深圳大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（有答案）

第21頁/共21頁深大實(shí)驗(yàn)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末考試（數(shù)學(xué)）試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.3.已知，則（）A. B.C. D.4.已知集合，，則（）A. B.C. D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.6.三個(gè)數(shù)的大小順序是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)則方程有四個(gè)實(shí)根的充要條件為（）A. B.C. D.8.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬W在原來的基礎(chǔ)上增加20%，信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）(附：A.23% B.37% C.48% D.55%二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9已知，若，則（）A.的最大值為 B.的最小值為1C.的最小值為8 D.的最小值為10.下列化簡正確的是（）A. B.C. D.11.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）AB.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象12.已知函數(shù)，則（

）A.的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，C.D.對定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，恒成立.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若命題，則命題否定是_________14.已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式___________．15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，都有.當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上有__________個(gè)零點(diǎn).四、解答題（本大題共6小題，共70分）17化簡求值（1）；（2）.18.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.20.進(jìn)口博覽會(huì)是一個(gè)展示各國商品和服務(wù)的盛會(huì),也是一個(gè)促進(jìn)全球貿(mào)易和交流的重要平臺(tái).某汽車生產(chǎn)企業(yè)想利用2023年上海進(jìn)口博覽會(huì)這個(gè)平臺(tái),計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)(百輛),需投入流動(dòng)成本(萬元),且其中.由市場調(diào)研知道,每輛車售價(jià)25萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.(總利潤總銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本)21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程;（2）解關(guān)于x的不等式;（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域.22.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在實(shí)數(shù)使得不等式能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.深大實(shí)驗(yàn)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末考試（數(shù)學(xué)）試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】充分性：若，則，故充分性成立；必要性：若，則，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合奇函數(shù)的圖象性質(zhì)及特殊函數(shù)值判斷即可.【詳解】解：由，得函數(shù)為奇函數(shù)，排除B項(xiàng)，由，得，則排除C、D兩項(xiàng).故選：A.3.已知，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解.【詳解】，故選:B.4.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)定義域求法解不等式可求得集合，再利用交集運(yùn)算法則可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，即，解得或，即或；易知，解得或，即或；可得或，因此.故選：D5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由，，得，則，故.故選：A6.三個(gè)數(shù)的大小順序是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由，即可得到結(jié)果.【詳解】由三個(gè)數(shù)，可知其大小關(guān)系為.故選：A7.已知函數(shù)則方程有四個(gè)實(shí)根的充要條件為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意求分段函數(shù)的極值，作出函數(shù)簡圖，進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，則的圖象如圖所示，要使方程有四個(gè)實(shí)根，需滿足.故選：D.8.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬W在原來的基礎(chǔ)上增加20%，信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）(附：A.23% B.37% C.48% D.55%【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計(jì)算信噪比為1000和5000時(shí)C的比值即可求解.【詳解】解：依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴增長率約為.故選：C二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，若，則（）A.最大值為 B.的最小值為1C.的最小值為8 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】AD選項(xiàng)，由基本不等式求出最值；B選項(xiàng)，化為，求出最小值；C選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】對于，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以A正確；對于，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以C正確；對于，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以正確.故選：ACD.10.下列化簡正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)樗员具x項(xiàng)正確；D：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確，故選：BCD11.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象【答案】ABC【解析】【分析】借助圖象周期求出、再由定點(diǎn)結(jié)合范圍求出，得出解析式后結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)可得A、B、C，結(jié)合函數(shù)圖象的平移可得D．【詳解】對于選項(xiàng)A:由題意可得，故，則，，即，解得，又，即，故A正確；對于選項(xiàng)B:即，當(dāng)時(shí)，有，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于選項(xiàng)C:令，則，當(dāng)時(shí)，，而在單調(diào)遞增，故C正確；對于選項(xiàng)D:將函數(shù)的圖象向由右平移個(gè)單位得到，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12.已知函數(shù)，則（

）A.的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，C.D.對定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，恒成立.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)的單調(diào)性，判斷的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)的奇偶性可判斷選項(xiàng)C；由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A，由，得，即恒成立，故A正確；對于B，令，易知在單調(diào)遞減，且，則在單調(diào)遞減，且，故B錯(cuò)誤；對于C，令，則，，為上的奇函數(shù)，，，故C正確；對于D，由B選項(xiàng)知，在單調(diào)遞減，且，在單調(diào)遞減，且，為上的奇函數(shù)，在單調(diào)遞減，且，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，對定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，恒成立，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若命題，則命題的否定是_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接求解即可.【詳解】由題意，根據(jù)全稱量詞命題的否定的定義有，命題p的否定是：.故答案：.14.已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足求解即可.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上的解析式.故答案為：15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性解決即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)是增函數(shù)，得出，即；當(dāng)時(shí)，對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，得出；又因?yàn)?，解得；取交集得；故答案為?6.設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，都有.當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上有__________個(gè)零點(diǎn).【答案】6【解析】【分析】由函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，結(jié)合的條件可得函數(shù)的一個(gè)周期為4，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】如圖，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且.又，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，所以，所以4是函數(shù)的一個(gè)周期，所以.易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間上僅有1個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間上.由對稱性，知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn).因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)且是4是它的一個(gè)周期，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).結(jié)合，得函數(shù)在區(qū)間上有6個(gè)零點(diǎn).故答案為：6.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.化簡求值（1）；（2）.【答案】（1）29（2）1【解析】【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式.18.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，進(jìn)而根據(jù)并集的運(yùn)算求解，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可推得A，分以及，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出答案.【小問1詳解】解可得，或，所以，或.當(dāng)時(shí)，，所以或.【小問2詳解】由“”是“”的必要不充分條件，所以，.又或，.當(dāng)，有，即，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，有，即.要使A，則有或，解得或.綜上所述，或.19.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，令解出即可；（2）由判別式確定a的范圍，分類再解不等式即可.【小問1詳解】由題意，可得，；【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；③時(shí)，即或時(shí)，，解得或，原不等式的解集為.20.進(jìn)口博覽會(huì)是一個(gè)展示各國商品和服務(wù)的盛會(huì),也是一個(gè)促進(jìn)全球貿(mào)易和交流的重要平臺(tái).某汽車生產(chǎn)企業(yè)想利用2023年上海進(jìn)口博覽會(huì)這個(gè)平臺(tái),計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)(百輛),需投入流動(dòng)成本(萬元),且其中.由市場調(diào)研知道,每輛車售價(jià)25萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.(總利潤總銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本)【答案】20.21.當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤為3250萬元【解析】【分析】(1)根據(jù)總利潤總銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本,代入相關(guān)數(shù)據(jù)運(yùn)算化簡即可.(2)當(dāng)時(shí),利用一元二次函數(shù)知識(shí),在對稱軸處取得最值;當(dāng)時(shí),利用基本不等式知識(shí),通過變形得再求最值即可.然后通過比較得到利潤最大值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.綜上,【小問2詳解】當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),萬元.當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤為3250萬元.21已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程;（2）解關(guān)于x的不等式;（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為；對稱軸（2）（3）【解析】【分析】（1）應(yīng)用兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡得，應(yīng)用整體代入法即可求解單調(diào)區(qū)間與對稱軸；（2）結(jié)合函數(shù)圖像解不等式；（3）應(yīng)用換元法求值域;【小問1詳解】，函數(shù)的最小正周期.令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.令，解得，所以的對稱軸方程為.【小問2詳解】即，所以，解得.【小問3詳解】由題知，則，令，則，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.綜上可知所求值域?yàn)?22.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存