2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（蘇科版）第十二章 二次根式（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（解析版）

第十二章二次根式（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）單選題（共8題，每題3分，共24分）1．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件；根據(jù)二次根式被開方數(shù)非負(fù)求解即可．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件可得，解得：，故選：D．2．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，掌握二次根式的性質(zhì)，理解最簡(jiǎn)二次根式的定義是正確解答的前提．根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：是最簡(jiǎn)二次根式，因此選項(xiàng)A符合題意；，因此選項(xiàng)B不符合題意；，因此選項(xiàng)C不符合題意；，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：3．下列計(jì)算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式計(jì)算．根據(jù)題意逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得到本題答案．【詳解】解：，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)正確；，故C選項(xiàng)正確；無法計(jì)算，故D選項(xiàng)不正確，故選：D．4．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的計(jì)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)二次根式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二次根式的除法可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)二次根式的乘法可判斷選項(xiàng)D．熟練掌握二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不符合題意；B、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．若，則的結(jié)果是（）A．a(chǎn) B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，有理數(shù)的大小比較以及絕對(duì)值，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)二次根式，再利用得到即可得到答案．【詳解】解：，．故選：A．6．下列各組數(shù)中，不能組成直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴以為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴以為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵，∴以為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D．∵，∴以為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．7．一組數(shù)據(jù)按一定規(guī)律排列：，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的第項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查數(shù)式規(guī)律問題及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)題干中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，得出第個(gè)數(shù)據(jù)為即可．【詳解】解：第個(gè)數(shù)據(jù)為，第個(gè)數(shù)據(jù)為，第個(gè)數(shù)據(jù)為，則第個(gè)數(shù)據(jù)為，故選：C．8．已知，下列各式為負(fù)值的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分母有理數(shù)、二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握分母有理化的方法成為解題關(guān)鍵．先對(duì)分母有理化，然后再分別代入各選項(xiàng)計(jì)算判斷即可．【詳解】解：∵．∴A.,不符合題意；B.，不符合題意；C.，符合題意；D.，不符合題意．故選C．填空題（每題3分，共10題，一共30分）9．與最簡(jiǎn)二次根式是可以合并的二次根式，則．【答案】2【分析】本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．先將化成最簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出關(guān)于a的方程，解出即可．【詳解】解：由題意可得與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，且，∴，解得：．故答案為2．10．已知，則的平方根等于．【答案】【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件及求平方根，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式，根據(jù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：由題意得，且，解得，，則，，36的平方根是，所以的平方根是．故答案為：11．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為．【答案】【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)．由數(shù)軸得出且，據(jù)此知，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)：化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由數(shù)軸可得且，，故答案為：．12．已知：，則代數(shù)式的值為．【答案】12【分析】由，易得，然后變形代數(shù)式，再把整體代入計(jì)算即可【詳解】解：，，．故答案為：1213．已知，，則的值是【答案】2【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．把x、y的值代入，然后利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：2．14．已知，則值為．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件、解一元一次方程、二次根式運(yùn)算等知識(shí)，正確確定的值是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定的值，進(jìn)而可得的值，然后代入求解即可．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，可得，，∴，解得，∴，∴．故答案為：．15．計(jì)算的結(jié)果是.【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的加減法則．根據(jù)二次根式的加減法則計(jì)算即可．【詳解】解：，原式，，故答案為：．16．對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)，，定義一種運(yùn)算“”如下，如，計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，直接利用題中新定義的運(yùn)算公式代值求解，進(jìn)而得出答案，正確理解題中新定義運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．17．設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，，則有下列面積公式：（海倫公式），（秦九韶公式），若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)依次為2，，，則三角形的面積為．【答案】【分析】本題考查代數(shù)式求值，二次根式的應(yīng)用．正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．理解題意，掌握海倫公式和秦九韶公式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：利用海倫公式求解：，，，，∴，；利用秦九韶公式：．18．設(shè)是的小數(shù)部分，為的小數(shù)部分，則的值為．【答案】【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，求代數(shù)式的值及二次根式的運(yùn)算；令t＝，則可求得t的值，進(jìn)而求得a；同理，令p＝，則可求得p的值，進(jìn)而求得b，最后即可求得代數(shù)式的值．【詳解】解：令t=，則，∴，∴，；令p=，則，∴，∴，，∴．故答案為：．三、解答題（一共9題，共86分）19．計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，絕對(duì)值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．（2）先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、絕對(duì)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．20．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．（1）直接化簡(jiǎn)二次根式，再合并得出答案；（2）先利用平方差公式進(jìn)行乘法運(yùn)算，同時(shí)進(jìn)行除法運(yùn)算后化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；【詳解】（1）解：；（2）解：．21．先化簡(jiǎn)再求值：，其中．【答案】，．【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值．原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．22．閱讀下列解題過程例：若代數(shù)式的值是2，求a的取值范圍解：原式，當(dāng)時(shí)，原式，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，原式，符合條件；當(dāng)時(shí)，原式，解得（舍去）．的取值范圍是．上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：__________．(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)2(2)或【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)，（1）根據(jù)二次格式的性質(zhì)即可得；（2）先將等式的左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后分情況討論即可得；掌握二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式，當(dāng)時(shí)，原式，故答案為：4．（2）解：，當(dāng)時(shí)，原式，，符合條件；當(dāng)時(shí)，原式，（舍去）；當(dāng)時(shí)，原式，，符合條件，∴a的取值范圍是或．23．已知：，，分別求下列代數(shù)式的值：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：（1）先求出，，再由進(jìn)行計(jì)算求解即可；（2）先求出，，再由進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：∵，∴，，∴24．已知：(1)____________，____________；(2)求的值；(3)若m為a整數(shù)部分，n為b小數(shù)部分，求的值．【答案】(1)(2)121(3)【分析】本題考查已知字母的值，化簡(jiǎn)求值．掌握二次根式的運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為：，再將（1）中結(jié)果代入求值即可；（3）求出的值，再求出代數(shù)式的值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，；故答案為：；（2）∵，，∴；（3）∵，∴，∴，∴，，∵m為a整數(shù)部分，n為b小數(shù)部分，∴，∴．25．任務(wù)一：閱讀材料在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰到形如，，這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：；．像這樣，把代數(shù)式中分母化為有理數(shù)的過程叫做分母有理化．任務(wù)二：解決問題將下列式子進(jìn)行分母有理化：；．【答案】；．【分析】分子分母都乘以，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可求解；分子分母都乘以，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可求解；本題考查了分母有理化，掌握平方差公式和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：；．26．觀察下列等式：①；②；③；…．回答下列問題：(1)仿照上列等式，寫出第n個(gè)等式：________；(2)利用你觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：________；(3)直接比較大?。篲_______(4)計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)(4)9【分析】此題考查了分母有理化，找出題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．（1）仿照以上等式，寫出第n個(gè)等式即可；（2）利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)原式即可；（3）原式利用得出的規(guī)律得：，，比較，即可得到結(jié)果；（4）利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)原式，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意得：第n個(gè)等式為：；（2）解：原式，故答案為：；（3）解：由題意得：，，，，，故答案為：；（4）解：原式，．27．問題背景：在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．(1)請(qǐng)你將圖①中的的面積直接填寫在橫線上．(2)根據(jù)以上的內(nèi)容，在圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）畫出三邊長(zhǎng)分別為、、的三角形．(3)思維拓展：我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法．若三邊的長(zhǎng)分別為、、，請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫出相應(yīng)的，它的面積為．(4)探索創(chuàng)新：若三邊的長(zhǎng)分別為、、（，，且），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積為．【答案】(1)(