2022年中考數(shù)學二次函數(shù)解析匯編

22022年中考數(shù)學二次函數(shù)解析匯編

1.(2022廣西北海)二次函數(shù)y=V—4x+5的頂點坐標為：〔)

A.(—2,—1)B.(2,1)C.[2,-1)D.[-2,1)

b4ac—I，'

【解析】二次函數(shù)的頂點坐標公式為〔——,--------)，分別把a,b,c的值代入即可。【答案】B

2a4a

【點評】此題考查的是二次函數(shù)頂點公式，做題時要靈活把握，求縱坐標時，也可以把橫坐標的值代入到

函數(shù)中，求y值即可，屬于簡單題型。

2.(2022山東濱州，)拋物線y=-3必-x+4與坐標軸的交點個數(shù)是〔)

A.3B.2C.1D.0

【解析】拋物線解析式-3V—x+4,令x=0,解得：y=4,.?.拋物線與y軸的交點為10,4),令y=0,得

到—3%2一%+4=0,即3f+了—4=0,分解因式得：(3%+4)(%-1)=0,解得：,x2=1,

4

.?.拋物線與x軸的交點分別為(——,0),(1,0),綜上，拋物線與坐標軸的交點個數(shù)為3.【答案】選A

3

【點評】此題考查拋物線的性質(zhì)，需要數(shù)形結(jié)合，解出交點，即可求出交點的個數(shù).此題也可用一元二次

方程根的判別式判定與X軸的交點個數(shù)，與y軸的交點就是拋物線中C的取值.

3.(2022四川巴中)對于二次函數(shù)y=2(x+l)(x-3)以下說法正確的選項是()

A.圖象開口向下B.當x>l時,y隨x的增大而減小

C.x<l時，y隨x的增大而減小D.圖象的對稱軸是直線x=-1

【解析】y=2(x+l)(x-3)可化為y=(x—1尸-8,此拋物線開口向上,可排除A,對稱軸是直線x=l可排除D,

根據(jù)圖象對稱軸右側(cè)局部，y隨x的增大而減小，即x<l時,應選C.【答案】C

【點評】此題考查將二次函數(shù)關(guān)系式化成頂點式的方法及圖象性質(zhì).

4.(2022湖南衡陽)如圖為二次函數(shù)丫=a/+6*+?(aWO)的圖象，那么以下說法：()

①a>0②2a+b=0③a+b+c>0④當-l<x<3時，y>0,其中正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

解析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由x=l時的函數(shù)值判斷a+b+c>0,然后根據(jù)對稱軸推出

2a+b與0的關(guān)系，根據(jù)圖象判斷-l<x<3時，y的符號.答案：解：①圖象開口向下，能得到a<0；

②對稱軸在y軸右側(cè)，x=―匕3=1,那么有--L=1,即2a+b=0；③當x=l時，y>0,那么a+b+c>0；

22a

④由圖可知，當-l<x<3時，y>0.應選C.

點評：此題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次

函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用.

5.(2022呼和浩特)：從“兩點關(guān)于y軸對稱，且點〃在雙曲線y=」-上，點”在直線了門上3上，設(shè)點〃

2%

的坐標為(a,6),那么二次函數(shù)度-abx+(a+b)x

99

A.有最大值，最大值為—-6.有最大值，最大值為一

22

99

C.有最小值，最小值為一〃有最小值，最小值為

22

【解析】〃(a"),那么M-a,6),在雙曲線上，在直線上，.?.左-a+3,即a+斤3；

2

1199

/,y=-abr+(a+b)x=--x2+3x=~—(x-3)2+—,...有最大值，最大值為,【答案】8

【點評】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，利用點在函數(shù)圖象上，把點代入的解析式中求得和a+6的值。

此題解題時沒有必要解出a、6的值，而是利用整體代入法求解。

6.(2022陜西)在平面直角坐標系中，將拋物線y=/-X-6向上(下)或向左(右)平移了，〃個單位，

使平移后的拋物線恰好經(jīng)過原點，那么帆|的最小值為UA.1B.2C.3D.6

【解析】因為是左或右平移，所以由y=/-x-6=(x-3)(x+2)求出拋物線與x軸有兩個交點分別

(3,0),(-2,0),將拋物線向右平移2個單位，恰好使得拋物線經(jīng)過原點，且移動距離最小.【答案】B

【點評】此題考查了拋物線的圖像性質(zhì)，關(guān)注它和x軸交點坐標是解決問題的關(guān)鍵.難度稍大.

