幾何體的外接球與內(nèi)切球滿分突破10講全網(wǎng)模型（學(xué)生版）

第1講 墻角模型如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球．有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)．考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力．研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用．球的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決．如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作．當(dāng)球與多面體的各個(gè)面相切時(shí)，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時(shí)，可用球心與多面體的各頂點(diǎn)連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積法來(lái)求球的半徑．空間幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型1．墻角模型；2．對(duì)棱相等模型；3．漢堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鱷魚模型；8．已知球心或球半徑模型；9．最值模型；10．內(nèi)切球模型．【方法總結(jié)】墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長(zhǎng)方體)解決．外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)(在長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，2R＝a2＋b2＋c2．)，秒殺公式：R2＝a2＋b2＋c2．可求出球的半徑從而解決問(wèn)題．有以下四種類型：4【例題選講】[例] (1)已知三棱錐A－BCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝3，BC＝2，CD＝5，則球O的表面積為()A．12πB．7πC．9πD．8π(2)若三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA2，SBSC4，則該三棱錐的外接球半徑為()．A．3B．6C．36D．9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，則球1頁(yè)O的表面積等于()．A．4πB．3πC．2πD．π(4)在正三棱錐S－ABC中，M，N分別是棱SC，BC的中點(diǎn)，且AMMN，若側(cè)棱SA2，則正3三棱錐S－ABC外接球的表面積是________．△(5)(全國(guó)Ⅰ高考)已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為()．A．8B．4C．2D．6666(6)已知二面角α－l－β的大小為π3，點(diǎn)P∈α，點(diǎn)P在β內(nèi)的正投影為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)C∈l，BC＝22，PA＝23，點(diǎn)D∈β，且四邊形ABCD滿足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面體PACD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．點(diǎn)A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，則該球的表面積為()A．7πB．14π△C．7πD．714π232．等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，將ABC沿BC邊上的高AD折成直二面角B－AD－C，則三棱()－的外接球的表面積為20A．5πB．πC．10πD．34π33．已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，則球O的體積等于________.4．已知四面體P－ABC四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB5＝2，則球O的表面積為________．PAPBPC3PAPBPABC積為(P)ABC．三棱錐－中，為等邊三角形，＝＝＝，⊥，三棱錐－的外接球的體27273A．πB．πC．273πD．27π226．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，四面體ABCD各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，2，1)，B(2，2，－1)，C(0，2，1)，D(0，0，1)，則該四面體外接球的表面積是()A．16πB．12πC．4D．6π3π7．在平行四邊形ABCD中，∠ABD＝90°，且AB＝1，BD＝2，若將其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，則三棱錐A－BDC的外接球的表面積為(D)A．2πB．8πC．16πD．4π8．在正三棱錐S－ABC中，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且AM⊥SB，底面邊長(zhǎng)AB＝22，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為()A．6πB．12πC．32πD．36π9．在古代將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，已知四面體A－BCD為鱉臑，AB⊥平面BCD，8且AB＝BC＝3CD，若此四面體的體積為3，則其外接球的表面積為________．632頁(yè)10．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為32的正方形，AA1＝3，E是線段A1B1上一點(diǎn)，若二面角A－BD－E的正切值為3，則三棱錐A－A1D1E外接球的表面積為________．第2講 對(duì)棱相等模型【方法總結(jié)】對(duì)棱相等模型是三棱錐的三組對(duì)棱長(zhǎng)分別相等模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長(zhǎng)方體)解決．