經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：行列式

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——線性代數(shù)行列式第一節(jié)二階和三階行列式一、二元線性方程組與二階行列式用消元法解二元線性方程組方程組（1）的解為

由方程組（1）的四個(gè)系數(shù)確定.排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表二階行列式主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則若記則二元線性方程組的解為例1解二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.注意：紅線上三元素的乘積冠正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠負(fù)號(hào)．對(duì)角線法則例２解按對(duì)角線法則，有例３解方程左端練習(xí):0-14三、二階行列式與三階行列式的關(guān)系余子式與代數(shù)余子式在三階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來(lái)的元素按原來(lái)位置構(gòu)成的二階階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如，2.的余子式和代數(shù)余子式都和是什么沒(méi)有任何關(guān)系，只和的位置有關(guān)。注意：1.余子式和代數(shù)余子式都是比原行列式低一階的行列式；例如定理1.1.1

三階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或例如按第二行展開(kāi)第二節(jié)n

階行列式定義稱為n階行列式.注意：行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的．它的行數(shù)和列數(shù)相等，本質(zhì)是一個(gè)數(shù)。一、n

階行列式的定義定理1.2.1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即二、行列式按行（列）展開(kāi)法則或（按行展開(kāi)）（按列展開(kāi)）例如例1計(jì)算四階行列式解：由于第二列中含有兩個(gè)零，所以按照第二列展開(kāi)例2

計(jì)算對(duì)角行列式解：先按第一行展開(kāi)，再按第二行展開(kāi)，依次進(jìn)行下去，直到得到一階行列式上三角行列式:同理，下三角行列式:例如主對(duì)角行列式：但是要注意，副對(duì)角行列式注意符號(hào)和階數(shù)的奇偶性無(wú)關(guān)例如第三節(jié)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)基本性質(zhì)

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記

此性質(zhì)說(shuō)明,行列式中凡是對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也成立.性質(zhì)1

互換行列式的兩行（列）行列式變號(hào).例如,一般地，第i行記作，第j列記作推論

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)2

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．例如:性質(zhì)3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如，性質(zhì)5

行列式中把一行（列）的倍數(shù)加到另一行(列），行列式不變．證明例１二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算(或)把行列式化為上（或下）三角形行列式，從而算得行列式的值．jikcc+解練習(xí)例２

計(jì)算階行列式解注意：計(jì)算此種行列式的方法稱為歸一法，是計(jì)算行列式的一種常用方法。例3

例4AB

則形式上的下三角行列式例如:推廣:補(bǔ)充:12解方程：第四節(jié)行列式的計(jì)算方法是先利用行列式的性質(zhì)將行列式化簡(jiǎn)，再利用行列式按行（列）展開(kāi)公式進(jìn)行計(jì)算.例1例2

計(jì)算行列式例3遞推公式此種方法也是計(jì)算行列式的一種常用方法，稱為遞推法。其關(guān)鍵是找到遞推公式。例4證明范德蒙德(Vandermonde)行列式注意：范德蒙德行列式可以當(dāng)作公式直接用來(lái)計(jì)算行列式。例5

n階范德蒙德行列式定理1.4.1:行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即下面來(lái)證明按照第一行展開(kāi)0=例6設(shè)求：（1）

（2）解：（1）（2）(1)

計(jì)算行列式=-1080(2)已知求：（1）

（2）＝0＝－1第五節(jié)克拉默法則一、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為二、重要定理定理1.5.1

如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式則（1）一定有惟一解。推論如果線性方程組（1）無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式一定為零。定義稱為齊次線性方程組。推論如果齊次線性方程組（2）的系數(shù)行列式，則（2）只有零解。如果齊次線性方程組（2）有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。例1

問(wèn)取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？解：由于時(shí)，D=0所以當(dāng)時(shí)，齊次方程組有非零解.主要內(nèi)容典型例題第一章n階行列式

習(xí)題課排列全排列及其逆序數(shù)對(duì)換

行列式定義性質(zhì)展開(kāi)克拉默法則把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）。個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示且。１、全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列在一個(gè)排列中，若數(shù)，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序。一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。

２、逆序數(shù)分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)。方法2方法1分別計(jì)算出排在前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出這個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)。３、計(jì)算排列逆序數(shù)的方法定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換。定理一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。４、對(duì)換５、n階行列式的定義６、n階行列式的性質(zhì)１）余子式與代數(shù)余子式７、行列式按行（列）展開(kāi)２）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：８、克拉默法則克拉默法則的理論價(jià)值分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)。解例１2k排在首位，逆序數(shù)為0；

1的前面比1大的數(shù)有一個(gè)(2k)，故逆序數(shù)為1；

2k-1的前面比2k-1大的數(shù)有一個(gè)(2k)，故逆序數(shù)為1；一、計(jì)算排列的逆序數(shù)

2的前面比2大的數(shù)有兩個(gè)(2k,2k-1)，故逆序數(shù)為2；

2k-2的前面比2k-2大的數(shù)有兩個(gè)(2k,2k-1)，故逆序數(shù)為2；……………

k-1的前面比k-1大的數(shù)有k-1個(gè)(2k,2k-1,…,k+2)，故逆序數(shù)為k-1；

k+1的前面比k+1大的數(shù)有k-1個(gè)(2k,2k-1,…,k+2)，故逆序數(shù)為k-1；

k的前面比k大的數(shù)有k個(gè)(2k,2k-1,…,k+1)，故逆序數(shù)為k。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列。于是排列的逆序數(shù)為１用定義計(jì)算（證明）例２用行列式定義計(jì)算二、計(jì)算（證明）行列式解

評(píng)注：本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般方法。例３設(shè)證由行列式的定義有

評(píng)注：本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一項(xiàng)所帶的符號(hào)相同。這也是用定義證明兩個(gè)行列式相等的常用方法。２利用范德蒙行列式計(jì)算例４計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。解上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

評(píng)注：本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式。３用化三角形行列式計(jì)算例５計(jì)算解提取第一列的公因子，得

評(píng)注：本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式。化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒(méi)有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的。４用降階法計(jì)算例６計(jì)算解

評(píng)注：本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開(kāi)，每展開(kāi)一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來(lái)為止（一般展開(kāi)成二階行列式）。這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用。５用拆成行列式之和（積）計(jì)算例７證明證

評(píng)注：本題是將所給行列式拆成兩個(gè)行列式之積，然后分別求出拆成的兩個(gè)行列式的值，從而求得所給行列式的值。６用遞推法計(jì)算例８計(jì)算解由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得評(píng)注７用數(shù)學(xué)歸納法例９證明證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法評(píng)注計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用。在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法。例１０求一個(gè)二次多項(xiàng)式f(x)，使

f(1)=0，f(2)=3，f(-3)=28。當(dāng)線性方程組方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時(shí)，可用克萊姆法則。為了避免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對(duì)有的方程乘以適當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)的線性方程組后再求解。三、克拉默法則解設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為由題意得這是一個(gè)關(guān)于三個(gè)未知數(shù)a,b,c的線性方程組。而由克萊姆法則，得于是，所求的多項(xiàng)式為

例11證明平面上三條不同的直線ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0相交于一點(diǎn)的充分必要條件是a+b+c=0.證：因?yàn)槿龡l直線為不同的三條直線，所以