【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修二導(dǎo)學(xué)案：《平行和垂直的綜合應(yīng)用》

第12課時(shí)平行和垂直的綜合應(yīng)用1.綜合應(yīng)用直線與平面的平行和垂直的判定定理、性質(zhì)定理解決空間幾何中的平行與垂直問題.2.培育同學(xué)的空間識(shí)圖力量和空間想象力量,會(huì)依據(jù)題意構(gòu)造幫助線將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,提高同學(xué)的規(guī)律推理力量和計(jì)算力量.通過前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí),我們生疏了空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,學(xué)習(xí)了空間幾何中的線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,了解了直線與平面所成的角、二面角的概念,并能進(jìn)行一些簡(jiǎn)潔的線面角和二面角的計(jì)算,這節(jié)課我們將探究空間中平行和垂直的綜合性問題,提高空間幾何的想象力量和解決綜合性問題的方法技巧.問題1:平行綜合問題的轉(zhuǎn)化方法和技巧(1)利用線面平行的判定定理可以把線面平行問題轉(zhuǎn)化為問題,利用面面平行的判定定理可以把面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題;

(2)利用線面平行的性質(zhì)定理可以利用線面平行推導(dǎo)線線平行,利用面面平行的性質(zhì)定理可以利用面面平行推導(dǎo)線面平行;

(3)線線平行是把立體幾何中的平行問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的平行問題的中轉(zhuǎn)站,在平面幾何中證明線線平行的常用方法有:定義法(即平面中沒有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線)、三角形中位線定理、三角形分線段成比例定理、特殊四邊形的性質(zhì).

問題2:垂直綜合問題的轉(zhuǎn)化方法和技巧(1)利用線面垂直的判定定理可以把線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題,利用面面垂直的判定定理可以把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題;

(2)利用線面垂直的性質(zhì)定理可以利用線面垂直推導(dǎo)線線垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理可以利用面面垂直推導(dǎo)線面垂直;

(3)線線垂直是把立體幾何中的垂直問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的垂直問題的中轉(zhuǎn)站,在平面幾何中證明線線垂直的常用方法有:勾股定理、等腰三角形三線合肯定理、特殊四邊形的性質(zhì).

問題3:平行問題與垂直問題的相互轉(zhuǎn)化(1)垂直同一平面的兩條直線平行,即a⊥α,b⊥α?a∥b;

(2)與平面的垂線平行的直線也垂直這個(gè)平面,即a⊥α,a∥b?b⊥α;

(3)垂直同始終線的兩個(gè)平面平行,即a⊥α,a⊥β?α∥β;

(4)與平面的垂線平行的平面也垂直這個(gè)平面,即a⊥α,a∥β?α⊥β;

(5)與平面的垂直平面平行的平面也垂直這個(gè)平面,即a⊥β,β∥γ?a⊥γ.

問題4:垂直問題與平行問題的常見錯(cuò)誤命題歸類(1)垂直同一平面的兩個(gè)平面平行,即α⊥β,β⊥γ?α∥γ;

(2)垂直同一平面的兩個(gè)平面垂直,即α⊥β,β⊥γ?α⊥γ;

(3)平行同始終線的兩個(gè)平面平行,即a∥α,a∥β?α∥β;

(4)平行同一平面的兩個(gè)直線平行,即a∥α,b∥α?α∥b.

1.假如一條直線l與平面α的一條垂線垂直,那么直線l與平面α的位置關(guān)系是().A.l?α B.l⊥α C.l∥α D.l?α或l∥α2.已知a,b,c是直線,α,β是平面,下列條件中,能得出直線a⊥平面α的是().A.a⊥c,a⊥b,其中b?α,c?α B.a∥b,b⊥αC.α⊥β,a∥β D.a⊥b,b∥α3.在正方體中,與正方體的一條對(duì)角線垂直的各面上的對(duì)角線的條數(shù)是.

