

AMAB82

-----=——=—=—,

BGBC123

EF2

---=一；

BG3

②設(shè)C”=x，則8/=12-x.

點B,G關(guān)于E/對稱，

.?.所垂直平分BG,

.\BF=GF=\2-x.

7點G為。C的中點，

:.CG=-CD,

2

A8=CO=8,

.*.CG=4.

在RtGW中，

CF2+CG2=FG2,

x2+42=（12-4,

解得：X=y.

二.CF的長為與；

（2）過點尸作尸K_LA。下點K,如圖，

K為AZ）的中點,

.?.DE=-AD=6.

2

CF

:.FC=-BC=4.

3

??,四邊形A8CD為矩形，

.\ZD=ZC=90°,

FKA.AD,

一?四邊形KPCQ為矩形，

:"KFC=90°,DK=FC=4,FK=CD=S.

:.EK=DE-DK=2.

EF=>JEK2+FK2=2x/17?

FK2_717

:.sinZEFK=-

EF2V17-17

NKfC=90。，

NBFK=90。,

:"EFK+NBFE=90°,

EF1BG,

:.4FE+4GBC=駢,

/./GBC=/EFK,

sinNGBC=sinNEFK=—.

17

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三

角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

易錯點2：矩形的性質(zhì)與判定

例：如圖，在正方形48。中，E為對角線AC上與A,C不重合的一個動點，過點E

作"_LA3與點凡EGLBC于息G,連接FG,若NAED=a,則NEFG=()

A.。一90。B.180°-?C.。-45。D.%—90。

【答案】C

【分析】延長交A。于點從首先證明出四邊形/BGE是矩形，得到產(chǎn)G=8E,

ZFEG=90°,然后證明出八4/話，是等腰直角三角形，得到A”=E”，然后證

明出Rt/EG/RtE/〃）（HL）,得到NEFG=NHED,然后利用角度的等量代換求解即

可.

【詳解】如圖所示，延KGC交AZ）于點〃，

???四邊形A8CO是正方形，AC是對角線

:,BE=DE,ZA8C=90°

'：EFLAB,EGIBC

???四邊形尸8GE是矩形

:?FG=BE,ZFEG=90°

AFG=DE,AB〃GH

,EHLAD

???四邊形ABC。是正方形，AC是對角線

ZFAE=ZHAE=45°

:.ZHE4=ZFE4=45°

AZMFE,是等腰直角三角形

/.AH=EH

?NFAH=ZAFE=ZAHE=90。

四邊形AFEH是正方形

，F(xiàn)E=HE

???在Rt^FEG和RiEHD中

EF=HE

FG=DE

???RtFEG^Rt.EHD(BL)

/./EFG=NHED

*/ZAED=ZAEH+/HED=a

???45°+ZEFG=a

，ZEFG=^-45°.

故選：C.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判

定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明出

Rt-FEG^RtEHD(HL).

變式1：如圖1是七巧板圖案，現(xiàn)將它剪拼成一個“臺燈”造型(如圖2),過該造型的上

AR3

下左側(cè)五點作矩形A8CD,使得▼=3,點N為P。的中點，并且在矩形內(nèi)右上角部分

8c5

留出正方形作為印章區(qū)域(E"〃八2〃G〃8),形成一幅裝飾畫，則矩形

ABC。的周長為_cm.若點M,N,E在同一直線上，且點〃到AD的距離與到CQ的

【分析】

本題考查正方形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，能由圖1求出各圖形的邊長是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

“臺燈”的造型及圖I,可求出AB的長，進而可求出矩形的周長；延長MN經(jīng)過點￡并

與40相交于點L,連接可得出四邊形OKE”是平行四邊形，求出“長即可解

決問題.

【詳解】解：由圖1可知，

七巧板中的等腰直角三角形最大的直角邊長為6,然后3五，最小的直角邊長為3,

正方形和平行四邊形的近邊長都是3.

過點N作力。和8C的垂線，垂足分別為J,K,則N/=3+3+3=9,

又MN=3近，且MWK是等腰直角三角形，

???NK=3,故JK=9+3=12.

又ZA=NB=NBKJ=9QP,

.??四邊形ABK/是矩形，

AB=JK=\2.

AB3

又言』

BC5

BC=20,

故矩形A8CQ的周氏為2x(12+20)=64.

延長MN經(jīng)過點E與人。交于點L,連接DH,

NNMC=45。，且AO〃6C,

???ZALA/=45°.

又點H到AO的距離與到CO的距離相等，

???點H在^ADC的角平分線上，則ZADH=gx90。=45。.

2

???ZADH=ZALE,

LE//DH,

又LD//EH,

二?四邊形是平行四邊形.

又AJ=6+\.5=7.5,JL=JN=9,

A￡=7.5+9=16.5.

ADL=20-16.5=3.5.則E”=OL=3.5,

四邊形屏是正方形，

二?印章區(qū)域的面積為防2=12.25cm2.

故答案為：64,12.25.

變式2：如圖1,在矩形A8C。中，跳:是的角平分線，4笈=3,點。為對角線B。

上的一個動點，連接"，線段”與線段跖相交于點立

圖1圖2

(1)當42_1即時，求證：一ABEs#BF；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，EF=—,=求4,的長；

53

(3)如圖2,若AO=8,A8=6,過點P作PQJ-AP,PQ與直線8C相交于點。，試判

斷點尸在線段8。上運動的過程中，器的值是否發(fā)生變化？若有變化，請求出其變化

范圍；若無變化，請求出這個定值.

【答案】(1)見解析

嗚

4

(3)不變，定值]

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)和角平分線的定義證得N8AE=N8W,ZABE=/PBF,

進而根據(jù)相似三角形的判定可得結(jié)論;

(2)作A"_L￡F于點H.先證明N4在=N4￡產(chǎn)，AF=AE=3,再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)得到尸〃=⑶/=^^尸=延，然后利用勾股定理求得人”=延，證明

255

BPFs,AH/求得尸P值即可；

KB4

(3)過點P作LK1.BC于點K,交于點L,證明BKPsBCD得至I]麻二3,證明

14七尸8一尸他求得北=3=第=1,進而可得結(jié)論.

rtxlx\JJ

【詳解】(l)證明；???四邊形A8CD是矩形,

???ZBAE=90°,

,/APLBD,

：,NBPF=90。,

，ZBAE=ZBPF,

,:BE是NABD的角平分線，

，ZABE=NPBF,

:?AABESJ>BF.

(2)解：如圖1,作于點"則NAHE=90°,

,/N3Q4=NBA￡)=90。.

/./PAB=ZADB=驕一ZABD,

,/ZABE=/DBE,

???/PAB+ZABE=ZADB+/DBE,

?:ZAFE=/PAB+ZABE,ZAEF=ZADB+ZDBE,

JZAFE=ZAEF,

???AF=AE=3,

VZBPF=ZAHF=90°,ZBFP=ZAFH,

，BPFs,AHF,

.FPBP

''FH~