外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R a2b2c2(長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R2＝x2＋y2＋z2(三8棱錐的三組對(duì)棱長(zhǎng)分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問(wèn)題．【例題選講】[例] (1)正四面體的各條棱長(zhǎng)都為2，則該正面體外接球的體積為________．(2)在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，則三棱錐ABCD外接球的表面積為________．(3)在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，則該三棱錐的外接球的體積為____．(4)在正四面體ABCD中，E是棱AD的中點(diǎn)，P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn)，BPPE的最小值為7，則該正四面體的外接球的體積是()33A．B．6C．6D．6322(5)已知三棱錐ABCD，三組對(duì)棱兩兩相等，且ABCD1，ADBC，若三棱錐ABCD的3外接球表面積為9．則AC________．2【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知正四面體ABCD的外接球的體積為86π，則這個(gè)四面體的表面積為________．2．表面積為83的正四面體的外接球的表面積為()A．4B．12C．8D．4363．已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝6，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________．4．三棱錐中S－ABC，SA＝BC＝13，SB＝AC＝5，SC＝AB＝10．則三棱錐的外接球的表面積為______.5．已知一個(gè)四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC3頁(yè)＝BD＝5，則a＝________.6．正四面體ABCD中，E是棱AD的中點(diǎn)，P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn)，BPPE的最小值為14，則該正四面體的外接球表面積是( )A．12 B．32 C．8 D．24第3講 漢堡模型【方法總結(jié)】漢堡模型是直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過(guò)多面體的兩個(gè)面的外心且分別垂直這兩個(gè)面的直線的交點(diǎn)．一般情況下只作出一個(gè)面的垂線，然后設(shè)出球心用算術(shù)方法或代數(shù)方法即可解決問(wèn)題．有△時(shí)也作出兩條垂線△，交點(diǎn)即為球心．)解決．以直三棱柱為例，模型如下圖，由對(duì)稱性可知球心O的位置是ABC的外心O與ABC的外心O連線的中點(diǎn)，算出小圓O的半徑AO＝r，OO1＝h，R2r2h2．2 4【例題選講】[例] (1)(遼寧高考)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()．313A．17B．2C．D．3101022(2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為( )．A．a(chǎn)2B．7a2C．11a2D．3a2337(3)(全國(guó)Ⅰ高考)直三棱柱ABC－A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于( )．A．10π B．20π C．30π D．40π(4)已知圓柱的高為2，底面半徑為3，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積等于()A．4πB．16πC．32πD．16π33(5)若一個(gè)圓柱的表面積為12，則該圓柱的外接球的表面積的最小值為()4頁(yè)A．(12512)B．123C．(1233)D．16【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．一直三棱柱的每條棱長(zhǎng)都是2，且每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為()28π422π3π7πA．B．C．D．3332．一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為________.83．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面積為33，一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為63，則正三棱柱ABC－A1B1C1外4接球的表面積為()A．4πB．8πC．16πD．32π4．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，則該三棱柱的外接球的體積為()40π4032030π30πA．B．C．D．20π327275．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD沿EF折起，使二面角A－EF－C的大小為120°，則過(guò)A，B，C，D，E，F(xiàn)六點(diǎn)的球的表面積為()A．6πB．5πC．4πD．3π6．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝23，∠BAC＝2π3，則球O的體積為()A．32πB．3πC．4πD．8π337．有一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的底面半徑相等，此圓錐的母線與底面所成角為60，若此圓柱的外接球的表面積是圓錐的側(cè)面積的4倍，則此圓柱的高是其底面半徑的()A．倍B．2倍C．2倍D．3倍228．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，二面角A1BDC1的大小為3，則該正四棱柱外接球的表面積為( )A．12 B．14 C．16 D．189．