4.已知直線l⊥平面α,垂足為A,直線AP⊥l.求證:AP在α內(nèi).棱柱中的平行問題與垂直問題已知,正方體ABCD-A1B1C1D1,E,M,F分別是AD,CD,CC1的中點(diǎn),求證:(1)EM∥平面BFD1;(2)A1E⊥平面ABF.棱錐中的平行問題與垂直問題已知四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,AB∥CD,CD=2AB,AD⊥CD,BC=PB,E為PD的中點(diǎn).求證:(1)AE∥平面PBC;(2)AE⊥平面PCD.其他幾何體中的平行問題與垂直問題如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1.(1)求證:AF∥平面BDE;(2)求證:CF⊥平面BDE.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D在BC上,AD⊥C1D.(1)求證:AD⊥面BCC1B1;(2)假如AB=AC,點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn),求證:A1E∥平面ADC1.如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,EB=BC,F為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.(1)求證:AE⊥平面BCE;(2)求證:AE∥平面BFD.如圖,四邊形ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面,E是下底面圓上除去A,B以外的一點(diǎn),AF⊥CE,垂足為F.求證:(1)AF⊥平面BCE;(2)若BC⊥DF,AB=4,求棱柱的體積.1.已知m是平面α的一條斜線,點(diǎn)A?α,l為過點(diǎn)A的一條動(dòng)直線,那么下列情形可能消滅的是().A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α2.已知如圖,六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是().A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD3.若l為一條直線,α,β,γ為三個(gè)互不重合的平面,給出下面三個(gè)命題:①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β;②α⊥γ,β∥γ?α⊥β;③l∥α,l⊥β?α⊥β.其中正確的命題有.

