備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第二章-§2-11-函數(shù)的零點與方程的根

§2.11函數(shù)的零點

與方程的根第二章

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ1.理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使

的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)根的關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有交點?函數(shù)y＝f(x)有

.(3)函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得

，這個c也就是方程f(x)＝0的根.f(x)＝0x軸零點f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝02.二分法對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間

，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近

，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0一分為二零點1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.2.連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.(

)(2)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，則f(a)·f(b)<0.(

)(3)函數(shù)y＝f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)有且僅有一個零點.(

)(4)用二分法求函數(shù)零點的近似值適合于變號零點.(

)×××√1.觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是√由圖象可知，B，D選項中函數(shù)無零點，A，C選項中函數(shù)有零點，C選項中函數(shù)零點兩側(cè)函數(shù)值符號相同，A選項中函數(shù)零點兩側(cè)函數(shù)值符號相反，故A選項中函數(shù)零點可以用二分法求近似值，C選項不能用二分法求零點.2.函數(shù)y＝

－lnx的零點所在區(qū)間是A.(3,4)

B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)√因為函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，且函數(shù)y＝

在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；y＝－lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝

－lnx為定義在(0，＋∞)上的連續(xù)減函數(shù)，當x＝3時，y＝1－ln3<0，兩函數(shù)值異號，3.函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是A.0B.1C.2D.3√由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝

－3<0，f(0)＝1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點.探究核心題型第二部分例1

(1)函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點所在的區(qū)間是A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)√題型一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定由題意得，f(x)＝lnx＋2x－6，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，則f(2)f(3)<0，∴零點在區(qū)間(2,3)上.延伸探究

用二分法求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似值，至少經(jīng)過________次二分后精確度達到0.1A.2B.3C.4D.5∵開區(qū)間(2,3)的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，√∴至少需要操?次.(2)(2023·蚌埠模擬)已知x1＋

＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，則A.x1<x2<x3

B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2

D.x2<x3<x1√設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，由函數(shù)零點存在定理可知，－1<x1<0.設(shè)函數(shù)g(x)＝x＋log2x，因為h(1)>h(x3)，由函數(shù)單調(diào)性可知，x3>1，即－1<x1<0<x2<1<x3.確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.思維升華跟蹤訓練1

(1)函數(shù)f(x)＝ex－x－2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點A.(－3，－2) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)√f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因為f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(1,2)內(nèi)存在零點.(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間A.(a，b)和(b，c)內(nèi)B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)√函數(shù)y＝f(x)是開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內(nèi)各有一個零點.題型二函數(shù)零點個數(shù)的判定例2

(1)若函數(shù)f(x)＝|x|，則函數(shù)y＝f(x)－

的零點個數(shù)是A.5B.4C.3D.2√在同一平面直角坐標系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝

的圖象如圖所示，則y＝f(x)－

的零點個數(shù)，即f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)，由圖可知選D.(2)已知在R上的函數(shù)f(x)滿足對于任意實數(shù)x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在區(qū)間[0,7]上只有x＝1和x＝3兩個零點，則f(x)＝0在區(qū)間[0,2023]上根的個數(shù)為A.404B.405C.406D.203√因為f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)關(guān)于直線x＝2對稱且f(5＋x)＝f(－x－1)；因為f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，則f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10為周期的函數(shù).又f(x)在區(qū)間[0,7]上只有x＝1和x＝3兩個零點，根據(jù)函數(shù)對稱性可知，f(x)在一個周期[0,10]內(nèi)也只有兩個零點，又區(qū)間[0,2023]內(nèi)包含202個周期，故f(x)在[0,2020]上的零點個數(shù)為202×2＝404，又f(x)在(2020,2023]上的零點個數(shù)與在(0,3]上的零點個數(shù)相同，有2個.故f(x)在[0,2023]上有406個零點，即f(x)＝0在區(qū)間[0,2023]上有406個根.求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點；(2)定理法：利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).思維升華跟蹤訓練2

(1)(2022·泉州模擬)設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)＝則關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點的個數(shù)為A.3B.7C.5D.6√根據(jù)題意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，作出f(x)的簡圖如圖所示，分別有3個和4個交點，故關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點的個數(shù)為7.6令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定義域為[－6,6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，故f(x)共有6個零點.函數(shù)零點的應(yīng)用例3

(2023·黃岡模擬)函數(shù)f(x)＝

g(x)＝kx－3k，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個交點，則實數(shù)k的取值范圍為題型三命題點1根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)√設(shè)與y＝4－x2相切的直線為l，因為y′＝－2x，所以切線的斜率為k＝－2x0，因為g(x)＝kx－3k過定點(3,0)，且在切線l上，因為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個交點，例4

(2023·北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝3x－

.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實數(shù)a的取值范圍是命題點2根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)√由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(－∞，－1)上的值域.所以函數(shù)g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增.當x∈(－∞，－1)時，根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.思維升華跟蹤訓練3

(1)函數(shù)f(x)＝2x－

－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是A.0<a<3 B.1<a<3C.1<a<2 D.a≥2√f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3.(2)(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)＝

若g(x)＝f(x)－a有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為√令h′(x)>0，得0<x<e，令h′(x)<0，得x>e，所以函數(shù)h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減.因為函數(shù)g(x)＝f(x)－a有3個零點，所以方程f(x)＝a有3個解.作出函數(shù)y＝f(x)和y＝a的圖象如圖所示，課時精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.(2022·焦作模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋

的零點為x0，則x0所在的區(qū)間是A.(－4，－2) B.(－2，－1)C.(1,2) D.(2,4)所以x0∈(－2，－1).√123456789101112131415162.用二分法研究函數(shù)f(x)＝x5＋8x3－1的零點時，第一次經(jīng)過計算得f(0)<0，f(0.5)>0，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為A.(0,0.5)，f(0.125) B.(0,0.5)，f(0.375)C.(0.5,1)，f(0.75) D.(0,0.5)，f(0.25)因為f(0)f(0.5)<0，由函數(shù)零點存在定理知，零點x0∈(0,0.5)，√123456789101112131415163.函數(shù)f(x)＝

的零點個數(shù)為A.1B.2C.3D.4√12345678910111213141516當x≤0時，令f(x)＝x2－2x－3＝0，得x＝－1(x＝3舍去)，當x>0時，令f(x)＝0，得log2x＝3x－4，作出y＝log2x與y＝3x－4的圖象，如圖所示，由圖可知，y＝log2x與y＝3x－4有兩個交點，所以當x>0時，f(x)＝0有兩個零點，綜上，f(x)有3個零點.12345678910111213141516123456789101112131415164.已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－

＋m在區(qū)間(1,3]上有零點，則實數(shù)m的取值范圍為√所以函數(shù)f(x)在(1,3]上單調(diào)遞增，123456789101112131415165.已知函數(shù)f(x)＝

若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是A.(1,2] B.(1,2)C.(0,1) D.[1，＋∞)因為函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個零點，所以函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m有三個不同的交點，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，1<m≤2，即m的取值范圍是(1,2].√12345678910111213141516123456789101112131415166.函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k的交點個數(shù)不可能是A.1B.2C.4D.6√由題意知，f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]，12345678910111213141516在坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.由其圖象知，直線y＝k與y＝f(x)的圖象交點個數(shù)可能為0,1,2,3,4.123456789101112131415167.(2023·南京模擬)在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理可應(yīng)用到有限維空間，是構(gòu)成一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單地講，就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個點x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列函數(shù)是“不動點”函數(shù)的個數(shù)是①f(x)＝2x＋x；②f(x)＝x2－x－3；③f(x)＝

＋1；④f(x)＝|log2x|－1.A.1B.2C.3D.4√對于①，若f(x0)＝x0，則

＝0，該方程無解，故該函數(shù)不是“不動點”函數(shù)；12345678910111213141516解得x0＝3或x0＝－1，故該函數(shù)是“不動點”函數(shù)；對于③，若f(x0)＝x0，則

＋1＝x0，對于④，若f(x0)＝x0，則|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|與y＝x＋1的函數(shù)圖象，如圖，由圖可知，方程|log2x|＝x＋1有實數(shù)根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故該函數(shù)是“不動點”函數(shù).12345678910111213141516123456789101112131415168.已知函數(shù)f(x)＝x－

(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x>0)的零點分別為x1，x2，x3，則A.x1<x2<x3

B.x2<x1<x3C.x2<x3<x1

D.x3<x1<x2√可知x2<x3<x1.123456789101112131415169.已知指數(shù)函數(shù)為f(x)＝4x，則函數(shù)y＝f(x)－2x＋1的零點為______.由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.1234567891011121314151611234567891011121314151610.(2023·蘇州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)滿足以下條件：①f(x)的定義域為R，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②?x∈R，f(x)＝f(－x)；③當x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2時，

>0；④f(x)恰有兩個零點，請寫出函數(shù)f(x)的一個解析式________________________.f(x)＝x2－1(答案不唯一)因為?x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數(shù)，12345678910111213141516所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為f(x)恰有兩個零點，所以f(x)圖象與x軸只有2個交點，所以函數(shù)f(x)的一個解析式可以為f(x)＝x2－1(答案不唯一).1234567891011121314151611.已知函數(shù)f(x)＝

且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是__________.(1，＋∞)方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，即f(x)＝－x＋a有且只有一個實根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－x＋a有且只有一個交點.如圖，在同一直角坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線y＝－x＋a在y軸上的截距.由圖可知，當a≤1時，直線y＝－x＋a與y＝f(x)有兩個交點，當a>1時，直線y＝－x＋a與y＝f(x)只有一個交點.故實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞).123456789101112131415161234567891011121314151612.已知函數(shù)f(x)＝

函數(shù)y＝f(x)－a有四個不同的零點x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，則

＝_____.y＝f(x)－a有四個不同的零點x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四個不同的解，即y＝f(x)的圖象與直線y＝a有四個交點.在同一平面直角坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝a的圖象，如圖所示，由二次函數(shù)的對稱性可得，x3＋x4＝4.因為

，1234567891011121314151612345678910111213141516綜合提升練13.已知函數(shù)f(x)＝|ex－1|＋1，若函數(shù)g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)√令t＝f(x)，則函數(shù)g(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，t＝2或t＝－a.12345678910111213141516作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，當t＝2時，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且僅有一個根，則方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有兩個不同的實數(shù)根，此時由圖可知，1<－a<2，即－2<a<－1.14.已知函數(shù)f(x)＝

－sinx，x∈[－