7.(2022四川瀘州)拋物線y=(x-2-+3的頂點坐標是〔)

A.[2,3)B.(-2,3)C.[2,3)D.(-2,-3)

解析：求拋物線的頂點坐標可以運用頂點坐標公式，也可以運用配方法.由拋物線y=(x-2)2+3的頂點

坐標為[2,3).應選C.

點評：此題考查了二次函數(shù)圖象頂點坐標，由配方法得到的頂點坐標中，橫坐標符號容易被弄錯，需要注

產(chǎn).

8.(2022黔東南州，)拋物線>=/-4%+3的圖象向右平移2個單位長度后所得新的拋物線的頂點坐標

為])A、[4,一1)B、[0,-3)C、(-2,-3)D、(一2,-1)

解析：y=x2-4x+3=(x-2)2-l,所以頂點坐標為[2,T),右平移2個單位長度后所得新的拋物線

的頂點坐標為[4,-1).答案：A點評：此題考查了拋物線的平移，難度較小.

9.(2022河南)在平面直角坐標系中，將拋物線>=必—4先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，

得到的拋物線解析式為〔)

A.y=(x+2)2+2B.y=(x-2)2-2C.y^(x-2)2+2D.y=(x+一2解析：根據(jù)點的坐標

是平面直角坐標系中的平移規(guī)律：“左加右減，上加下減應選B.點評：根據(jù)平移概念，圖形平移變換,

圖形上每一點移動規(guī)律都是一樣的，也可用拋物線頂點移動.即[0,-4)-->(2,-2).

10.(2022山東日照)二次函數(shù)尸ax?歷戶cQNO)的圖象如下列圖，給出以下結(jié)論：

①b2-4ac〉0；②2a+b〈0；③4a—2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3.其中正確的選項是0X\\

A.①②B.②③C.③④D.①④/Ji'

解析：由圖可知，對稱軸為x=l,圖象與x軸有兩個交點(-1,0)和〔3,0〕，

故b2~4ac>Q；a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a'bc=：2：3.解答：選D.

點評：此題主要考查二次函數(shù)尸al歷戶c(aM)的圖象與x軸的交點坐標、對稱軸等，解題的關(guān)鍵是運用

數(shù)形結(jié)合思想，充分利用圖象進行分析，排除錯誤答案.

11.(2022貴州黔西南)如圖4,拋物線y=1/+bx—2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A(—1,

0),點M(m,0)是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，m的值是().

25242325

A.-B.TTC.-0-~77

40414041

【解析】解把A(—1,0)代入yji+bx_2,求得b=—|.所以,y與一x—2^(x—今一V所以拋物

線頂點D(|,-y).又求得C(0,-2).要x軸上的動點M(m,0)使MC+MD最小，作C點關(guān)于x軸的對稱

24

點C?0,2),連接C/D與X軸的交點即為M點.利用相似三角形的知識求得OMqf；或先求直線C'D的解

2424

析式，再求這條直線與拋物線的交點坐標為(元，0).所以，【答案】B.

【點評】此題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一般在圖形中解決“折線段最小值”的問題，要利用軸對稱把

“折線段”化為"直線段”進行計算.

12.(2022甘肅蘭州)二次函數(shù)y=ax、bx+c(aWO)的圖象所示，假設(shè)|ax"+bx+c|=k(kWO)有兩個

不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是〔)A.k<-3B.k>-3C.k<3D.

k>3

解析：根據(jù)題意得：產(chǎn)|a/+bx+cj的圖象如右圖:

所以假設(shè)lax'+bx+ckk〔kWO)有兩個不相等的實數(shù)根，那么k>3,答案：D

點評：此題考查了二次函數(shù)的圖象，先根據(jù)題意畫出y=|ax?+bx+c|的圖象，

即可得出|ax?+bx+c[=k[kWO)有兩個不相等的實數(shù)根時，k的取值范圍.

解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出y=|ax?+bx+c|的圖象，根據(jù)圖象得出k的取值范圍.