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA12，設(shè)四棱柱的外接球的球心為O，動(dòng)點(diǎn)P在正方ABCD的邊上，射線OP交球O的表面點(diǎn)M，現(xiàn)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著ABCDA運(yùn)動(dòng)一次，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為________．10．已知圓柱的上底面圓周經(jīng)過(guò)正三棱錐PABC的三條側(cè)棱的中點(diǎn)，下底面圓心為此三棱錐底面中心．若三棱錐PABC的高為該圓柱外接球半徑的2倍，則該三棱錐的外接球與圓柱外接球的半徑的比值為________．4講垂面模型5頁(yè)【方法總結(jié)】垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補(bǔ)為直棱柱內(nèi)接于球，由對(duì)稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O與△ABD的外心O連線的中點(diǎn)，算出小圓O的半徑AO＝r，OO＝h，R2r2h2．2 4【例題選講】[例] (1)已知在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝23，SA＝1．則該三棱錐的外接球的體積為( )13131313A．13πB．13πC．πD．π866(2)三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A．23πB．23πC．64πD．64π43(3)在三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝25，則該三棱錐的外接球的表面積為( )6425643620483A．πB．πC．πD．π33327(4)在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120?，PA＝AB＝AC＝2，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．103πB．18πC．20πD．93π(5)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC120，AC2，AB1，設(shè)D為BC中點(diǎn)，且直線PD與平面ABC所成角的余弦值為5，則該三棱錐外接球的表面積為________．5【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，則該三棱錐外接球的表面積為( )A．18πB．21πC．21πD．42π2．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若2AB＝2，則球O的表面積為()△A．4πB．12πC．16πD．32π3．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，則球O的表面積為()A．4πB．12πC．16πD．64π4．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝3，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為( )6頁(yè)4π82πA．B．C．8πD．12π335．在三棱錐A－BCD中，AC＝CD＝2，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱錐的所有頂點(diǎn)，都在同一球面上，則球的表面積是________．△6．如圖，在ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，將ABD沿BD折起到PBDPDPCPBCD的位置，使＝，連接，得到三棱錐－，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是()A．7π B．5π C．3π D．π7．已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為23的正方形．若A．3△OABB．2(2)C．33D．63PA26，則的面積為．8．三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球表面積為________．9．中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD＝5，ED＝3，若鱉臑P－ADE的外接球的體積為92π，則陽(yáng)馬P－ABCD的外接球的表面積為________．10．在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AP2，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且AB1AD3，直線PM與平面ABCD所成的角為4．記點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為，則tan________．；當(dāng)三棱錐PABM的體積最小時(shí)，三棱錐PABM的外接球的表面積為________．第5講 切瓜模型【方法總結(jié)】面垂直底△面的棱錐型，常見(jiàn)的是兩個(gè)互相垂△直的面都是特殊三角形△且平面ABC⊥平BCD，如類△型Ⅰ，△ABC與BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，ABC△是等△邊三角形，BCD是直角三角形，類型Ⅲ，ABC與BCD都是等邊三角△形，解決△方法是分別過(guò)ABC與BCD的外心△作該三角形所在平面的垂線，交點(diǎn)O即為球心．類型Ⅳ，ABC與BCD都一般三角形，解決方法是過(guò)BCD的外心O作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問(wèn)題．設(shè)三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，切瓜模型是有一側(cè)7頁(yè)面PAC⊥平面PBC，那么三棱錐P－ABC外接球的體積為________．R2＝r2＋m2，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則R2＝d2＋h－m2，解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－l42(其中r1、r2為兩個(gè)面的外接圓的半徑，l為兩個(gè)面的交線的長(zhǎng))【例題選講】[例] (1)已知在三棱錐P－ABC中，VP-ABC＝433，∠APC＝π4，∠BPC＝π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平(3)已知三棱錐A－BCD中，△ABD與△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且二面角A－BD－C為直二面角，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為()A．