4.如圖,四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分別為AB、PC的中點(diǎn).(1)證明:AB⊥MN;(2)若PA=AD,連接AC,取AC的中點(diǎn)O,證明:平面MNO⊥平面PDC.(2021年·江蘇卷)如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,過A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).求證:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.考題變式(我來改編):第12課時(shí)平行和垂直的綜合應(yīng)用學(xué)問體系梳理問題1:(1)線線平行線面平行(2)線線平行線面平行(3)定義法(即平面中沒有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線)三角形中位線定理三角形分線段成比例定理特殊四邊形的性質(zhì)問題2:(1)線線垂直線面垂直(2)線線垂直線面垂直(3)勾股定理等腰三角形三線合肯定理特殊四邊形的性質(zhì)問題3:(1)a⊥α,b⊥α?a∥b(2)a⊥α,a∥b?b⊥α(3)a⊥α,a⊥β?α∥β(4)a⊥α,a∥β?α⊥β(5)a⊥β,β∥γ?a⊥γ問題4:(1)α⊥β,β⊥γ?α∥γ(2)α⊥β,β⊥γ?α⊥γ(3)a∥α,a∥β?α∥β(4)a∥α,b∥α?α∥b基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.D通過畫圖分析可得.2.BA中沒強(qiáng)調(diào)a,b是相交直線,C、D明顯錯(cuò)誤,B正確.3.6通過畫圖分析可得,每個(gè)面都有一條面對(duì)角線與該對(duì)角線垂直,所以有6條.4.解:假設(shè)AP與l確定的平面為β,假如AP不在α內(nèi),則可設(shè)α與β相交于直線AM,∵l⊥α,∴l(xiāng)⊥AM,又AP⊥l,∵在平面內(nèi),過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直,∴假設(shè)錯(cuò)誤,∴AP肯定在α內(nèi).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,取BD1中點(diǎn)為O',連接O'F、O'O,由于E,M分別是AD,CD的中點(diǎn),所以EM∥AC,又由于OO'∥DD1∥CC1,且OO'=12DD1=12CC1所以四邊形OO'FC是平行四邊形,所以O(shè)'F∥OC,所以EM∥O'F且O'F?平面BFD1,所以EM∥平面BFD1.(2)取BC中點(diǎn)為G,連接B1G,易得A1E∥B1G,在正方形BB1C1C中,由于G,F分別是BC,CC1的中點(diǎn),易證B1G⊥BF,所以A1E⊥BF,又由于AB⊥平面AA1D1D,A1E?平面AA1D1D,所以AB⊥A1E,AB∩BF=B,所以A1E⊥平面ABF.【小結(jié)】棱柱中具有很多平行和垂直關(guān)系,在分析的時(shí)候要考慮利用它們的性質(zhì)進(jìn)行規(guī)律推導(dǎo).正方體是特殊的棱柱,棱、對(duì)角線都具有很多特殊的性質(zhì),是歷屆高考的熱門模型.探究二:【解析】(1)取PC的中點(diǎn)為F,連接EF,BF,則EF12CD,AB12CD,所以EF所以四邊形AEFB是平行四邊形,所以AE∥BF且BF?平面PBC,所以AE∥平面PBC.(2)由于BC=PB,F是PC的中點(diǎn),所以BF⊥PC且AE∥BF,所以AE⊥PC,側(cè)面PAD⊥底面ABCD且AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD且AE?平面PAD,所以AE⊥CD且CD∩PC=C,所以AE⊥平面PCD.【小結(jié)】棱錐由于各個(gè)側(cè)面都是三角形,所以將三角形的性質(zhì)與平行問題和垂直問題結(jié)合也是考試熱點(diǎn)問題,圖形簡(jiǎn)潔,內(nèi)容豐富.探究三:【解析】(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.由于EF∥AG,且EF=1,AG=12AC=1所以四邊形AGEF為平行四邊形,所以AF∥EG.由于EG?平面BDE,AF?平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)連接FG.由于EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四邊形CEFG為菱形,所以CF⊥EG.由于四邊形ABCD為正方形,所以BD⊥AC,又由于平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF,所以CF⊥BD,又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.【小結(jié)】從一般幾何體的圖形入手,常接受切割法或者是補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為柱體或椎體中的平行和垂直問題.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.∵AD?平面ABC,∴CC1⊥AD.∵AD⊥C1D,C1D?平面BCC1B1,CC1∩C1D=C1,∴AD⊥面BCC1B1.(2)連接ED.∵AD⊥平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴D是BC的中點(diǎn).∵E是B1C1的中點(diǎn),B1C1∥BC,B1C1=BC,∴B1E=BD,B1E∥BD.∴四邊形BDEB1為平行四邊形,∴B1B=ED,B1B∥ED.∵B1B=A1A,B1B∥A1A,∴ED∥A1A,ED=A1A.∴四邊形ADEA1為平行四邊形,∴A1E∥AD.∵A1E?平面ADC1,AD?平面ADC1,∴A1E∥平面ADC1.應(yīng)用二:(1)∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,則AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE,則AE⊥BF,∴AE⊥平面BCE.(2)設(shè)AC∩BD=G,可知G是AC中點(diǎn).∵BF⊥平面ACE,則CE⊥BF.而BC=BE,∴F是EC中點(diǎn).連接GF,在△AEC中,FG∥AE,又∵AE?平面BFD,FG?平面BFD,∴AE∥平面BFD.應(yīng)用三:(1)由于AB是直徑,所以AE⊥BE,又AC⊥底面ABE,所以AC⊥BE且AF∩AE=A,所以BE⊥平面ACE,AF?平面ACE,所以AF⊥BE,又AF⊥CE,CE∩BE=E,所以AF⊥平面BCE.(2)由(1)知AF⊥平面BCE,BC?平面BCE,所以AF⊥BC,若BC⊥DF,則明顯有BC⊥平面ADF,于是BC⊥AD且軸截面ABCD是一個(gè)矩形,所以四邊形ABCD是正方形,即AC=AB=4,所以V圓柱=π×22×4=16π.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C對(duì)于A,由l∥m,l⊥α,則m⊥α,與已知沖突;對(duì)于B,由l⊥m,l⊥α,可知m∥α或m?α,與已知沖突;對(duì)于D,由l∥m,l∥α可知m∥α或m?α,與已知沖突.由此排解A,B,D,故選C.2.DA中,∵CD∥AF,AF?面PAF,CD?面PAF,∴CD∥平面PAF成立;B中,∵ABCDEF為正六邊形,∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF,∴DF⊥平面PAF成立;C中,CF∥AB,AB?平面PAB,CF?平面PAB,∴CF∥平面PAB;而D中CF與AD不垂直,故選D.3.②③對(duì)于①,α與β可能平行、相交或垂直,故①錯(cuò);②③正確.4.解:(1)由于N為PC的中點(diǎn),所以O(shè)N∥PA.而PA⊥平面ABCD,所以O(shè)N⊥平面ABCD,所以O(shè)N⊥AB.又四邊形ABCD為矩形,M為AB的中點(diǎn),所以O(shè)M⊥AB,所以AB⊥平面OMN,所以AB⊥MN.(2)由于PA⊥平面ABCD,AD⊥DC,所以PD⊥DC.由于PA=AD=BC,連接MC,由Rt△BCM≌Rt△APM知,MC=MP,所以MN⊥PC.由于AB⊥MN,所以MN⊥CD,又PC∩CD=C,所以MN⊥平面PCD,所以平面MNO⊥平面