13.(2022江蘇南京)以下函數(shù)：①y=x?;②y=③y=(x-l)?+2.其中，圖像通過

平移可以得到函數(shù)y=-X2+2X-3的圖像有.

解析：只要二次項的系數(shù)相同，這類二次函數(shù)圖像均可以通過平移得到.答案：②.

點評：二次項的系數(shù)a決定二次函數(shù)的形狀、開口大小等，所有a相等的二次函數(shù)

都可以由y=ax?經(jīng)過平移得到.

14.(2022甘肅蘭州)二次函數(shù)y=a(x+l)2—優(yōu)。/0)有最小值1,那么a、b的大小關(guān)系為〔)

A.a>bB.a<bC.a=bD.不能確定

解析：二次函數(shù)y=a(x+l)2-仇awO)有最小值，那么a>0;又因為此函數(shù)均有最小值是1,所以

-b=l,b=T,因此a〉b,應選A.點評：此題考查的是二次函數(shù)的最值。根據(jù)函數(shù)有最小值判斷出a的符號，

進而可得出結(jié)論。求二次函數(shù)的最大〔小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，

第三種是公式法.

15.(2022甘肅蘭州)拋物線y=[x+2)乙3可以由拋物線y=x?平移得到，那么以下平移過程中正確的選項

是()

A.先向左平移2個單位，再向上平移3個單位B.先向左平移2個單位，再向下平移3個單位

C.先向右平移2個單位，再向下平移3個單位D,先向右平移2個單位，再向上平移3個單位

解析：拋物線y=x?向左平移2個單位可得到拋物線y=[x+2):拋物線y=(x+2)2,再向下平移3個單位

即可得到拋物線丫=(x+2)2-3.故平移過程為：先向左平移2個單位，再向下平移3個單位.應選B.

點評：此題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.難度

較小。

16.(2022甘肅蘭州)拋物線y=-2(+1的對稱軸是1)

A.直線xB.直線x=C.y軸D.直線x=2

22

解析：拋物線丫=-2六+1就是拋物線的頂點式方程，可直接得到對稱軸為x=0,即y軸。答案：C

點評：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的知識點，將解析式化為頂點式y(tǒng)=a[x-h)2+k,頂點坐標是[h,k),

對稱軸是*=1也可以用公式法解答.

17.(2022河北省)如圖6,拋物線乃=a(x+2)2—3與%—3)2+1交于點A[1,3),過點A作x

軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B、C,那么以下結(jié)論：①無論x取何值，%總是正數(shù)；②a=l；③當

x=0時，％-出=4;④2AB=3AC其中正確的選項是〔)

A.①②B.②③C.③④D.①④

=—(x-3)2+1a=—>0

【解析】-2中，2,而圖象又在x軸的上方，所以結(jié)論①正確；將A[1,3)代入

229

%=a(x+2)2—3,可得“3,所以結(jié)論②不正確；當x=0時，”"6,所以結(jié)論③錯誤；把

y=3,分別代入兩個表達式中，分別求出AB、AC的長度比較它們的數(shù)量關(guān)系，可知④是對的?！敬鸢浮緿

【點評】此題考查的知識點比較多，計算量比較大，但是如用排除法，就簡單一點了。在教學中，多滲透

一題多解。此題難度較大。

18.(2022江蘇蘇州)點A(xi,1)、B(x2,y?)在二次函數(shù)y=(x-1)?+i的圖象上，假設(shè)xi>xz>l,那

么yiy?〔填“>"、或

分析：先根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸，再判斷出兩點的位置及函數(shù)的減

性，進而可得出結(jié)論.

解答：解：由二次函數(shù)y=(x-1)可，其對稱軸為x=l,：xi>x2>l,.?.兩點均在對稱

軸的右側(cè)，???此函數(shù)圖象開口向上，...在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，

VXI>X2>L/.yi>y2.故答案為：〉

點評：此題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，根據(jù)題意判斷出A、B兩點的位置是解

答此題的關(guān)鍵.

19.(2022四川廣安)如圖7,把拋物線y=Lx?平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過點A(-6,0)和原點0〔0,

2

0),它的頂點為P,它的對稱軸與拋物線y=Lx?交于點Q,那么圖中陰影局部的面積為.

