【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版選修1-1學案：《圓錐曲線的綜合性問題與應用》

第10課時圓錐曲線的綜合性問題與應用1.歸納圓錐曲線與其他學問點相結合的綜合性問題,如:解三角形、函數(shù)、數(shù)列、平面對量、不等式、方程等,把握其解題技巧和方法,嫻熟運用設而不求與點差法.2.嫻熟把握軌跡問題、探究性問題、定點與定值問題、范圍與最值問題等.圓錐曲線的綜合問題包括:軌跡問題、探究性問題、定點與定值問題、范圍與最值問題等,一般試題難度較大.這類問題以直線和圓錐曲線的位置關系為載體,以參數(shù)處理為核心,需要綜合運用函數(shù)與方程、不等式、平面對量等諸多學問以及數(shù)形結合、分類爭辯等多種數(shù)學思想方法來進行求解,對考生的代數(shù)恒等變形力量、計算力量等有較高的要求.問題1:判定直線與圓錐曲線的位置關系時,通常是將直線方程與曲線方程聯(lián)立,消去變量y(或x)得關于變量x(或y)的方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).若a≠0,可考慮一元二次方程的判別式Δ,有:Δ>0?直線與圓錐曲線;

Δ=0?直線與圓錐曲線;

Δ<0?直線與圓錐曲線.

若a=0且b≠0,則直線與圓錐曲線相交,且有個交點.

問題2:圓錐曲線的弦長問題設直線l與圓錐曲線C相交于A、B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=或.

問題3:最值問題的代數(shù)解法,是從動態(tài)角度去爭辯解析幾何中的數(shù)學問題的主要內容,其解法是設變量、建立目標函數(shù)、轉化為求函數(shù)的最值.其中,自變量的由直線和圓錐曲線的位置關系(即判別式與0的關系)確定.

問題4:范圍問題,主要是依據(jù)條件,建立含有參變量的函數(shù)關系式或不等式,然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運用圓錐曲線上點的坐標的取值范圍,運用求函數(shù)的或最值以及一元二次方程實根的分布等學問.

1.與橢圓x212+y216=1焦點相同,離心率互為倒數(shù)的雙曲線方程是A.y2-x23=1 B.y23C.34x2-38y2=1 D.34y2-382.直線y=kx-k+1與橢圓x29+y24=1的位置關系是A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定3.橢圓的兩個焦點為F1、F2,短軸的一個端點為A,且△F1AF2是頂角為120°的等腰三角形,則此橢圓的離心率為.

4.已知橢圓C1,拋物線C2的焦點均在x軸上,C1的中心和C2的頂點均為原點O,從每條曲線上各取兩個點,其坐標分別是(3,-23),(-2,0),(4,-4),(2,22).求C1,C2的標準方程圓錐曲線與三角函數(shù)的交匯已知α是三角形的一個內角,且sinα+cosα=15,則方程x2tanα-y2tanα=-圓錐曲線與數(shù)列的交匯已知雙曲線an-1y2-anx2=an-1an的一個焦點為(0,cn),一條漸近線方程為y=2x,其中{an}是以4為首項的正數(shù)數(shù)列(1)求數(shù)列{cn}的通項公式;(2)求數(shù)列{ncn3}的前n項和圓錐曲線與向量的交匯設F(1,0),點M在x軸上,點P在y軸上,且MN=2MP,PM⊥PF.(1)當點P在y軸上運動時,求點N的軌跡C的方程;(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),是曲線C上的點,且|AF|,|BF|,|DF|成等差數(shù)列,當AD的垂直平分線與x軸交于點E(3,0)時,求B點坐標.已知橢圓x216+y29=1及以下3個函數(shù):①f(x)=x;②f(x)=sinx;③f(x)=cosx.其中函數(shù)圖像能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.0設F1是橢圓x24+y2=1的左焦點,O為坐標原點,點P在橢圓上,則PF1·設點P是圓x2+y2=4上任意一點,由點P向x軸作垂線PP0,垂足為P0,且MP0=(1)求點M的軌跡C的方程;(2)設直線l:y=kx+m(m≠0)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點A,B.①若直線OA,AB,OB的斜率成等比數(shù)列,求實數(shù)m的取值范圍;②若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點Q,求證:直線l過定點(Q點除外),并求出該定點的坐標.1.已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上的任意一點.若|PF1A.(1,2] B.[2,+∞) C.(1,3] D.[3,+∞)2.一個橢圓的長軸的長度,短軸的長度和焦距成等比數(shù)列,則該橢圓的離心率為().A.5-12 B.5+12 C.23.已知點A(-2,0),點B(2,0),且動點P滿足|PA|-|PB|=2,則動點P的軌跡與直線y=k(x-2)有兩個交點的充要條件為k∈.

