【北京特級教師】2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-3課后練習(xí)：離散型隨機變量及其分布列(一)

專題離散型隨機變量及其分布列(一)課后練習(xí)主講老師：王春輝一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X＝4)的值是()A.eq\f(1,220) B.eq\f(27,55)C.eq\f(27,220) D.eq\f(21,55)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)求X的分布列.(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).第26屆世界高校生夏季運動會將于2011年8月12日到23日在深圳進(jìn)行，為了搞好接待工作，組委會在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。將這30名志愿者的身高編成如右所示的莖葉圖(單位:cm)：若身高在175cm以上(包括175cm)定義為“高個子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才擔(dān)當(dāng)“禮儀小姐”.(Ⅰ)假如用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中提取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？(Ⅱ)若從全部“高個子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)當(dāng)“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，接受分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號123451691781661751807580777081(1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估量乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參與一項公益活動．(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．袋中有3個白球，3個紅球和5個黑球．從中抽取3個球，若取得1個白球得1分，取得1個紅球扣1分，取得1個黑球得0分．求所得分?jǐn)?shù)ξ的概率分布列．一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量狀況分為三類：A類、B類、C類．檢驗員定時從該生產(chǎn)線上任取2件產(chǎn)品進(jìn)行一次抽檢，若發(fā)覺其中含有C類產(chǎn)品或2件都是B類產(chǎn)品，就需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整．已知該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的每件產(chǎn)品為A類品，B類品和C類品的概率分別為0.9，0.05和0.05，且各件產(chǎn)品的質(zhì)量狀況互不影響．(1)求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；(2)若檢驗員一天抽檢3次，以ξ表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求ξ的分布列．甲、乙兩人參與2010年廣州亞運會青年志愿者的選拔．打算接受現(xiàn)場答題的方式來進(jìn)行，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才能入選．(1)求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布；(2)求甲、乙兩人至少有一人入選的概率．如圖所示，A、B兩點5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2，3，4，3，2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)通過的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8)＝________.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)隨機選取1件產(chǎn)品，求能夠通過檢測的概率；(Ⅱ)隨機選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列；(Ⅲ)隨機選取3件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過檢測的概率.專題離散型隨機變量及其分布列(一)課后練習(xí)參考答案C.詳解：{X＝4}表示從盒中取了2個舊球，1個新球，故P(X＝4)＝＝eq\f(27,220).(1)X的分布列為：X3456P(2).詳解：(1)X=3，4，5，6，，，，，所以X的分布列為：X3456P(2)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.(Ⅰ)．(Ⅱ)的分布列如下：期望為1.詳解：(Ⅰ)依據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是，所以選中的“高個子”有人，“非高個子”有人．用大事表示“至少有一名“高個子”被選中”，則它的對立大事表示“沒有一名“高個子”被選中”，則．……5分因此，至少有一人是“高個子”的概率是．(Ⅱ)依題意，的取值為．，，，．因此，的分布列如下：．(1)35(件)；(2)14(件)；(3)分布列為012P數(shù)學(xué)期望E()=.詳解：(1)由題意知，抽取比例為，則乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為(件)；(2)由表格知乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品為2號和5號，所占比例為.由此估量乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為(件)；(3)由(2)知2號和5號產(chǎn)品為優(yōu)等品，其余3件為非優(yōu)等品.的取值為0，1，2.P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=.從而分布列為012P數(shù)學(xué)期望E()=.(1)eq\f(10,21).(2)詳解：(1)所選3人中恰有一名男生的概率P＝＝eq\f(10,21).(2)ξ的可能取值為0，1，2，3.P(ξ＝0)＝＝eq\f(5,42)，P(ξ＝1)＝＝eq\f(10,21)，P(ξ＝2)＝＝eq\f(5,14)，P(ξ＝3)＝＝eq\f(1,21).∴ξ的分布列為詳解：得分ξ的取值為－3，－2，－1，0，1，2，3.ξ＝－3時表示取得3個球均為紅球，∴P(ξ＝－3)＝＝eq\f(1,165)；ξ＝－2時表示取得2個紅球和1個黑球，∴P(ξ＝－2)＝＝eq\f(1,11)；ξ＝－1時表示取得2個紅球和1個白球，或1個紅球和2個黑球，∴P(ξ＝－1)＝＝eq\f(13,55)；ξ＝0時表示取得3個黑球或1紅、1黑、1白，∴P(ξ＝0)＝＝eq\f(1,3)；ξ＝1時表示取得1個白球和2個黑球或2個白球和1個紅球，∴P(ξ＝1)＝＝eq\f(13,55)；ξ＝2時表示取得2個白球和1個黑球，∴P(ξ＝2)＝＝eq\f(1,11)；ξ＝3時表示取得3個白球，∴P(ξ＝3)＝＝eq\f(1,165)；∴所求概率分布列為(1)0.9.(2)ξ0123p0.7290.2430.0270.001詳解：(1)設(shè)Ai表示大事“在一次抽檢中抽到的第i件產(chǎn)品為A類品”，i＝1，2.Bi表示大事“在一次抽檢中抽到的第i件產(chǎn)品為B類品”，i＝1，2.C表示大事“一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整”．則C＝A1·A2＋A1·B2＋B1·A2.由已知P(Ai)＝0.9，P(Bi)＝0.05i＝1，2.所以，所求的概率為P(C)＝P(A1·A2)＋P(A1·B2)＋P(B1·A2)＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽檢后，設(shè)備需要調(diào)整的概率為p＝P(eq\x\to(C))＝1－0.9＝0.1，依題意知ξ～B(3，0.1)，ξ的分布列為ξ0123p0.7290.2430.0270.001(1)ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)eq\f(44,45)詳解：(1)依題意，甲答對試題數(shù)ξ的可能取值為0、1、2、3，則P(ξ＝0)＝＝eq\f(1,30)，P(ξ＝1)＝＝eq\f(3,10)，P(ξ＝2)＝＝eq\f(1,2)，P(ξ＝3)＝＝eq\f(1,6)，其分布列如下：ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)設(shè)甲、乙兩人考試合格的大事分別為A、B，則P(A)＝＝eq\f(60＋20,120)＝eq\f(2,3)，P(B)＝＝eq\f(56＋56,120)＝eq\f(14,15).法一：由于大事A、B相互獨立，∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)·\x\to(B)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)))·Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(14,15)))＝eq\f(1,45)，∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)·\x\to(B)))＝1－eq\f(1,45)＝eq\f(44,45).答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為eq\f(44,45).法二：甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為P＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A·\x\to(B)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)·B))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A·B))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,15)＋eq\f(1,3)×eq\f(14,15)＋eq\f(2,3)×eq\f(14,15)＝eq\f(44,45).答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為eq\f(44,45)eq\f(4,5).詳解：由已知ξ的取值為7，8，9，10，∵P(ξ＝7)＝＝eq\f(1,5)，P(ξ＝8)＝＝eq\f(3,10)，P(ξ＝9)＝＝eq\f(2,5)，P(ξ＝10)＝＝eq\f(1,10)，∴ξ的概率分布列為ξ78910Peq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)eq\f(1,10)∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝eq\f(3,10)＋eq\f(2,5)＋eq\f(1,10)＝eq\f(4,5).(Ⅰ)(Ⅱ)0123(Ⅲ).