2

思路導引：注意平移的性質(zhì)的運用，觀察得出的圖象構(gòu)造的圖形，可以發(fā)現(xiàn)以點AQ0P為頂點的四邊形是

菱形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)進行分析解答，解析：平移后的拋物線

191c9

的解析式是y=-x(x+6),所以頂點坐標是(—3,——〕，x=-3時，y=—%2=—,所以點Q坐標是〔一3,

2222

991

—0A=6,PQ=2X-=9,所以四邊形APOQ面積是一X6X9=27,圖中陰影局部的面積是四邊形APOQ面積

222

127

的一，所以面積是——點評：在圖形面積計算問題中，巧妙運用軸對稱性質(zhì)解答問題，注意割補法靈活運

22

用.另外一般圖形向特殊圖形的轉(zhuǎn)化也十分關(guān)鍵.

20.(2022湖北孝感)二次函數(shù)尸ax?+6x+c(a,b,c是常數(shù)，a#0)圖象的對稱軸是直線尸1,其圖像的

一局部如下列圖，對于以下說法：

①a6c〈0；②a~4c<0；③3a+c<0；④當-1〈矛〈3時，y>0.其中正確的選項是(把正確說法的序

號都填上）.

【解析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋

物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.

:拋物線的開口向下，；.a<0,：與y軸的交點為在y軸的正半軸上，

A

???對稱軸為產(chǎn)-二二1,得2年一6,???/6異號，即6>0,又???。>0,???瑟cVO,故①正確；

2a

:拋物線與X軸的交點可以看出，

當A=-1時，y<0,.,.a—>c<0,故②正確；當戶一1時，y<0,而此時a—價c=3a+c,即3a+c〈0；故

③正確；觀察圖形，顯然④不正確.【答案】①②③

【點評】考查二次函數(shù)尸a/+6x+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和、拋物線與y軸的交點、拋物線

與x軸交點的個數(shù)確定.

21.（2022廣東深圳）二次函數(shù)y=N—2x+6的最小值是。

h-b2

【解析】：考查二次函數(shù)的根本性質(zhì)，會用頂點坐標公式（--,-------）求頂點。根據(jù)a的值確定拋物線

2a4a

的開口方向，從而確定函數(shù)的最大或最小值?；?qū)⒁话闶交癁轫旤c式求解。【解答工由可知二次

函數(shù)y最小值=‘a(chǎn)""=4義1*6—（-2）一=5或者由？=/一2*+6=（x-+5知二次函數(shù)的最小值

4a4x1

是5【點評】：一是公式記憶要準確，二是系數(shù)不能代錯。化成頂點式時配方不能出錯。

9

22.（2022廣西玉林）二次函數(shù)y=-[x-2）的圖象與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)〔包括邊界），橫、縱坐

4

標都是整數(shù)的點有個.（提示：必要時可利用下面的備用圖畫出圖象來分析）.

9

分析：根據(jù)二次函數(shù)的解析式可知函數(shù)的開口方向向上，頂點坐標為[2,一）,當y=0時，可解出與x軸

4

9

的交點橫坐標.解：..?二次項系數(shù)為T,；.函數(shù)圖象開口向下，頂點坐標為（2,-）,當y=0時，-（x-2）

4

917

2+-=0,解得XF—，得X2=—.可畫出草圖為：圖象與X軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），橫、縱坐

422

標都是整數(shù)的點有7個，為（2,0）,[2,1）,[2,2）,11,0）,11,1）,[3,0）,〔3,1）.點評：此題

考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)、畫出函數(shù)草圖是解題的關(guān)鍵.

23.（2022湖北咸寧）對于二次函數(shù)y=x2-2%x-3,有以下說法：

①它的圖象與尤軸有兩個公共點；②如果當xWl時y隨元的增大而減小，那么"?=1；

③如果將它的圖象向左平移3個單位后過原點，那么加=-1；④如果當x=4時的函數(shù)值與x=2008時的

函數(shù)值相等，那么當x=2012時的函數(shù)值為-3.

