正弦定理(要點(diǎn)歸納夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第一節(jié)正弦定理

【要點(diǎn)歸納】

一、正弦定理

1.正弦定理內(nèi)容：在一個三角形中，各邊和它所對角的的比相等。即：急=益=^

2.正弦定理的常用變形：

⑴a：b：c=sinA:sinB:sinC；

asin八asin/\bsinB

(sin3'sinC*c-sinC:

ab___c________a+b+c

()siiL4-sinB-sinLsin>4+sin8+sinC；

⑷a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；

4?Aa.口b.c

(5)sinA=/，sinB=詼，smC=詼;

(6)AvB0，v/?<=fiRsirL4v2RsinBGinA<sinB.

3.正弦定理的推廣：由正弦定理的推導(dǎo)過程可以得到如下面積公式：5A=^sinC=5

acsinB=2bcsinA.

4.三角形的面積公式

(1)S=^a-ha=^b-hb=^chc(h(nhb,瓦■分別表示小b,c邊上的高)；

(2)S=；a加inC=^?csin4=JcsinB；

(3)S=；(a+力+c>r(r為內(nèi)切圓半徑).

二、解三角形

1.解三角形：一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊小h,c叫做三角形

的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

2.利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題

(1)已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角；

(2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和

角.

3.討論三角形解的個數(shù)

在△ABC中，已知小b,4,以點(diǎn)。為圓心，以邊長a為半徑畫弧，與除去頂點(diǎn)A的

射線AB交點(diǎn)的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，其解的情況如下表:

=1,一解;③sinBvl,兩解.

4.在解三角形時，常用到以下結(jié)論：

(1)在△ABC中，A>B=a>businA>sinB；(即大邊對大角).

(2)a+b>c,b+c>a,a+c>h\(即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊)

⑶內(nèi)角和定理：A+8+C=mA+8=7C—C,”8=尹苧

sin(4+8)=sinC,cos(A+B)=—cosC；

A+3CA+8.C

sin-2-=cosy,cos~~=sin,

jrjr

(4)在銳角5c中，A+8>5=4>]—4=sin4>cos8=cosA<sinB.

【夯實(shí)基礎(chǔ)練】

1.(2022?重慶市第八中學(xué)高三(下)第一次調(diào)研檢測)《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出

數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》

中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,h,

c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜幕并大斜哥減中斜

幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜鼎減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積

M+八叫2

若把以上這段文字寫成公式，即5=現(xiàn)在有周長為

10+2"的4人8。滿足出114”皿8：5①。=2:3:近，則用以上給出的公式求得,ABC

的面積為（）

A.6^3B.4療C.8不D.12

【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得：a:Z?:c=sinA:sinB:sinC=2:3：V7,

??"ABC周長為10+2近，即4+6+c=10+2x/7,:.a=4,b=6,c=2近.所以

62+42-(2>/，7)2

S62X42-6\/3,故選：A.

42

【答案】A

2.（2022?河北省衡水中學(xué)高三一模）設(shè)..A/C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,

c,若。=?sinB=—?C=—>則邊c=()

26

A.2B.&C.y/2D.1

因?yàn)閟inB=］1且571所以5=C,A=^-B-C=—.又

【解析】

2663

a=6由正弦定理，得,即---r—=--------,解得C=1.故選：D.

sinAsinC.2%.71

sin——sin—

36

【答案】D

3.（2U22?江西師大附中三模）滕王閣，位于江西省南昌巾西北部沿江路贛江東岸，始建

于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鷲齊飛，秋水共長天一色''而流芳后世.如

圖，小明同學(xué)為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到?座建筑物A8,高為12m,

在它們的地面上的點(diǎn)M（B,M,力三點(diǎn)共線）測得樓頂A,滕王閣頂部C的仰角分別為15。和

60。，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30。，則小明估算滕王閣的高度為（）（精確到1m）

A.42mB.45mC.51mD.57m

Afi

【解析】由題意得，在MuABM中，AM二—"七，在"CW中，

sin15

NC4M=30°+15°=45°,Z/WC=180°-15°-60°=105°,所以NACM=30°,由正

2AEAMCM4"4M4

弦定理-------得又

sinZ.ACMsinZCAMsinNACMsin15

加5。=.45。一30。）二去冬孝十丹也

在Rt.CDM中

CD=CMsin60°=""=—廠=36+126。57.故選：D.

2sinl5)V6-V2

2x-------

4

【答案】D

4.（2022?黑龍江省哈九中模擬）記AAAC的內(nèi)角4,R,C的定邊分別為〃,h,c

ZoT

sinC=---,c=2,6=3,則cosB的值為()

7

A.-EB,且C.士且D.±也

1414147

3x@

【解析】根據(jù)正弦定理得一也=-^,得§皿8=竺叱=?=士"，所

sinBsinCc214

前萬=±m(xù)=±器?故選：c

以cosB=±71-

【答案】C

5.（2022?高考浙江卷）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式,

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白.如果把這個方法寫成公

式，就是S=J；c2a2一，2+；一,,其中小也。是三角形的三邊，s是三角形的

面積.設(shè)某三角形的三邊。=血,6=J5,C=2,則該三角形的面積S=

1「(r2-i-n2-h2V

-c2a2-,所以

J4[12〃

c1dc<4+2-3?V23…1V23

S=l-4x2---------=--.故答案為：--.