4.k代表實數(shù),爭辯方程:kx2+2y2-8=0所表示的曲線.(2021年·浙江卷)如圖,F1,F2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在其次、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是(A.2 B.3 C.32 D.考題變式(我來改編):第10課時圓錐曲線的綜合性問題與應用學問體系梳理問題1:相交相切相離一問題2:1+k2|x1-x2|1+1k2問題3:取值范圍問題4:值域基礎學習溝通1.A設雙曲線方程為y2a2-x2b2=1(則a2+b2=c2故雙曲線方程為y2-x23=2.A由于直線y=kx-k+1=k(x-1)+1過定點(1,1),而(1,1)在橢圓內,故直線與橢圓必相交.3.32如圖,|AF2|=a,|OF2|=c,∠OAF2=60°,∴e=|OF2||AF2|=sin∠4.解:設拋物線C2:y2=2px(p≠0),則有y2x=2p(x≠據(jù)此驗證4個點知(3,-23),(4,-4)在拋物線上,易求C2:y2=4x.設C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0),把點(-2,0),(4a2=1,2a2+12b重點難點探究探究一:【解析】由sinα+cosα=15及sin2α+cos2α=1,且0<α<π,解得sinα=45,cosα=-35,tanα=-43,因此x2tanα-y2tanα=-1就是4x2【答案】焦點在x軸上的雙曲線4x23-【小結】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系及雙曲線方程的識別.解答的關鍵是求得sinα與cosα的值,以及會依據(jù)圓錐曲線方程識別曲線的類型.探究二:【解析】(1)∵雙曲線方程y2an-x2an-1∴cn=an+an-1,又∵一條漸近線方程為y=2x,即anan-1=2,∴anan-∴an=4·2n-1=2n+1,即cn=2n+1+2n=3·2n.(2)∵ncn3=n·2n,∴Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·22Sn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②由①-②得-Sn=2+22+…+2n-n·2n+1,∴Sn=-2(1-2n)1-2+n·2n+1=(n-【小結】本題主要考查雙曲線的幾何性質,等比數(shù)列的定義和通項公式及錯位相減法求和,同時考查轉化思想及處理綜合試題的力量.本題是一道圓錐曲線與數(shù)列相結合的綜合題,但難度并不大.解答本題留意兩點基本學問及方法的應用:(1)通過雙曲線的焦點坐標與漸近線方程建立等式;(2)利用錯位相減法求和.探究三:【解析】(1)設N(x,y),則由MN=2MP,得P為MN的中點,所以M(-x,0),P(0,y2)則PM=(-x,-y2),PF=(1,-y2),則由PM⊥PF,得PM·PF=0,y2=4x(x≠0(2)由(1)知F(1,0)為曲線C的焦點,由拋物線定義知,拋物線上任一點P0(x0,y0)到F的距離等于其到準線的距離,即|P0F|=x0+p2所以|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,|DF|=x3+依據(jù)|AF|,|BF|,|DF|成等差數(shù)列,得x1+x3=2x2,直線AD的斜率為y3-y1x所以AD中垂線方程為y=-y1+y3又AD的中點(x1+x32,y1+y32)在直線上,代入上式得x1+x32=1,即【小結】本題主要考查向量的坐標運算及垂直的充要條件、軌跡的直接求法、拋物線的定義及中點坐標公式,同時考查方程的思想、轉化的思想、整體思想以及規(guī)律推理力量、解題實踐力量和數(shù)學思想方法應用力量.本題解答有兩個關鍵:(1)對條件中的向量關系進行轉化;(2)拋物線焦半徑的應用;(3)確定直線AD的斜率k.思維拓展應用應用一:B要使函數(shù)y=f(x)的圖像能等分該橢圓的面積,則f(x)的圖像應當關于橢圓的中心O對稱,即f(x)為奇函數(shù),①和②均滿足條件.應用二:4+23設P(x0,y0),依題意可得F1(-3,0),則PF1·PO=x02+y02+3x0=x02+1-x024+3x0=3x024+又-2≤x0≤2,所以當x0=2時,PF1·PO取得最大值4+2應用三:(1)設點M(x,y),P(x0,y0),則由題意知P0(x0,0).由MP0=(x0-x,-y),PP0=(0且MP0=得(x0-x,-y)=32(0,-y0)∴x0-又x02+y02=4,∴x2+43∴點M的軌跡C的方程為x24+y2(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立y得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.∴Δ=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.(*)且x①依題意,k2=y1即k2=kx1+∴x1x2k2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∴km(x1+x2)+m2=0,即km(-8mk3+4k2)+m∵m≠0,∴k(-8k3+4k2)+解得k2=34將k2=34代入(*),得m2<6∴m的取值范圍是(-6,0)∪(0,6).②證明:曲線x24+y23=1與x軸正半軸的交點為Q(2依題意,AQ⊥BQ,即AQ·BQ=0.于是(2-x1,-y1)·(2-x2,-y2)=0.∴x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)·(kx2+m)=0,∴(k2+1)·4(m2-3)3+4k2+(km-2)·(-8mk3+4k2)+4+m2=0.化簡,解得,m=-2k或m=-2k7,且均滿足3+4k2-m2>當m=-2k時,直線l的方程為y=k(x-2),直線過定點(2,0)(舍去);當m=-2k7時,直線l的方程為y=k(x-27),直線過定點(27∴直線l過定點(27,0)基礎智能檢測1.C設|PF2|=y,則(y+2a)2=8ay?(y-2a)2=0?y=2a≥c-a?e=ca≤32.A不妨設橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),則長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,依據(jù)題意得(2b)2=2a·2c,即b2=ac,又b2=a2-c2,即a2-c2=ac,即c2+ac-a2=0,兩邊同除以a2得e2+e-1=0,解得e=-1±52,又03.(-∞,-1)∪(1,+∞)由已知得動點P的軌跡為一雙曲線的右支且2a=2,c=2,則b=c2-a2=1,所以P點的軌跡方程為x2-y2=1(x>0),其漸近線方程為y=±x.若P點的軌跡與直線y=k(x-2)有兩個交點,則需k∈(-∞,-1)∪(1