其中正確的說法是.〔把你認為正確說法的序號都填上）

【解析】①根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系解答；??,△=4m2—4X[一3）=41配+12>0,.?.它的圖象與x軸有兩

個公共點，故本選項正確；②找到二次函數(shù)的對稱軸，再判斷函數(shù)的增減性；：當xWl時y隨x的增大而

—2m—2m

減小，，函數(shù)的對稱軸X=―.....在直線x=l的左側(cè)（包括與直線x=l重合），那么一-----《1,即m

22

W1,故本選項錯誤；③將m=—1代入解析式，求出和x軸的交點坐標；將m=—1代入解析式，得丫=

x2+2x—3,當y=0時，得x?+2x—3=0,即[x—1）[x+3）=0,解得，xi=l,X2=-3,將圖象向左

平移3個單位后不過原點，故本選項錯誤；④根據(jù)坐標的對稱性，求出m的值，得到函數(shù)解析式，將m

=2022代入解析式;④???當x=4時的函數(shù)值與x=2022時的函數(shù)值相等，.,?對稱軸為x=史"曳=1006,

2

—2m

那么一方一=1006,即m=1006,原函數(shù)可化為y=x2—2022x—3,當x=2022時，y=2022—2022X2022

—3=-3,故本選項正確.【答案】①④（多填、少填或錯填均不給分）

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線平移、與x軸的交點，綜合性較強.

24.（2022年廣西玉林）二次函數(shù)y=ax2+bx+c[aWO）的圖象如下列圖，其對稱軸為x=l,有如下結(jié)論：

2

①c<l；②2a+b=0；③b,<4ac；④假設(shè)方程ax+bx+c=0的兩根為Xi,x2,那么XI+X2=2,那么正確的結(jié)論

是1）

A.①②B.①③C.②④D.③④

分析：由拋物線與y軸的交點在1的上方，得到c大于1,應選項①錯誤；由拋物線的對稱軸為x=l,利

用對稱軸公式得到關(guān)于a與b的關(guān)系，整理得到2a+b=0,選項②正確；由拋物線與x軸的交點有兩個，得

到根的判別式大于0,整理可判斷出選項③錯誤；令拋物線解析式中y=0,得到關(guān)于x的一元二次方程，

利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和，將得到的a與b的關(guān)系式代入可得出兩根之和為2,選項④正確，

即可得到正確的選項.解：由拋物線與y軸的交點位置得到：OL選項①錯誤；

b

???拋物線的對稱軸為x=-——=1,.-.2a+b=0,選項②正確；由拋物線與x軸有兩個交點，得到b2-4ac>0,

2a

b

BPb2>4ac,選項③錯誤；令拋物線解析式中y=0,得到a/+bx+c=O,二?方程的兩根為x>x,且--=1,

22a

bb

及--=2,；.xi+x2=--=2,選項④正確，綜上，正確的結(jié)論有②④.應選C

aa

點評：此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax?+bx+c〔aWO）,a的符號由開口方向決定，

c的符號由拋物線與y軸交點的位置確定，b的符號由a及對稱軸的位置確定，拋物線與x軸交點的個數(shù)

決定根的判別式的符號.

25.12022黑龍江哈爾濱）小磊要制作一個三角形的鋼架模型，在這個三角形中，長度為x（單位：cm）的

邊與這條邊上的高之和為40cm,這個三角形的面積S（單位：cm?）隨x（單位：cm）的變化而變化.

⑴請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）當x是多少時，這個三角形面積S最大最大面積是多少

解析：此題考查確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值.三角形的邊X和高的和是40,可表示該邊上的高位40-X,

據(jù)三角形面積公式是底乘高除2可寫出S=LXx(40-x),這個二次函數(shù)的頂點坐標分別對應x及S的最大值.

2

11b4ac—b2

【答案】解：(1)S=—Xx(40-x)=---X2+20X；(2)x=-----=20,S=--------=200,

222。4a

所以當x=20cm時，這個三角形的面積最大，最大面積是200cm②.

【點評】二次函數(shù)是中考考查的必考內(nèi)容之一，此題是綜合考查二次函數(shù)的最值問題，需要考生熟悉二次

函數(shù)的相關(guān)根本概念和配方法即可解題.要注意解題過程的完整性.

26.(2022黑龍江哈爾濱)將拋物線y=3x?向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為().

