朝陽高考一模數(shù)學試卷

朝陽高考一模數(shù)學試卷一、選擇題

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與$x$軸交于$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$兩點，則$A$，$B$兩點關于點$(x_0,y_0)$對稱，則$x_0$的值為（）

A.$\frac{x_1+x_2}{2}$

B.$\frac{x_1x_2}{2}$

C.$\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{2a}$

D.$\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{2a}$

2.若$abc\neq0$，且$\frac{a}+\frac{c}+\frac{c}{a}=3$，則$\frac{a}+\frac{c}+\frac{c}{a}$的值為（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

3.若函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的圖象在$x$軸上有一個零點，且在$x=1$時，$f(x)$取得極值，則$f(1)$的值為（）

A.$0$

B.$a+b+c+d$

C.$a+b$

D.$c$

4.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$在$x=1$處取得極值，則此極值為（）

A.$1$

B.$-1$

C.$0$

D.$3$

5.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的圖象在$x$軸上有一個零點，且在$x=1$時，$f(x)$取得極值，則此零點的值為（）

A.$1$

B.$-1$

C.$0$

D.$3$

6.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的圖象在$x$軸上有一個零點，且在$x=1$時，$f(x)$取得極值，則此極值點為（）

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=3$

D.$x=-1$

7.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的圖象在$x$軸上有一個零點，且在$x=1$時，$f(x)$取得極值，則此極值為（）

A.$1$

B.$-1$

C.$0$

D.$3$

8.若函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的圖象在$x$軸上有一個零點，且在$x=1$時，$f(x)$取得極值，則$f(1)$的值為（）

A.$0$

B.$a+b+c+d$

C.$a+b$

D.$c$

9.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的圖象在$x$軸上有一個零點，且在$x=1$時，$f(x)$取得極值，則此零點的值為（）

A.$1$

B.$-1$

C.$0$

D.$3$

10.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的圖象在$x$軸上有一個零點，且在$x=1$時，$f(x)$取得極值，則此極值點為（）

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=3$

D.$x=-1$

二、判斷題

1.函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與$x$軸的交點個數(shù)為1或2，取決于判別式$\Delta=b^2-4ac$的值。（）

2.若函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)=0$。（）

3.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$在$x=1$處取得極值，則$f''(1)=0$。（）

4.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的導數(shù)$f'(x)$在$x=1$處為0，說明$x=1$是函數(shù)的極值點。（）

5.函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的圖象在$x$軸上的零點個數(shù)取決于判別式$\Delta=b^2-4ac$的值。（）

三、填空題

1.函數(shù)$f(x)=2x^3-6x^2+9x-1$在$x=1$處的導數(shù)值為__________。

2.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的導數(shù)$f'(x)$在$x=2$處為0，則函數(shù)的極值點為__________。

3.函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的頂點坐標為__________。

4.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的導數(shù)$f'(x)$的符號變化情況為__________。

5.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$的圖象與$x$軸的交點坐標為$(1,0)$，則函數(shù)在$x=1$處的切線方程為__________。

四、簡答題

1.簡述函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的一階導數(shù)$f'(x)$在什么情況下會為0，并說明這一性質在實際問題中的應用。

2.解釋函數(shù)的極值點和拐點的概念，并舉例說明如何通過一階導數(shù)和二階導數(shù)來確定函數(shù)的極值點和拐點。

3.如何通過導數(shù)判斷函數(shù)的增減性和凹凸性？請給出具體步驟和例子。

4.討論函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$的單調性、極值和拐點，并繪制其函數(shù)圖象。

5.設函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=1$處取得極值，且$f(1)=0$，求函數(shù)的表達式，并討論其圖形特征。

五、計算題

1.已知函數(shù)$f(x)=3x^3-12x^2+18x+4$，求函數(shù)的極值點和拐點，并分析函數(shù)的凹凸性。

2.計算函數(shù)$f(x)=x^4-4x^3+6x^2$在$x=1$處的切線方程。

3.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+9x-1$在區(qū)間$[1,4]$上的最大值和最小值。

4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^3}{3}+2x^2-3x$在$x=2$處取得極值，求函數(shù)在$x=2$處的極值。

5.求函數(shù)$f(x)=x^4-8x^3+24x^2-32x$的一階導數(shù)和二階導數(shù)，并確定函數(shù)的極值點和拐點。

六、案例分析題

1.案例分析：某公司生產一種產品，其成本函數(shù)為$C(x)=1000+2x+0.01x^2$（其中$x$為生產的數(shù)量），市場需求函數(shù)為$P(x)=100-0.1x$（其中$P(x)$為每單位產品的價格）。請分析以下問題：

a)計算公司生產$x$單位產品的總利潤函數(shù)$L(x)$。

b)求出使總利潤$L(x)$最大的生產數(shù)量$x$。

c)分析生產數(shù)量$x$對總利潤$L(x)$的影響。

2.案例分析：某城市交通管理部門希望優(yōu)化公共交通路線，以減少交通擁堵。已知該城市主要道路上的車輛流量函數(shù)為$f(x)=-0.01x^2+3x$（其中$x$為道路長度），請分析以下問題：

a)計算車輛流量$f(x)$在道路長度為$x$時的導數(shù)$f'(x)$，并解釋其含義。

b)求出車輛流量$f(x)$的最大值，并解釋這一結果對交通管理的影響。

c)提出一種優(yōu)化公共交通路線的建議，并說明如何利用車輛流量函數(shù)$f(x)$來支持這一建議。

七、應用題

1.應用題：某工廠生產一種產品，其生產成本隨生產數(shù)量的增加而增加。已知生產成本函數(shù)為$C(x)=50x+1000$（其中$x$為生產數(shù)量），市場需求函數(shù)為$P(x)=150-0.5x$（其中$P(x)$為每單位產品的價格）。要求：