10πB．5πC．6πD．20π33(4)已知ABC是以BC為斜邊的直角三角形，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面PBC平面ABC，BC3，PB2，PC，則三棱錐PABC外接球的表面積為________．25(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，沿DE將ABC折成直二面角(如圖)，則四棱錐A－DECB的外接球的表面積為________．△8頁(yè)【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．把邊長(zhǎng)為3的正方ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使得平面ABC平面ADC，則三棱錐DABC的外接球的表面積為()△△A．32C．18D．9B．272．在三棱錐A－BCD中，ACD與BCD都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為________．3．已知如圖所示的三棱錐D－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂，則球O的表面積為(△)△直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23A．4πB．12πC．16πD．36π4．在三棱錐ABCD中，平面ABC平面BCD，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若BDC4，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為()．A．52B．3C．4D．28335．已知空間四邊形ABCD，BAC23，ABAC23，BD4，CD25，且平面ABC平面BCD，則該幾何體的外接球的表面積為( )A．24 B．48 C．64 D．966．如圖，已知四棱錐PABCD的底面為矩形，平面PAD平面ABCD，AD22，PAPDAB2，則四棱錐PABCD的外接球的表面積為( )A．2 B．4 C．8 D．127．在四棱錐ABCDE中，ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC平面BCDE，則該四棱錐的外接球的體積為( )9頁(yè)A．2121 B．84 C．721 D．28218．已知空間四邊形ABCD，BAC23，ABAC23，BDCD6，且平面ABC平面BCD，則空間四邊形ABCD的外接球的表面積為()A．60B．36C．24D．129．在三棱錐PABC中，ABAC4，BAC120，PBPC43，平面PBC平面ABC，則三棱錐PABC外接球的表面積為________．10．在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，AP25,AB6,ACB3，且直線PA與平面ABC所成角的正切值為2，則該三棱錐的外接球的表面積為()5252A．13B．52C．D．1333第6講 斗笠模型【方法總結(jié)】圓錐、頂點(diǎn)在底面的射影是底面外心的棱錐．秒殺公式：R＝h2＋r2(其中h為幾何體的高，r為幾何體2h的底面半徑或底面外接圓的圓心)【例題選講】[例] (1)一個(gè)圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60，若該圓錐的側(cè)面積為33，則該圓錐外接球的表面積為________．△(2)(全國(guó)Ⅰ高考)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π(3)在三棱錐PABC中，PAPBPC26,ACAB4，且ACAB，則該三棱錐外接球的表面積為________．(4)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為( )A．81π4 B．16π C．9π D．27π4(5)如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，cos∠PEF＝22，若A，B，C，D，P在同一球面上，則此球的體積為________．10頁(yè)(6)在三棱錐PABC中，PAPBPC2，ABAC1，BC3，則該三棱錐外接球的體積為( )A．4B．82C．4D．323333【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線PA與底面所成的角為30，底面圓心O到PA的距離為1，則該圓錐外接球的表面積為________．2．在三棱錐PABC中，PAPBPC3，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為()A．B．πC．4D．4π333．在三棱錐PABC中，PAPBPC6，ACAB2，且ACAB，則該三棱錐外接球的表面積為( )A．4 B．8 C．16 D．94．已知體積為3的正三棱錐PABC的外接球的球心為O，若滿足OAOBOC0，則此三棱錐外接球的半徑是( )A．2 B．2 C．32 D．345．已知正四棱錐P－ABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為2，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為()A．124πB．625πC．500πD．256π3818196．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30，若SAB的面積為8，則該圓錐外接球的表面積是________．7．已知圓臺(tái)O1O2上底面圓O1的半徑為2，下底面圓O2的半徑為22，圓臺(tái)的外接球的球心為O，且球心在圓臺(tái)的軸O1O2上，滿足|O1O|3|OO2|，則圓臺(tái)O1O2的外接球的表面積為________．8．在六棱錐PABCDEF中，底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，PA2且與底面垂直，則該六棱錐外接球的11頁(yè)體積等于________．9．在三棱錐PABC中，PAPBPC2，AB2，BC10，APC2，則三棱錐PABC的外接球的表面積為________．10．在三棱錐PABC中，PAPBPC92，AB8，AC6．頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為H，若AHABAC且21，則三棱錐PABC的外接球的體積為________．第7講 鱷魚模型【方法總結(jié)】鱷魚模型即普通三棱錐模型，用找球心法可以解決．如果已知其中兩個(gè)面的二面角，則可用秒殺公式：R2＝m2＋n2－2mncosα＋l2(其中l(wèi)＝|AB|)解決．sin2α 4【例題選講】[例](1)在三棱錐ABCD中，ABD和CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角ABDC的平面角為60，則三棱錐的外接球的表面積為________．(2)在等腰直角ABC中，AB2，BAC90，AD為斜邊BC的高，將ABC沿AD折疊，使二面角BADC為60，則三棱錐ABCD的外接球的表面積為________．(3)在四面體ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A－BD－C的大小為150°，則四面體ABCD外接球的半徑為________．，(4)在三棱錐S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－323若S，A，B，C都在同一球面上，則該球的表面積是()A．4πB．6πC．8πD．9π(5)已知三棱錐PABC中，ABBC，AB2，BC，PAPB3，且二面角PABC232的大小為150，則三棱錐PABC外接球的表面積為()A．100B．108C．110D．111，(6)在三棱錐PABC中，ABBC，三角形PAC為等邊三角形，二面角PACB的余弦值為63當(dāng)三棱錐PABC的體積最大值為13時(shí)，三棱錐PABC的外接球的表面積為________．12頁(yè)(7)在體積為233的四棱錐PABCD中，底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，PAB為等邊三角形，二面角PABC為銳角，則四棱錐PABCD外接球的半徑為()A．D．321B．C．2332【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在三棱錐SABC中，SBSCABBCAC2，二面角SBCA的大小為60，則三棱錐SABC外接球的表面積是()A．14B．16C．40D．5293392．已知三棱錐ABCD，BC6，且ABC、BCD均為等邊三角形，二面角ABCD的平面角為60，則三棱錐外接球的表面積是________．3．已知邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，BAD120，沿對(duì)角線AC折成二面角BACD的大小為的四面體且cos13，則四面體ABCD的外接球的表面積為________．4．在三棱錐PABC中，頂點(diǎn)P在底面ABC的投影G是ABC的外心，PBBC2，且面PBC與底面ABC所成的二面角的大小為60，則三棱錐PABC的外接球的表面積為________．5．直角三角形ABC，ABC2，ACBC2，將ABC繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABC位置，若二面角CABC的大小為2，則四面體CABC的外接球的表面積的最小值為()3A．6B．3C．3D．226．已知空間四邊形ABCD中，ABBDAD2，BC1，CD，若二面角ABDC的取值范圍3為[，2]，則該幾何體的外接球表面積的取值范圍為________．347．在三棱錐SABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA，SB2，二面角SABC33的大小為60，則此三棱錐的外接球的表面積為________．8．在四面體ABCD中，BCCDBDAB2，ABC90，二面角ABCD的平面角為150，則四面體ABCD外接球的表面積為()A．31B．124C．31D．124339．在三棱錐ABCD中，ABBCCDDA，BD2，二面角ABDC是鈍角．若三棱錐73ABCD的體積為2．則三棱錐ABCD的外接球的表面積是()A．12B．37C．13D．533410．在平面五邊形ABCDE中，A60，ABAE63，BCCD，DECD，且BCDE6．將五邊形ABCDE沿對(duì)角線BE折起，使平面ABE與平面BCDE所成的二面角為120，則沿對(duì)角線BE13頁(yè)折起后所得幾何體的外接球的表面積是________．第8講 已知球心或球半徑模型【例題選講】[例](1)(全國(guó)Ⅰ高考)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________．(2)已知三棱錐A－BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為3，BC＝3，BD＝3，∠CBD＝90?，則球O的體積為________．(3)(全國(guó)Ⅰ高考)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()△A．2B．3C．2D．26632(4)(新高考全國(guó)Ⅰ高考)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°．以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________．(5)三棱錐S－ABC的底面各棱長(zhǎng)均為3，其外接球半徑為2，則三棱錐S－ABC的體積最大時(shí)，點(diǎn)S到平面ABC的距離為()A．2＋3B．2－3C．3D．2【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知三棱錐P－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC滿足AB＝22，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點(diǎn)P到底面ABC的距離為()△A．2B．22C．3D．232．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O，半徑為R的球面上，AB＝6，BC＝23，且四棱錐O－ABCD的體積為8)3，則R等于(C．4A．4B．27D．31393．已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐P－ABC的體積為16，則此三棱錐的外接球的表面積為()△316π40π64π80πA．B．C．D．33332，各頂點(diǎn)均在以PA為直徑球面上，ABAC4．已知三棱錐ASBC的體積為32,BC2，則這3個(gè)球的表面積為_____________．