(A)y=3(x+2)2-1(B)y=3(x-2)2+l(C)y=3(x-2)2-1(D)y=3(x+2)2+l

【解析】此題考查了函數(shù)圖象的平移規(guī)律.拋物線的平移規(guī)律是：左右平移自變量左加右減，上下平移常

數(shù)上加下減來進行.對于題目當中這種簡單形式，可以直接套公式即可.【答案】A【點評】11)受點的平

移規(guī)律影響，誤認為左右平移時自變量“左減右加〃而誤選B；［2)將3/誤認為是自變量，得出錯誤答案：

y=3x2+2-l=3x2+l.

27.(2022黑龍江哈爾濱)李大爺要圍成一個矩形菜園，菜園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外

三邊總長應恰好為24米.要圍成的菜園是如下列圖的矩形ABCD.設(shè)BC邊的長為x米，AB邊的長為y米，

那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是().

(A)y=-2x+24(0<x<12)(B)y=--x+12(0<x<24)

2

(c)y=2x一24(0〈x412)(D)y=-x—12(0<x<24)

2

【解析】此題考查函數(shù)解析式的表示方法及自變量取值范圍.AB+CD+BC=24,即2AB+x=24,2y+x=24,所以

y=12--x.因為菜園一邊的墻足夠長，所以自變量x(BC)只要小于24即可，又邊長大于零，所以x取值范

2

圍0<x<24,應選B.【答案】B【點評】根據(jù)矩形的周長公式此題易得解，但要注意矩形的第四邊的特殊

要求。

28.(2022河北)某工廠生產(chǎn)一種合金薄板〔其厚度忽略不計)這些薄板的形狀均為正方形，邊長(單位：

cm)在5~50之間，每張薄板的本錢價(單位：元)與它的面積〔單位：cm2)成正比例，每張薄板的出廠

價〔單位：元)由根底價和浮動價兩局部組成，其中根底價與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的，浮動價與

薄板的邊長成正比例，在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)，

薄板的邊長［cm)2030

出廠價1元/張)5070

11）求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式;

12）出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得利潤是26元（利潤=出廠價-本錢價）。

①求一張薄板的利潤與邊長這之間滿足的函數(shù)關(guān)系式。

②當邊長為多少時，出廠一張薄板獲得的利潤最大最大利潤是多少

（2\

參考公式：拋物線丁=。必+6x+c（awo）的頂點坐標是—_L,%二L。

、2a4a7

【解析】11）根據(jù)每張薄板的出廠價〔單位：元）由根底價和浮動價兩局部組成，設(shè)出出廠價的表達式（為

一次函數(shù)）再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出解析式。（2）根據(jù)利潤=出廠價-本錢價，列出利潤的關(guān)系式，為二

次函數(shù)，再利用頂點坐標，求出當邊長為多少時，博班利潤最大最大利潤是多少但是需要驗證頂點的橫坐

標在不在x的取值范圍內(nèi)。

【答案】解：門）設(shè)一張薄板的邊長為xcm,它的出廠價為y元，根底價為n元，浮動價為kx元，

那么y=kx+n........................2分

由表格中數(shù)據(jù)得150=20,k+n解得1k=2；.y=2x+10

70=30k+n[n=10

〔2）①設(shè)一張薄板的利潤為P元，它的本錢價為mx”元，由題意得P=y—mx2=2x+l（Hnx2

將x=40,P=26代入P=2x+10-mx2中，＜26=2x40+10-mx402m=—：.P=—--x2+2x+10

2525

=25（在5~50之間）時,

即出廠一張邊長為25cm的薄板，所獲得的利潤最大，最大利潤為35元

【注：邊長的取值范圍不作為扣分點】

【點評】此題是一次函數(shù)、二次函數(shù)的用，①求表達式，②求極值。一次函數(shù)求極值是根據(jù)y隨x的增大

而增大還是縮??；二次函數(shù)的極值分為兩局部：頂點極值和非頂點極值。是每次中考都要考查的重點內(nèi)容。

教學時要多加注意。難度中等。

29.（2022黑龍江綏化）如圖，二次函數(shù)〉=。必一4%+。的圖像經(jīng)過坐標原點，與矛軸交與點A（-4,0）.

11）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在點P,滿足SA°P=8,請直接寫出點P的坐標.

