【核按鈕】2021高考新課標數學(理)配套文檔：8.3-空間點、線、面之間的位置關系

§8.3空間點、線、面之間的位置關系1．理解空間直線、平面位置關系的定義．2．了解可以作為推理依據的公理和定理．3．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡潔命題．本節(jié)內容在高考中常以幾何體為載體，考查平面的基本性質、空間兩直線的位置關系的判定及運用，特殊是異面直線的概念、所成角的計算等．題型多以選擇、填空的形式消滅，有時也消滅在解答題中，以此考查同學的空間想象力量、規(guī)律推理力量．1．平面的基本性質(1)公理1：假如一條直線上的______在一個平面內，那么這條直線在此平面內．它的作用是可用來證明點在平面內或__________________．(2)公理2：過____________上的三點，有且只有一個平面．公理2的推論如下：①經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；②經過兩條相交直線，有且只有一個平面；③經過兩條平行直線，有且只有一個平面．公理2及其推論的作用是可用來確定一個平面，或用來證明點、線共面．(3)公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們____________過該點的公共直線．它的作用是可用來確定兩個平面的交線，或證明三點共線、三線共點等問題．2．空間兩條直線的位置關系(1)位置關系的分類(2)異面直線①定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．注：異面直線定義中“不同在任何一個平面內的兩條直線”是指“不行能找到一個平面能同時經過這兩條直線”，也可以理解為“既不平行也不相交的兩條直線”，但是不能理解為“分別在兩個平面內的兩條直線”．②異面直線的畫法：畫異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行又不相交，也不共面的特點，經常需要以幫助平面作為襯托，以加強直觀性．③異面直線所成的角：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．異面直線所成角的范圍是____________．若兩條異面直線所成的角是直角，則稱兩條異面直線__________，所以空間兩條直線垂直分為相交垂直和__________．3．平行公理公理4：平行于____________的兩條直線相互平行(空間平行線的傳遞性)．它給出了推斷空間兩條直線平行的依據．4．等角定理等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角____________．【自查自糾】1．(1)兩點直線在平面內(2)不在一條直線(3)有且只有一條2．(1)一個公共點沒有公共點沒有公共點(2)③eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))相互垂直異面垂直3．同一條直線4．相等或互補(eq\a\vs4\al(2021·安徽))在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同始終線上的三點，有且只有一個平面C．假如一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上全部的點都在此平面內D．假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解：公理是不需要證明的原始命題，而選項A是面面平行的性質定理，故選A.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不肯定平行解：兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不肯定平行，如圓錐的母線與軸的夾角．故選D.若點P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且Rm，PQ∩m＝M，過P，Q，R三點確定一個平面γ，則β∩γ是()A．直線QR B．直線PRC．直線RM D．以上均不正確解：∵PQ∩m＝M，m?β，∴M∈β.又M∈平面PQR，即M∈γ，故M是β與γ的公共點．又R∈β，R∈平面PQR，即R∈γ，∴R是β與γ的公共點．∴β∩γ＝MR.故選C.給出下列命題：①空間四點共面，則其中必有三點共線；②空間四點不共面，則其中任何三點不共線；③空間四點中有三點共線，則此四點必共面；④空間四點中任何三點不共線，則此四點不共面．其中正確命題的序號是____________．解：易知②③正確．故填②③.在空間四邊形ABCD中，已知E、F分別是AB、CD的中點，且EF＝5，又AD＝6，BC＝8，則AD與BC所成角的大小是____________．解：如圖所示，取BD的中點G，連接EG，GF，依據題意有EG∥AD，GF∥BC，∴直線AD與BC所成的角與直線EG與GF的夾角相等，即∠EGF.又∵AD＝6，BC＝8，∴EG＝eq\f(1,2)AD＝3，GF＝eq\f(1,2)BC＝4，在△EGF中，EF＝5，∴EF2＝EG2＋GF2.∴∠EGF＝90°，則異面直線AD與BC所成的角為90°.故填90°.類型一基本概念與性質問題如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結論中不正確的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解：由線面垂直關系知AC⊥SB.由線面平行判定知AB∥平面SCD.由圖形對稱性知C也正確．對于選項D，AB與SC所成的角為∠SCD，DC與SA所成的角為∠SAB＝90°，∴D錯．故選D.【評析】此題雖是小題，但對空間中的線與線和線與面的關系的考查卻很深刻，除用常規(guī)的方法證明垂直與平行外，對運用線面角、異面直線所成角和二面角的定義證題的方法也要嫻熟把握，否則此題若建系求解，就會造成“小題大作”，鋪張時間．如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？解：(1)由異面直線的定義可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°，所以直線BA′與CC′的夾角為45°.(3)直線AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分別與直線AA′垂直．類型二點共線、線共點問題如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形內AB，BC，CD，DA上的點，且EH與FG交于點O.