【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：3.4-簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃-參考教案1

§4.2簡(jiǎn)潔線(xiàn)性規(guī)劃（1）教學(xué)目標(biāo)：1.了解線(xiàn)性規(guī)劃的意義及線(xiàn)性約束條件、線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念；2.能依據(jù)條件建立線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)；3.了解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法，并會(huì)用圖解法求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值.教學(xué)重、難點(diǎn)：線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法；尋求線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)練習(xí)：畫(huà)出下列不等式表示的平面區(qū)域：（1）；（2）．（二）新課講解：在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)支配等問(wèn)題。1、下面我們就來(lái)看有關(guān)與生產(chǎn)支配的一個(gè)問(wèn)題：引例：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天8h計(jì)算，該廠全部可能的日生產(chǎn)支配是什么？（1）用不等式組表示問(wèn)題中的限制條件：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，又已知條件可得二元一次不等式組：……………….（1）（2）畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域：如圖，圖中的陰影部分的整點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）就代表全部可能的日生產(chǎn)支配。（3）提出新問(wèn)題：進(jìn)一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元，接受哪種生產(chǎn)支配利潤(rùn)最大？（4）嘗試解答：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為,則，這樣，上述問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)滿(mǎn)足不等式（1）并且為非負(fù)整數(shù)時(shí)，z的最大值是多少？把變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為的直線(xiàn)。當(dāng)z變化時(shí)，可以得到一族相互平行的直線(xiàn)，如圖，由于這些直線(xiàn)的斜率是確定的，因此只要給定一個(gè)點(diǎn)，（例如（1，2）），就能確定一條直線(xiàn)（），這說(shuō)明，截距可以由平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定?？梢钥吹剑本€(xiàn)與不等式組（1）的區(qū)域的交點(diǎn)滿(mǎn)足不等式組（1），而且當(dāng)截距最大時(shí)，z取得最大值。因此，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線(xiàn)與不等式組（1）確定的平面區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)P，使直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)截距最大。（5）獲得結(jié)果：由圖可以看出，當(dāng)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)x=4與直線(xiàn)x+2y-8=0的交點(diǎn)時(shí)，截距的值最大，最大值為，這時(shí).所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)14萬(wàn)元。2、有關(guān)概念在上述引例中，不等式組是一組對(duì)變量的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于的一次不等式，所以又稱(chēng)為線(xiàn)性約束條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式，叫目標(biāo)函數(shù)。又由于是的一次解析式，所以又叫線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù).一般地，求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解叫做可行解，由全部可行解組成的集合叫做可行域。在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解.（三）例題分析：例1：設(shè)滿(mǎn)足約束條件（1）求目標(biāo)函數(shù)的最小值與最大值（2）求目標(biāo)函數(shù)的最小值與最大值解：（1）作出可行域（如圖）令作直線(xiàn)當(dāng)把直線(xiàn)向下移動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的的函數(shù)值隨之減小，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，頂點(diǎn)是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，即當(dāng)把直線(xiàn)向上移動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的的函數(shù)值隨之增大，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，頂點(diǎn)是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，由知，此時(shí)頂點(diǎn)和頂點(diǎn)為最優(yōu)解所以，（2）作直線(xiàn)，把直線(xiàn)向下平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的的函數(shù)值隨之減小，即的函數(shù)值隨之減小，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即取得最小值頂點(diǎn)是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，由知代入目標(biāo)函數(shù)知由于直線(xiàn)平行于直線(xiàn)，因此當(dāng)把直線(xiàn)向上平移到時(shí)，與可行域的交點(diǎn)不止一個(gè)，而是線(xiàn)段上的全部點(diǎn)，此時(shí)，練習(xí)：設(shè)變量滿(mǎn)足條件，（1）求的最大值和最小值.（2）求的最大值和最小值.解：（1）由題意，變量所滿(mǎn)足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知，原點(diǎn)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在直線(xiàn)：上，作一組平行于的直線(xiàn)：，，可知：當(dāng)在的右上方時(shí)，直線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足，即，而且，直線(xiàn)往右平移時(shí)，隨之增大。由圖象可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小，所以，，．（2）直線(xiàn)與所在直線(xiàn)平行，則由（1）知，當(dāng)與所在直線(xiàn)重合時(shí)最大，此時(shí)滿(mǎn)足條件的最優(yōu)解有很多多個(gè)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)最小，∴，．說(shuō)明：1．線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得；2．線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可在可行域的邊界上取得，即滿(mǎn)足條件的最優(yōu)解有很多多個(gè)。例2．設(shè)滿(mǎn)足約束條件組，求的最大值和最小值.解：由知，代入中，得，，∴原約束條件組可化為，如圖，作一組平行線(xiàn)：平行于：，由圖象知，當(dāng)往左上方時(shí)，往左上方移動(dòng)時(shí)隨之增大，當(dāng)往右下方移動(dòng)時(shí)，隨之減小，所以，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，；當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，．例3（參考）．已知滿(mǎn)足不等式組，求使取最大值的整數(shù)．解：不等式組的解集為三直線(xiàn)：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點(diǎn)分別為，則坐標(biāo)分別為，，，作一組平行線(xiàn)：平行于：，當(dāng)往右上方移動(dòng)時(shí)，隨之增大，∴當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大為，但不是整數(shù)解，又由知可取，當(dāng)時(shí)，代入原不等式組得，∴；當(dāng)時(shí)，得或，∴或；當(dāng)時(shí)，，∴，故的最大整數(shù)解為或．說(shuō)明：最優(yōu)整數(shù)解常有兩種處理方法，一種是通過(guò)打出網(wǎng)格求整點(diǎn)，關(guān)鍵是作圖要精確；另一種是本題接受的方法，先確定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍，確定的全部整數(shù)值，再