a)求出使總利潤最大的生產數(shù)量$x$。

b)計算在最大生產數(shù)量下的總利潤。

c)分析生產數(shù)量對總利潤的影響。

2.應用題：某公司進行市場調研，得到其產品銷量與廣告投入的關系為$S(a)=-2a^2+18a-36$（其中$a$為廣告投入，$S(a)$為銷量）。要求：

a)求出使銷量最大的廣告投入$a$。

b)計算在最大廣告投入下的銷量。

c)分析廣告投入對銷量的影響。

3.應用題：某城市計劃修建一條新的道路，以緩解交通擁堵。已知現(xiàn)有道路的車輛流量函數(shù)為$f(x)=-0.01x^2+3x$（其中$x$為道路長度），新道路的長度為現(xiàn)有道路長度的1.5倍。要求：

a)計算新道路的車輛流量函數(shù)。

b)比較新舊道路的車輛流量，并分析新道路對緩解交通擁堵的影響。

c)提出一種優(yōu)化交通流量的策略。

4.應用題：某公司生產一種產品，其生產成本函數(shù)為$C(x)=100x+5000$（其中$x$為生產數(shù)量），市場需求函數(shù)為$P(x)=200-2x$（其中$P(x)$為每單位產品的價格）。要求：

a)求出使總利潤最大的生產數(shù)量$x$。

b)計算在最大生產數(shù)量下的總利潤。

c)分析生產數(shù)量對總利潤的影響，并討論如何通過調整生產策略來提高利潤。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案：

1.A

2.B

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、判斷題答案：

1.錯誤

2.正確

3.錯誤

4.正確

5.正確

三、填空題答案：

1.0

2.2

3.$\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$

4.先減后增，先增后減

5.$y=-3x+2$

四、簡答題答案：

1.函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的一階導數(shù)$f'(x)$在$x=0$，$x=\frac{-b}{2a}$時可能為0。在實際問題中，當$f'(x)=0$時，函數(shù)可能取得極值，這可以用來確定函數(shù)的極值點。

2.函數(shù)的極值點是導數(shù)為0的點，拐點是二階導數(shù)改變符號的點。通過一階導數(shù)的符號變化可以判斷函數(shù)的增減性，通過二階導數(shù)的符號變化可以判斷函數(shù)的凹凸性。

3.通過導數(shù)判斷函數(shù)的增減性和凹凸性的步驟如下：

a)計算函數(shù)的一階導數(shù)$f'(x)$。

b)找出$f'(x)=0$的點，這些點是可能的極值點。

c)計算函數(shù)的二階導數(shù)$f''(x)$。

d)在極值點處判斷$f''(x)$的符號，如果$f''(x)>0$，則極值點是局部最小值；如果$f''(x)<0$，則極值點是局部最大值。

4.函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$的單調性：$f'(x)=3x^2-12x+9$，$f'(x)=0$時，$x=1$或$x=3$。在$x<1$和$x>3$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增；在$1<x<3$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減。極值點為$x=1$和$x=3$，通過二階導數(shù)判斷，這兩個點都是局部最小值。拐點為$x=2$，通過二階導數(shù)判斷，$x=2$是拐點。

5.函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=1$處取得極值，且$f(1)=0$，則$a+b+c+d=0$。由于在$x=1$處取得極值，一階導數(shù)$f'(1)=0$，即$3a+2b+c=0$。解這個方程組得到$a=1$，$b=-3$，$c=3$，$d=-1$。函數(shù)圖形是一個開口向上的拋物線，頂點在$(1,-1)$。

五、計算題答案：

1.$f'(x)=9x^2-24x+18$，$f''(x)=18x-24$。極值點為$x=1$和$x=2$，拐點為$x=2$。函數(shù)在$x=1$處取得局部最大值$f(1)=4$，在$x=2$處取得局部最小值$f(2)=4$。

2.$f'(x)=4x^3-12x^2+12x$，$f'(1)=4-12+12=4$，切線斜率為4，切線方程為$y=4(x-1)+4$。

3.$f'(x)=3x^2-6x$，$f'(1)=3-6=-3$，$f'(4)=48-24=24$。函數(shù)在$[1,4]$上先減后增，最大值為$f(2)=10$，最小值為$f(4)=4$。

4.$f'(x)=3x^2-6x+9$，$f'(2)=12-12+9=9$，極值點為$x=2$，極值為$f(2)=10$。

5.$f'(x)=4x^3-24x^2+48x$，$f''(x)=12x^2-48x+48$。極值點為$x=1$和$x=2$，拐點為$x=1$和$x=4$。

六、案例分析題答案：

1.a)$L(x)=(150-0.5x)x-(50x+1000)=100x-0.5x^2-50x-1000=-0.5x^2+50x-1000$。

b)$L'(x)=-x+50$，令$L'(x)=0$，得$x=50$，$L(50)=5000$。

c)隨著生產數(shù)量的增加，總利潤先增加后減少，最大利潤在$x=50$時取得。

2.a)$S'(a)=-4a+18$，$S'(a)=0$時，$a=4.5$。

b)$S(4.5)=-2(4.5)^2+18(4.5)-36=20.25$，銷量最大為20.25。

c)增加廣告投入可以增加銷量，但需要平衡廣告成本和銷量增加帶來的收益。

3.a)新道路的車輛流量函數(shù)為$f(x)=-0.01(1.5x)^2+3(1.5x)=-0.0225x^2+4.5x$。

b