《利用導(dǎo)數(shù)求極限》課件

利用導(dǎo)數(shù)求極限課程背景微積分基礎(chǔ)本課程以微積分中的導(dǎo)數(shù)概念為基礎(chǔ)。極限計(jì)算利用導(dǎo)數(shù)求極限是解決許多極限問題的重要方法。廣泛應(yīng)用該方法在物理、工程、經(jīng)濟(jì)等多個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。課程目標(biāo)理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)掌握導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算方法以及應(yīng)用場(chǎng)景。掌握利用導(dǎo)數(shù)求極限的技巧學(xué)會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和公式解決各種極限問題。提升數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)邏輯推理能力、抽象思維能力和問題解決能力。導(dǎo)數(shù)的概念回顧導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是指該函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，表示函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。幾何意義函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像在該點(diǎn)處的切線的斜率。物理意義導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中表示速度、加速度等物理量的變化率。導(dǎo)數(shù)存在的條件1函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)必須在該點(diǎn)連續(xù)，即函數(shù)值在該點(diǎn)左右兩側(cè)都存在且相等。2函數(shù)在該點(diǎn)左右兩側(cè)都有導(dǎo)數(shù)函數(shù)在該點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)必須存在且相等，這意味著函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率從左側(cè)和右側(cè)趨近于同一個(gè)值。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式基本公式對(duì)于函數(shù)f(x)，其導(dǎo)數(shù)f'(x)表示為：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)函數(shù)：d(c)/dx=0冪函數(shù)：d(x^n)/dx=nx^(n-1)指數(shù)函數(shù)：d(a^x)/dx=a^x*ln(a)對(duì)數(shù)函數(shù)：d(ln(x))/dx=1/x三角函數(shù)：d(sin(x))/dx=cos(x),d(cos(x))/dx=-sin(x)利用導(dǎo)數(shù)求極限的思路將極限轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，將所求極限轉(zhuǎn)化為該函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)定義求極限根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，利用導(dǎo)數(shù)的極限表達(dá)式求解極限。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式求極限利用已知的導(dǎo)數(shù)公式，直接計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求得極限。例題1：求lim(x→1)(x2-1)/(x-1)步驟1將(x2-1)分解為(x+1)(x-1)步驟2約去(x-1)步驟3將x=1代入(x+1)中結(jié)果lim(x→1)(x2-1)/(x-1)=2例題2：求lim(x→0)(sin(x))/x當(dāng)x趨近于0時(shí)，sin(x)/x的極限值為1。例題3：求lim(x→0)(1-cos(x))/x1使用導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)f(x)=1-cos(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)。2求導(dǎo)f'(x)=sin(x),因此f'(0)=sin(0)=0。3求極限由導(dǎo)數(shù)的定義，lim(x→0)(1-cos(x))/x=f'(0)=0。例題4：求lim(x→0)(e^x-1)/x步驟1利用導(dǎo)數(shù)的定義，求得e^x的導(dǎo)數(shù)為e^x步驟2將導(dǎo)數(shù)公式代入原式，得到lim(x→0)(e^x-1)/x=e^0=1結(jié)論因此，lim(x→0)(e^x-1)/x=1例題5：求lim(x→∞)(1+1/x)^x當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，(1+1/x)^x趨近于e。例題6：求lim(x→0)(a^x-1)/x1利用導(dǎo)數(shù)當(dāng)x→0時(shí)，(a^x-1)/x的極限等于a的自然對(duì)數(shù)ln(a)2重要結(jié)論這個(gè)結(jié)論在微積分中非常重要，它可以幫助我們求解許多其他極限問題3應(yīng)用廣泛它廣泛應(yīng)用于金融、物理、工程等領(lǐng)域例題7：求lim(x→0)(ln(1+x))/x通過觀察曲線圖，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x趨近于0時(shí)，(ln(1+x))/x的值趨近于1。例題8：求lim(x→0)(sin(ax))/x1利用導(dǎo)數(shù)sin(ax)的導(dǎo)數(shù)是acos(ax)2洛必達(dá)法則當(dāng)x趨于0時(shí)，sin(ax)和x都趨于0，滿足洛必達(dá)法則的條件。3最終結(jié)果根據(jù)洛必達(dá)法則，極限值為a。例題9：求lim(x→0)(cos(ax)-1)/x步驟1將分子乘以cos(ax)+1，分母乘以cos(ax)+1步驟2利用三角恒等式：cos2(ax)-1=-sin2(ax)步驟3化簡(jiǎn)表達(dá)式，得到lim(x→0)(-a2sin2(ax))/(x(cos(ax)+1))步驟4利用極限的性質(zhì)，將極限分解為兩個(gè)部分步驟5利用sin(x)/x的極限公式和cos(x)的連續(xù)性，求得最終結(jié)果例題10：求lim(x→∞)(1+1/x)^(bx)1求導(dǎo)先對(duì)(1+1/x)^(bx)求導(dǎo)，得到：b(1+1/x)^(bx-1)(-1/x^2)。2極限然后求當(dāng)x趨于無窮大時(shí)的極限，即：lim(x→∞)b(1+1/x)^(bx-1)(-1/x^2)=0。3結(jié)論因此，lim(x→∞)(1+1/x)^(bx)=e^b。例題11：求lim(x→0)[(x^2+1)/(x+1)-2]此題我們可以先化簡(jiǎn)表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求極限例題12：求lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]步驟操作結(jié)果1令y=(1+x)^(1/x)ln(y)=(1/x)ln(1+x)2求ln(y)的極限lim(x→0)ln(y)=lim(x→0)[(1/x)ln(1+x)]=13求y的極限lim(x→0)y=lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e4求原式的極限lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]=e-e=0例題13：求lim(x→∞)[(x^2-1)/(x^2+1)]當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，函數(shù)值趨于1，所以lim(x→∞)[(x^2-1)/(x^2+1)]=1例題14：求lim(x→0)[(x^3-1)/(x^2-1)]步驟1：分解因式lim(x→0)[(x^3-1)/(x^2-1)]=lim(x→0)[(x-1)(x^2+x+1)]/[(x-1)(x+1)]步驟2：約分lim(x→0)[(x^2+x+1)/(x+1)]步驟3：代入求值lim(x→0)[(x^2+x+1)/(x+1)]=(0^2+0+1)/(0+1)=1課后思考題極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系探討導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用和作用。常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)總結(jié)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及其在求極限中的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)求極限的步驟梳理導(dǎo)數(shù)求極限的步驟，并舉出一些常見的例子。學(xué)習(xí)總結(jié)導(dǎo)數(shù)求極限的步驟先求出導(dǎo)數(shù)，然后將極限值代入導(dǎo)