【解析】解：［1）把點A（-4,0）及原點［0,0）代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;

c=O［a--\

\9解得《

Lax（-4）2-4x（-4）+c=0Ic=0

所以，此二次函數(shù)的解析式為y=-x2-4x；

〔2）根據(jù)三角形的面積公式求出點P到A0的距離，然后分點P在x軸的上方與下方兩種情況解答即可.由

條件得⑵:點A的坐標為［-4,0）,；.A0=4,

設(shè)點P到x軸的距離為h,那么SAAOP=—X4h=4,解得h=4,

2

①當點P在x軸上方時，-x?-4x=4,解得x=-2,所以，點P的坐標為1-2,4）；

2

②當點P在x軸下方時，-X-4X=-4,解得XI=-2+2J5,xz=-2-2^2

所以，點P的坐標為（-2+20,-4）或（-2-2V2,-4）,

綜上所述，點P的坐標是：F2,4）、（-2+20,-4k（-2-2V2,-4）.

【答案】⑴》=—/―4x；⑵點P的坐標是：一2,4）、［-2+2技-4）、（-2-20,-4）.

【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，［2）要注意分點P

在x軸的上方與下方兩種情況討論求解.難度中等.

30.（2022四川宜賓）給出定義：設(shè)一條直線與一條拋物線只有一個公共點，且這條直線與這條拋物線的

對稱軸不平行，就稱直線與拋物線相切，這條直線是這條拋物線的切線。有以下命題：

①直線y=0是拋物線y=—/的切線；②直線x=-2與拋物線y=—/相切于點〔一2,1）；

44

1,1,

③直線y=x+b與拋物線y=—/相切，那么相切于點（2,1）；④直線y=kx-2與拋物線y=—/相切，那么

44

實數(shù)k二四；其中正確命題的是〔）

A.①②④B.①③C.②③D.①③④

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與根的判別式對各小題進行逐一分析即可.

解：①???直線y=0是x軸，拋物線丫二工（的頂點在x軸上，直線y=0是拋物線y=2x2的切

44

線，故本小題正確；②：拋物線的頂點在x軸上，開口向上，直線x=2與y軸平行，，直線*=

4

-2與拋物線y=lx2相交，故本小題錯誤；

4

③：直線y=4x+b與拋物線y=2x?相切，...▲x2-4x-b=0,.?.△=16+4b=0,解得b=-4,把b=-4代入

44

工x2-4x-b=0得x=2,把x=2代入拋物線解析式可知y=l,.?.直線丫=*+1）與拋物線y=L?相切，那么

44

相切于點[2,1）,故本小題正確；

④：直線y=kx-2與拋物線yJx?相切，x2=kx-2,即-kx+2=0,A=k2-2=0,解得k=±J],

444

故本小題錯誤.應選B.【點評】此題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)及根的判別式，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是

解答此題的關(guān)鍵

31.（2022甘肅蘭州）假設(shè)X1、xz是關(guān)于x一元二次方程ax，bx+c=0的兩個根，那么方程的兩個

根XI、X2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：為+%=-上h,%?々=c—.把它們稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定

aa

理。如果設(shè)二次函數(shù)y=ax°+bx+c〔aWO）的圖象與x軸的兩個交點為A（xi,0）,B（x2,0].利用根與系

數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B兩個交點間的距離為：

參考以上定理和結(jié)論，解答以下問題：

設(shè)二次函數(shù)y=ax?+bx+c[a>0）的圖象與x軸的兩個交點A（xi,0）,B（x2,0）,拋物線的頂點為C,顯

然4ABC為等腰三角形.

⑴當AABC為等腰直角三角形時，求〃—4ac的值；（2）當AABC為等邊三角形時，求4ac的值.

解析：（1）當AABC為直角三角形時，由于AC=BC,所以aABC為等腰直角三角形，過C作CDLAB于D,

J7—4-cic

那么AB=2CD.根據(jù)此題定理和結(jié)論，得到=^一,根據(jù)頂點坐標公式，得到

/I

CD==-——,列出方程，解方程即可求出〃—4〃c的值；

4a4a

[2）當aABC為等邊三角形時，解直角^ACD,得CD=6AD=BAB,據(jù)此列出方程，解方程即可求

2

~Z?2—4-cic(Z72—4QC)22,2

yjb1—4ac=--------,b2-4ac=-----------*/b2—4ac>0,b2—4ac=4；

24

[2）如圖，當AABC為等邊三角形時，由m可知CE=JAB,

2

.b2-4ac_班yjb2-4ac

4a2a

：/_4ac>0,；.b2-4?c=12.

