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概率計(jì)算與成果因素分析名言安東尼?羅賓成功呈概率分布,關(guān)鍵是你能不能堅(jiān)持到成功開(kāi)始呈現(xiàn)的那一刻。故事美國(guó)的“樂(lè)透”彩票上印有1-54的數(shù)字,由買者任意選擇6個(gè)數(shù)字涂黑,經(jīng)電腦記錄后就算成交。開(kāi)獎(jiǎng)時(shí),6個(gè)數(shù)字全部填對(duì)為第一大獎(jiǎng),5個(gè)數(shù)字猜對(duì)為二等獎(jiǎng),……。未中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金則挪到下一次作為累積獎(jiǎng)金,越積越多,據(jù)計(jì)算,獲第一大獎(jiǎng)的概率為2580萬(wàn)分之一。到目前為止,獲得最高獎(jiǎng)金的是1988年佛羅里達(dá)州的一位63歲的女士,她得了5500萬(wàn)美元的巨額獎(jiǎng)金。當(dāng)時(shí),她拿出一份報(bào)紙,從第一頁(yè)到第六頁(yè)各找出一個(gè)新聞?dòng)浭律系臄?shù)字來(lái);然后,按序涂在彩票上,她就是這樣發(fā)了大財(cái)。這真可謂是“點(diǎn)數(shù)成金”了。目錄彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案1.使用Excel進(jìn)行概率計(jì)算2.可能性與機(jī)遇問(wèn)題典型案例3.進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步4.第一節(jié)彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案一、問(wèn)題引入
引例:目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂(lè)透型”兩種類型?!皞鹘y(tǒng)型”中獎(jiǎng)情況如表11-1所示(X表示未選中的號(hào)碼)。表11-1傳統(tǒng)型中獎(jiǎng)等級(jí)情況表中獎(jiǎng)等級(jí)10選6+1(6+1/10)基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明一等獎(jiǎng)abcdefg選7中6+1二等獎(jiǎng)abcdef選7中6三等獎(jiǎng)abcdeXXbcdef選7中5四等獎(jiǎng)abcdXXXbcdeXXXcdef選7中4五等獎(jiǎng)abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中3六等獎(jiǎng)abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中2第一節(jié)彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案
“樂(lè)透型”有多種不同的玩法,比如“33選7”的方案。
表11-2樂(lè)透型中獎(jiǎng)等級(jí)情況表中獎(jiǎng)33選7(7/33)36選6+1(6+1/36)等級(jí)基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明一等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中7●●●●●●★選7中6+1二等獎(jiǎng)●●●●●●○★選7中6+1●●●●●●選7中6三等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中6●●●●●○★選7中5+1四等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中5+1●●●●●○選7中5五等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中5●●●●○○★選7中4+1六等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中4+1●●●●○○選7中4七等獎(jiǎng)●●●●○○○選7中4●●●○○○★選7中3+1第一節(jié)彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案問(wèn)題分析與假設(shè):
(1)“傳統(tǒng)型”要求基本號(hào)碼是連號(hào)。(2)“傳統(tǒng)型”的抽獎(jiǎng)號(hào)碼可以重復(fù),而“樂(lè)透型”抽取
號(hào)碼不允許重復(fù);(3)單注投注金額為兩元,總獎(jiǎng)金為當(dāng)期銷售總額的50%。(4)低項(xiàng)獎(jiǎng)單注獎(jiǎng)金固定,高項(xiàng)獎(jiǎng)金額按比例分配為浮動(dòng)值。(5)假定各個(gè)不同方案均是在公正公平的原則下實(shí)施,而且
彩民購(gòu)買和對(duì)獎(jiǎng)的方便程度相同。第一節(jié)彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案解決方案:(1)“傳統(tǒng)型”彩票中獎(jiǎng)概率第一節(jié)彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案(2)“樂(lè)透型”彩票中獎(jiǎng)概率第一節(jié)彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案第一節(jié)彩票設(shè)計(jì)問(wèn)題及解決方案進(jìn)一步,各方案獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)概率及獲獎(jiǎng)總概率的計(jì)算如下表第二節(jié)使用Excel進(jìn)行概率計(jì)算一、彩票的中獎(jiǎng)概率
1.典型案例:福利彩票中獎(jiǎng)概率計(jì)算。
2.解決方案:?jiǎn)栴}變?yōu)闊o(wú)放回的隨機(jī)抽樣(超幾何分布),根據(jù)其概率分布(詳見(jiàn)本章第四節(jié))即可計(jì)算出相應(yīng)的概率值。3.解決辦法:利用Excel中的超幾何分布函數(shù)(HYPGEOMDIST函數(shù))可計(jì)算出相應(yīng)參數(shù)下超幾何分布的概率。第二節(jié)使用Excel進(jìn)行概率計(jì)算4.使用Excel的求解步驟第一步:新建一個(gè)工作表。第二步:輸入已知參數(shù):N=35,M=7,n=7,x=7。第三步:運(yùn)用HYPGEOMDIST求7個(gè)球中全為紅球的概率第二節(jié)使用Excel進(jìn)行概率計(jì)算1.典型案例:運(yùn)用泊松分布求概率。二、保險(xiǎn)賠付概率2.解決方案:將二項(xiàng)分布的概率值由參數(shù)為的泊松分布的概率值近似。3.解決辦法:利用Excel中的泊松分布函數(shù)(POISSON函數(shù))可計(jì)算出相應(yīng)參數(shù)下的概率。第二節(jié)使用Excel進(jìn)行概率計(jì)算4.使用Excel的求解步驟第一步:新建Excel工作表第二步:輸入己知參數(shù)第三步:求該公司對(duì)于這批投保人的賠付總額等于30萬(wàn)元的概率第四步:求該公司對(duì)于這批投保人的賠付總額小于30萬(wàn)元的概率第三節(jié)可能性與機(jī)遇問(wèn)題典型案例案例1車床故障維修問(wèn)題問(wèn)題分析:用X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的車床數(shù)。情形1:X服從的二項(xiàng)分布情形2:X服從的二項(xiàng)分布2.解決方案第一步:新建Excel工作表第二步:輸入已知參數(shù)值第三步:求車床發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率。第三節(jié)可能性與機(jī)遇問(wèn)題典型案例應(yīng)用二項(xiàng)分布求概率第三節(jié)可能性與機(jī)遇問(wèn)題典型案例案例2排隊(duì)等候問(wèn)題1.問(wèn)題分析:等待時(shí)間X服從的指數(shù)分布,先求出的概率p,則Y服從的二項(xiàng)分布。2.解決方案第一步:新建Excel工作表一第二步:輸入己知參數(shù),。