5．(全國(guó)Ⅲ高考)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為________．△6．(全國(guó)Ⅰ高考)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π14頁(yè)7．(全國(guó)Ⅱ高考)已知△ABC是面積為943的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為()3A．B．C．1D．33228．如圖，半徑為R的球的兩個(gè)內(nèi)接圓錐有公共的底面，若兩個(gè)圓錐的體積之和為球的體積的38，則這兩個(gè)圓錐高之差的絕對(duì)值為( )R2R4RA．B．C．D．R2339．如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在正方體的底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡的面積是( )A．4πB．πC．2πD．π210．在三棱錐ABCD中，底面為Rt△，且BCCD，斜邊BD上的高為1，三棱錐ABCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16，則三棱錐ABCD的體積的最大值為________．第9講 最值模型【方法總結(jié)】最值問(wèn)題的解法有兩種方法：一種是幾何法，即在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中得到最值，從而轉(zhuǎn)化為定值問(wèn)題求解．另一種是代數(shù)方法，即建立目標(biāo)函數(shù)，從而求目標(biāo)函數(shù)的最值．【例題選講】[例](1)已知三棱錐P－ABC的頂點(diǎn)P，A，B，C在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，．(2)在四面體ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝3，AC＝2，當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為()A．2πB．3πC．6πD．8π(3)已知四棱錐S－ABCD的所有頂點(diǎn)在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于16＋16)3，則球O的體積等于(15頁(yè)41632642π2π2π2πA．B．C．D．3333(4)三棱錐A－BCD內(nèi)接于半徑為5的球O中，AB＝CD＝4，則三棱錐A－BCD的體積的最大值為()A．4B．8C．16D．323333(5)已知正四棱柱的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且球的表面積為12π，當(dāng)正四棱柱的體積最大時(shí)，正四棱柱的高為________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為( )A．4 B．6 C．8 D．102．(全國(guó)Ⅱ高考)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．144πD．256π3．已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝．若三棱錐D－ABC體積的最大值為3，6，AC＝23則球O的表面積為________．4．在三棱錐A－BCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝AC＝3，當(dāng)三棱錐A－BCD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為________．5．已知三棱錐D－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝BC＝2，AC＝22，若三棱錐D－ABC體積的最大值為2，則球O的表面積為()25π121πA．8πB．9πC．D．396．三棱錐A－BCD的一條棱長(zhǎng)為a，其余棱長(zhǎng)均為2，當(dāng)三棱錐A－BCD的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為()21π20π5π5πA．B．C．D．△43437．已知三棱錐O－ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，當(dāng)AOC與BOC的面積之和最大時(shí)，三棱錐O－ABC的體積為()．3．23．2．1BC△D33328．(全國(guó)Ⅲ高考)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．123B．183C．243D．5439．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，∠ASC＝∠BSC＝30?，則棱錐S－ABC的體積最大為()8A．2B．C．3D．23310．四棱錐P－ABCD的底面為矩形，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，且球的表面積為16π，點(diǎn)P在球面上，則四棱錐P－ABCD體積的最大值為()A．8B．8C．16D．163311．(全國(guó)Ⅲ高考)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，16頁(yè)AA1＝3，則V的最大值是()9π32πA．4πB．C．6πD．2312．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的體積與圓柱的體積的比值為________．△ADE△13ABCDAB2AD2aEAB82πA1DE，．如圖，在矩形中，已知＝＝，是的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成連接A1C．若當(dāng)三棱錐A1－CDE的體積取得最大值時(shí)，三棱錐A1－CDE外接球的體積為，則a＝()3A．2 B．2 C．22 D．414．已知三棱錐S－ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，且該三棱錐的體積為23，SA⊥平面ABC，SA＝4，∠ABC＝120°，則球O的體積的最小值為________．第10講 內(nèi)切球模型【方法總結(jié)】以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和；第一步：先求出