點評：此題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與

及根與系數(shù)的關(guān)系定理，綜合性較強，難度中等.

32.（2022山東濱州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax、bx+c經(jīng)過A（-2,-4）,0（0,0）,B

（2,0）三點.（1）求拋物線y=ax'+bx+c的解析式；（2）假設(shè)點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+0M

的最小值.

【解析】11）將A、0、B三點代入此拋物線求出拋物線的解析式即可。（2）求出此拋物線的對稱軸以及對

稱軸的垂直平分線的方程，畫出它們，由幾何關(guān)系可求得AM+0M的最小值.

解：（1）把A（-2,-4）,0〔0,0〕，B（2,0）三點的坐標代入y=ax?+bx+c中，得

f4a-2b+c=-4

(4a+2b+c=0解這個方程組，得a=-1,b=l,c=0所以解析式為y=-LAX.

-22

⑵由y=-lx2+x=-1（x-1）2+1,可得拋物線的對稱軸為x=l,并且對稱軸垂直平分線段0B

222

OM=BMOM+AM=BM+AM連接AB交直線x=l于M點，那么此時OM+AM最小

過點A作AN，x軸于點N,在Rt^ABN中，AB=?石菽=妤手=4&,

因此OM+AM最小值為5日.【點評】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)的求法、二次函數(shù)對稱軸的求法、

二次函數(shù)對稱軸的求法以及對稱的性質(zhì).待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是二次函數(shù)?？疾榈膯栴}，二次

函數(shù)性質(zhì)的綜合應用在中考中常作為壓軸題考查.

33（2022甘肅蘭州）如圖，RtZkABO的兩直角邊0A、0B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，0為坐標

原點A、B兩點的坐標分別為（-3,0）、［0,4）,拋物線y=—必+法+。經(jīng)過點B且頂點在直線x=一上.

-32

11）求拋物線對應的函數(shù)關(guān)系式；

12）假設(shè)把AABO沿x軸向右平移得到ADCE,點A、B、。的對應點分別是D、C、E,當四邊形ABCD是菱

形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

〔3）在［2）的條件下，連結(jié)BD,在對稱軸上存在一點P是的4PBD的周長最小，求出P點的坐標；

［4）在〔2）、（3）條件下，假設(shè)點M是線段0B上的一個動點（點M與點0、B不重合），過點M作MN〃BD

交x軸與點N,連結(jié)PM、PN,設(shè)0M的長為t,Z\PMN的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量

t的取值范圍。S是否存在最大值假設(shè)存在，求出最大值和此時M點的坐標；假設(shè)不存在，說明理由。

2,5

解析：（1）根據(jù)拋物線、=經(jīng)過點B［0,4）,以及頂點在直線x=5上，得出b,c即可；

〔2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點的坐標分別是［5,4）、（2,0）,利用圖象上點的性質(zhì)得出x=5或2

時，y的值即可.

13）首先設(shè)直線CD對應的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,求出解析式，當％時，求出y即可；

2

14）利用MN〃BD,得出△0MNS/\0BD,進而得出"_=空，得到ON=』r,進而表示出△PMN的面積，

OBOD2

利用二次函數(shù)最值求出即可.

2o

解：[1)?拋物線y=—%2+6%+C經(jīng)過B[0,4),c=4

3

?.?頂點在直線x=3上，，一幺=*,b=-—

22a23

210

.?.所求的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x2-—x+4

-33

〔2)在RtZXABO中，0A=3,0B=4,/.AB=VOA2+(9B2=5

?/四邊形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5,

；.C、D兩點的坐標分別是［5,4）、［2,0）,

?10210

當x=5時，y=-x52一一x5+4=4當x=2時，y=-x22——x2+4=0.?.點C和點D都在所求拋

3333

物線上;

［3）設(shè)CD與對稱軸交于點P,那么P為所求的點,

5k+b=4b=X

設(shè)直線CD對應的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,那么《c,,八，解得:

2k+b=03

.V14%8當尤54458_2

??y—