甘肅省酒泉市四校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期5月期中考試數學試題

甘肅省酒泉市四校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期5月期中考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是（

）A． B． C． D．2．設點，點C關于面對稱的點為D，則線段的中點P到點D的距離為（

）A．2 B． C． D．3．在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點，若，，則用基底表示向量為（

）A． B．C． D．4．已知函數（a是常數）在上有最大值3，那么它在上的最小值為（

）A． B． C． D．5．設，若函數在區(qū)間有極值點，則取值范圍為（

）A． B． C． D．6．如圖，在空間直角坐標系中，正方形與矩形所在平面互相垂直(與原點重合)，在上，且平面，則點的坐標為（

）A． B．C． D．7．已知棱長為2的正方體中，，，分別是的中點，則直線與平面之間的距離為（

）A．1 B． C． D．8．已知函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，分別為直線的，方向向量（，不重合），，分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（

）．A． B．C． D．10．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（

）A．平面B．C．是平面的一個法向量D．點到平面的距離為11．已知函數，下列說法正確的有（

）A．曲線在處的切線方程為B．的單調遞減區(qū)間為C．的極大值為D．方程有兩個不同的解三、填空題12．已知空間中三點，設，若，且，則向量13．如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則.14．某商戶銷售、兩種小商品，當投資額為千元時，在銷售、商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，如果該商戶準備共投入5千元銷售、兩種小商品，為使總收益最大，則商品需投入千元四、解答題15．如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點，且．設，，．(1)試用，，表示向量；(2)若，求MN的長．16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點，且．(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．17．如圖，在直三棱柱中，，為的中點．(1)求點到平面的距離.(2)求平面與平面所成角的余弦值．18．已知函數在點處的切線方程為．(1)求函數的單調區(qū)間，(2)若函數有三個零點，求實數m的取值范圍．19．已知函數，（，為自然對數的底數）.(1)求函數的極值；(2)若對，恒成立，求的取值范圍.參考答案：1．B2．C3．B4．D5．B6．C7．B8．A9．BD10．ACD11．AB12．或13．14．115．(1)(2)【詳解】（1）解：，∴；（2）解：，，，，，即MN的長為.16．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）證明：如圖，以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，因為，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因為，平面PBC．所以平面PBC．（2）證明：由（1）可得，，．設平面BDE的法向量為，則，即令，得，，則是平面BDE的一個法向量，因為，所以，因為平面BDE，所以平面BDE．17．(1).(2)．【詳解】（1）在中，由余弦定理得:，，．又平面，以為原點，為、、軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系．，．設平面的法向量為，不妨取，點到平面的距離．（2）設平面的法向量為，.且取，則，則平面的法向量為．設平面的法向量為，，且，取，則．則，，平面與平面所成角的余弦值為．18．(1)單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是(2)【詳解】（1）由題可得，由題意得，解得，所以，由得或，由得，所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；（2）因為，由（1）可知，在處取得極大值，在處取得極小值，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，依題意，要使有三個零點，則，即，解得，經檢驗，，根據零點存在定理，可以確定函數有三個零點，所以m的取值范圍為．19．(1)極大值為，無極小值(2)【詳解】（1）定義域為，，當時，；當時，；在上單調遞增，