第三步:利用EXPONDIST函數(shù)求等待時(shí)間小于10分鐘的概率。第四步:新建Excel工作表二第三節(jié)可能性與機(jī)遇問(wèn)題典型案例第五步:輸入己知參數(shù),。
第六步:求“未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)”的概率第三節(jié)可能性與機(jī)遇問(wèn)題典型案例案例3合理的訂貨量問(wèn)題打印機(jī)每周的銷售量服從N(200,30)的正態(tài)分布,問(wèn)題需要求出每周的缺貨概率不超過(guò)6%對(duì)應(yīng)的訂貨量臨界值2.解決方案第一步:新建Excel工作表第二步:輸入己知參數(shù),。第三步:計(jì)算不超過(guò)6%對(duì)應(yīng)的訂貨量臨界值1.問(wèn)題分析第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步1.隨機(jī)試驗(yàn):一般地,稱滿足下述三個(gè)條件的實(shí)驗(yàn)為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),記作E(1)試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行;(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。一、隨機(jī)事件及其概率2.基本事件和樣本空間:隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果,稱為基本事件(樣本點(diǎn))。它們的全體,稱作基本空間(樣本空間),常用w表示基本事件,用W表示樣本空間。從集合角度看,基本事件又是樣本空間的一個(gè)元素,可記作W={w
}。第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步4.事件的關(guān)系與運(yùn)算(1)包含關(guān)系:如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱B包含了A,并記為或。(2)相等關(guān)系:如果有、同時(shí)成立,則稱事件A與B
相等,記作。
第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步(3)兩事件的和事件:事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件稱作事件A與B的和(或并),記作。(4)兩事件的積(或交)事件:事件A與B同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件稱作事件A與B的積(或交),記作(或AB)。(5)兩事件的差事件:事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生,這樣的事件稱為事件A與B的差,記作A-B。(6)互不相容事件或互斥事件:若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生,
則稱事件A與B互不相容(或互斥)。(7)對(duì)立事件或逆事件:若A與B互不相容,且它們的和為必
然事件,則稱A與B為對(duì)立事件或互為逆事件,第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步5.概率:事件A的概率是描述事件A在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量,記事件A出現(xiàn)的可能性大小為,稱為事件A的概率。6.古典概型:若隨機(jī)試驗(yàn)E具有下述特征:⑴樣本空間的基本事件數(shù)只有有限個(gè),不妨設(shè)為n個(gè),并記它們?yōu)?⑵每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的,即有
.則稱這種等可能性的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。二、概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則1.概率的性質(zhì)⑴非負(fù)性:對(duì)任一事件A,有:;⑵規(guī)范性:,;
2.概率的加法法則法則一:若事件A與B為兩個(gè)互斥事件,即,則
法則二:對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)事件A與B,有⑶可列可加性:若隨機(jī)事件兩兩互斥,則第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步3.條件概率與獨(dú)立事件⑴條件概率在“已知事件B發(fā)生”的附加條件下,求A發(fā)生的概率,記作⑵乘法公式
條件概率與概率、有以下關(guān)系由上式可知,對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,若,則有⑶獨(dú)立性
若事件A、B滿足,則稱事件A、B相互獨(dú)立。
第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步4.全概率公式及貝葉斯公式
⑴全概率公式:設(shè)個(gè)事件,,…
互不相容,,,事件B滿足,則稱為全概率公式。(2)貝葉斯公式:設(shè)個(gè)事件,,…
互不相容,,,事件B滿足,則稱為貝葉斯公式(后驗(yàn)概率公式)。
第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步例2
某考生回答一道4選1的考題,假設(shè)他知道正確答案的概率為1/2,而他不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率應(yīng)該為1/4。考試結(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對(duì)了,那么他知道正確答案的概率是多大呢?解
分別定義事件A={該考生答對(duì)了},B={該考生知道正確答案},根據(jù)已知條件有,,,。利用貝葉斯公式計(jì)算得到
第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步三、離散型隨機(jī)變量及其分布
第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):概率初步⑶超幾何分布:二項(xiàng)分布由于每次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立,可以看作有放回的抽樣對(duì)應(yīng)的分布而無(wú)放回對(duì)應(yīng)的抽樣樣本的分布即為超幾何分布。超幾何分布對(duì)應(yīng)的概率
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