丫4[I2JJ44

-V23

【答案】--.

4

6.（2022?重慶市第八中學(xué)高三第六次調(diào)研檢測）在z_A3C中，已知28scosA=l,

則叫8s人

忸c

【解析】因?yàn)?cos28-cosA=1,所以cosA=2cos28-l=cos23,因?yàn)?/p>

A、BG(O,^),故2BC(0,2;T),所以A=28或A+25=2萬.因?yàn)?VA+8V4,故

故A=2B.則由正弦定理得sin2B=sinA,2bcosB=a,_￡巴0=」

4+25<2幾,

a2

故答案為：-

2

【答案】-##0.5

2

7.（2022?黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)高三（上）期末）已知函數(shù)/（X）=sin(26J在

2/7—CCCSC

二45c中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c且滿足—一=生上，則/（A）的取

bcosB

值范圍是________

__,2a-ccosCp十計…e/口2sinA-sinCcosC

【解析ir】由------=-----及正弦定理，得--------------=------,即

bcosBsinBcosB

2sinAcos5-sinCeosB=sinBcosC即

2sinAcosB=sinCeosB+sinBcosC=sinA,所以cosB,即所以

2

71Tl（1、

,所以.故答案為:

127

8.（2022?河北省衡水中學(xué)高三二模）在4ABe中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

qinA

。且b8sA-2c8s3=2Z?8sC-a8s3,則-----=____________.

sinC

【解析】因?yàn)閆?cosA-2c8sN=2/?cosC-48s4,由正弦定理可得：

sinficosA-2sinCcos^=2sinBcosC-sinAcosA即

sinBcosA-bsinAcosB=2sinBcosC+2sinCcosB,所以sin（A+6）=2sin（6+C）,

在AABC中，因?yàn)锳+B+C=7i,所以sin（兀一C）=2sin（兀一A）,即sinC=2sinA,

所以任4=L,故答案為：1

sinC22

【答案】-

2

9.（2022?北京市北京大學(xué)附屬中學(xué)高三2月開學(xué)考試）在△A8C中，A=-,

3

cosB=—,BC=6則AC的長為___________.

3

【解析】因?yàn)閏osB=*，所以sinB=Jl-cos?8=[6=且，由正弦定理

193

BCAC6AC.乂林3d4

可知：-----=-----n一尸=一尸=>AC=4,故答案為：4

sinAsinBJ313

TT

【答案】4

10.(2022?山西省長治市第二中學(xué)高三(上)第三次練考)如圖，A是兩條平行直線小右之

間的一個定點(diǎn)，且點(diǎn)A到直線/「4的距離分別為AM=1，AN二=6設(shè)4ABC的另兩個

ADAr

頂點(diǎn)C、B分別在4、4上運(yùn)動，且滿足ABCAC,------=—r

cosBcos(?

c

MB2

(1)試判斷AABC的形狀，并證明結(jié)論；

(2)求;+唯的最大值.

.ABAC口―口sinCsinB

【解析】(I)由----=-----及正弦定理得-----=-----=>sin2B=sin2c..

cosBcosCcosBcosC

冗

因?yàn)锳BcAC,所以，/。</8.于是2/3+2/。=乃二>N8+NC=—.

2

故AABC為直角三角形，且乙4二工.

2

(2)設(shè)ZBAM=<6<工］.則NCAN=--0.

I2；2

于是，在RtZ\AMB中，AB=-----；

cos。

在RiZXANC中，AC=—二.故」一+工^=cos9+sin9=2sin0+—.

sin。ABAC(4)

從而，當(dāng)6=巳時，----F■取得最大值為.

4ABAC

【答案】⑴工；(2)&

2

11.(2022?河北省衡水中學(xué)高三一模)已知：-ABC中，角A,8,C所對的邊分別為

a,b,c,KbsinA=—asin2B.

3

(1)求知B的大小及cos2B的值：

(2)若cosA='，求sinC的值.

3

【解析】(IWABC中，由正弦定理/一二」一,又由asin23=JJbsinA得

sinAsinB

所以cos3=立，

2sinAsinBcosB=>/3sin5sinA,sinAw0,sinBwO

2

V0<B<TT,/.B=—./.cos2B=cos—=—.

632

(2)由cosA=-及0vAv；r得sinA=,則

33

sinC=sin[%-(A+B)]=sin(A4-B),

?小?(A萬)舊.A1A2>j6+1

所以sinC=sinA+—=——sinAH■—cosA=-----------

6)226

【答案】(1)B=2；COS2B=-(2)2池+1

626

12.(2022?安徽省六安一中高三第四次月考)已知在A4BC中，角4,B,C所對的邊分別

為a,b,c,且c=l,cosBsinC-t-(2sinA-sinB)cos(^-C)=0.

(1)求角C的大小；

(2)若力=-a,求lan6的值.

3

【解析】(1)因?yàn)閏os8sinC+(2sinA-sin3)8s(乃一C)=0.

所以cosBsinC+sinBcosC-2sinAcosC=0,

所以sinA-2sinAcosC=0,而4為三角形內(nèi)角，所以sinA>0,

17T

所以cosC=—，???