求證：B，D，O三點共線．證明：∵點E∈平面ABD，點H∈平面ABD，∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴點O∈平面ABD.同理可證點O∈平面BCD.∴點O∈平面ABD∩平面BCD＝BD.即B，D，O三點共線．【評析】(1)本題是一道經典的點共線問題，它體現了證明點共線的基本思路：首先由其中的兩個點B和D確定一條直線，然后證明點O也是直線BD上的點，也就是證明點O是兩個平面的交線上的點．在證明點O也是直線BD上的點時，運用了公理1以及公理3，這種方法是證明點共線的通用方法．(2)證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過這點，把問題轉化為證明點在直線上，如變式2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，AA1的中點．求證：(1)EF∥D1C(2)CE，D1F，DA三線共點證明：(1)連接A1B，則EF∥A1B，A1B∥D1C.∴EF∥D1(2)∵面D1A∩面CA＝DA且EF∥D1C，EF＝eq\f(1,2)D1C，∴D1F與CE又D1F?面D1A，CE?面∴D1F與CE的交點必在DA∴CE，D1F，DA類型三共面問題如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？解：(1)證明：∵GH是△AFD的中位線，∴GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)C、D、F、E四點共面．理由：BE綊eq\f(1,2)AF，又由G為FA中點知，BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四點共面．【評析】點共面的證明方法和點共線的證明方法類似，即先由部分點或者線確定一個平面，再證明其余的點或者在該平面內，或者由另外一部分點確定另一個平面，再證明這兩個平面是同一個平面．無論是點共線、線共點問題，還是共面問題，我們基本上是運用公理及其推論來進行演繹推理，其演繹推理的基本步驟是：首先由部分點或者線確定一條直線或者一個平面，再運用公理或者推論，證明剩余的點、線也在這條直線或者這個平面內．下列如圖所示的正方體和正四周體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是____________．(填全部滿足條件圖形的序號)解：易知①③中PS∥QR，∴四點共面．在②中構造如圖所示的含點P，S，R，Q的正六邊形，易知四點共面．在④中，由點P，R，Q確定平面α，由圖象觀看知點S在平面α外，因此四點不共面．綜上知，故填①②③.類型四異面直線問題如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成的角的余弦值．解：(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，且PO⊥OB.在Rt△AOB中，∵AB＝2，∴BO＝AB·sin30°＝1.在Rt△POB中，PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形面積S＝2eq\r(3)，∴四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中點F，連結EF，DF.∵E為PB中點，∴EF∥PA.∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補角)．在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，由余弦定理得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(（\r(3)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)－（\r(3)）2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).【評析】探求常規(guī)的異面直線所成角的問題，首先要理清求角的基本步驟為“一作，二證，三求”，通過平行線或補形平移法把異面直線轉化為相交直線進而求其夾角，其中空間選點任意但要機敏，如常選擇“端點，中點，等分點”，通過三角形的中位線平行于底邊，長方體對面上的平行線進行平移等．這是爭辯空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉化為平面圖形問題．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(5),4) C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)解：設BC的中點為D，連接A1D，AD，易知θ＝∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角或其補角．在△A1AB內，由A1在底面ABC上的射影為BC的中點，得Rt△A1ADRt△BAD，從而A1D＝BD＝eq\f(1,2)AB，所以A1B＝eq\f(\r(2),2)AB，在△A1AB中，設AB長為a，則A1B＝eq\f(\r(2),2)a.由余弦定理得：cos∠A1AB＝eq\f(a2＋a2－\f(1,2)a2,2a2)＝eq\f(3,4).故選D.1．公理1，2，3是進一步學習和爭辯立體幾何的基石，也是解題中進行規(guī)律推理和演繹推理的基礎，在這些公理基礎之上，我們產生了直線和平面平行、垂直以及平面和平面平行、垂直的一些判定定理和性質定理，這些判定定理和性質定理是我們將立體幾何轉化為平面幾何的橋梁，特殊是公理2的三個推論，是實現立體問題平面化的重要工具．2．推斷兩條直線為異面直線的方法有：(1)定義法；(2)反證法：要證明兩條直線是異面直線，只需證明它們既不相交，也不平行即可；(3)判定定理：與一平面相交于一點的直線與這個平面內不經過交點的直線是異面直線．3．求兩條異面直線所成角的步驟是：先作圖，再證明，后計算．作圖，往往過其中一條直線上一點作另外一條直線的平行線，或過空間一特殊點分別作兩條直線的平行線；證明，即證明作圖中所產生的某個角是異面直線所成的角；計算，一般在一個三角形中求解，這往往需要運用正弦定理或余弦定理來解決，假如計算出來的角度是鈍角，則需要轉化為相應的銳角，由于異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4．證明“線共面”或者“點共面”問題時，運用同一法，可以先由部分直線或者點確定一個平面，再證明其余的直線或者其余