《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義-第七章-第3講-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．四個(gè)公理公理1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．2．空間直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角：①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．(3)定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α＝A1個(gè)平行a∥α0個(gè)在平面內(nèi)a?α很多個(gè)平面與平面平行α∥β0個(gè)相交α∩β＝l很多個(gè)[做一做]1．已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，α，β表示不同的平面，則下列推理錯(cuò)誤的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A∈α，A∈l，l?α?l∩α＝A答案：C2．若直線a∥b，b∩c＝A，則直線a與c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交答案：D1．辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)正確理解異面直線“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”．(2)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，確定不能丟掉“不共線”的條件．(3)兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．2．證明共面問題的兩種途徑(1)首先由條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，再證其他線(或點(diǎn))在此平面內(nèi)；(2)將全部條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個(gè)平面重合．3．證明共線問題的兩種途徑(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．[做一做]3．下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面②梯形可以確定一個(gè)平面③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面④假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.經(jīng)過不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，∴①不正確；兩條平行線可以確定一個(gè)平面，∴②正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)或三個(gè)平面，∴③正確；命題④中沒有說(shuō)清三個(gè)點(diǎn)是否共線，∴④不正確．4．如圖是正方體或四周體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()解析：選D.A，B，C圖中四點(diǎn)確定共面，D中四點(diǎn)不共面．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__平面的基本性質(zhì)______________________如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．[證明](1)連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1，又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．[規(guī)律方法](1)證明四點(diǎn)共面的基本思路：一是直接證明，即利用公理或推論來(lái)直接證明；二是先由其中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證第四個(gè)點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)即可．(2)要證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上，也就是利用公理3，即證點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上．或者選擇其中兩點(diǎn)確定始終線，然后證明另一點(diǎn)也在直線上．1.如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__空間兩直線的位置關(guān)系______________如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．問：(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由．[解](1)不是異面直線．理由：連接MN，A1C1，AC.由于M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1.又由于A1A綊C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)是異面直線．理由如下：由于ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面沖突．所以假設(shè)不成立，即D1B和CC1是異面直線．[規(guī)律方法]異面直線的判定方法：(1)定義法：依據(jù)定義推斷(較為困難)．(2)定理法：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線為異面直線．(此結(jié)論可作為定理使用)．(3)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件動(dòng)身，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出沖突，從而否定假設(shè)，確定兩條直線異面．2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤．答案：③④eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__異面直線所成的角(高頻考點(diǎn))__________從近幾年的高考試題來(lái)看，異面直線所成的角是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題又有填空題，也有解答題，難度為中低檔題；高考對(duì)異面直線所成的角的考查主要有以下兩個(gè)命題角度：(1)求異面直線所成角；(2)由異面直線所成角求其他量．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。甗解](1)如圖所示，連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.若本例中“正方體”改為“正四棱柱”且異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(9,10)，試求：eq\f(AA1,AB)的值．解：設(shè)AB＝1，AA1＝t，由題意知∠A1BC1為所求，又A1C1＝eq\r(2)，A1B＝eq\r(t2＋1)＝BC1，∴cos∠A1BC1＝eq\f(t2＋1＋t2＋1－2,2×\r(t2＋1)×\r(t2＋1))＝eq\f(9,10)，∴t＝3，即eq\f(AA1,AB)＝3.[規(guī)律方法]用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．3.(1)(2021·安徽省江南十校聯(lián)考)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若平面ABCD內(nèi)有且僅有1個(gè)點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1，則異面直線AA1，BC1所成的角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)(2)(2021·廣州調(diào)研)在正四棱錐V-ABCD中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)(3)如圖所示，點(diǎn)A是平面BCD外一點(diǎn)，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2)，則異面直線AD和BC所成的角為________．解析：(1)由題意可知，只有點(diǎn)A到A1距離為1，即高為1，所以該幾何體是個(gè)正方體，異面直線AA1，BC1所成的角是eq\f(π,4).(2)設(shè)AC∩BD＝O，連接VO(圖略)，由于四棱錐V-ABCD是正四棱錐，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO，又四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即異面直線VA與BD所成角的大小為eq\f(π,2)，故選D.(3)如圖，設(shè)G是AC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G.由于E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，故EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，F(xiàn)G∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1.則∠EGF即為所求，又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：(1)B(2)D(3)90°方法思想——推斷空間線面位置關(guān)系(構(gòu)造法)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條．[解析]法一：如圖，在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有一個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置時(shí)就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這三條異面直線都有交點(diǎn)，所以在空間中與這三條直線都相交的直線有很多條．法二：在A1D1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ(圖略)，則PQ與EF必定相交，即PQ為所求直線．由點(diǎn)P的任意性，知有很多條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．[答案]很多[名師點(diǎn)評(píng)]1.本題難度不大，但比較機(jī)敏．對(duì)平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查難度一般都不會(huì)太大．2．留意本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少同學(xué)不會(huì)構(gòu)造平面，因此不能解決．3．點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線，直觀感知并生疏空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，精確?????判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直．已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能解析：選D.在如圖所示的長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤．

1．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于直線l的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．有很多條，不愿定在平面α內(nèi)C．只有一條，且在平面α內(nèi)D．有很多條，確定在平面α內(nèi)解析：選C.由直線l與點(diǎn)P可確定一個(gè)平面β，則平面α，β有公共點(diǎn)，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共直線為m，由于l∥α，所以l∥m，故過點(diǎn)P且平行于直線l的直線只有一條，且在平面α內(nèi)．2．已知A、B、C、D是空間四個(gè)點(diǎn)，甲：A、B、C、D四點(diǎn)不共面，乙：直線AB和直線CD不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.由于A、B、C、D四點(diǎn)不共面，則直線AB和直線CD不相交，反之，直線AB和直線CD不相交，A、B、C、D四點(diǎn)不愿定不共面．故甲是乙成立的充分不必要條件．3.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD．點(diǎn)C和點(diǎn)M解析：選D.∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．4.如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：選A.連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點(diǎn)共面，∴A1C?平面ACC1A1.∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．∴A，M，O三點(diǎn)共線．5.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面相互垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),6) B．－eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)解析：選A.延長(zhǎng)CD至H.使DH＝1，連接HG、HF，則HF∥AD.HF＝DA＝2eq\r(2)，GF＝eq\r(6)，HG＝eq\r(10).∴cos∠HFG＝eq\f(8＋6－10,2×\r(6)×2\r(2))＝eq\f(\r(3),6).6．平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定__________個(gè)平面．解析：假如這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個(gè)平面；假如這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，所以可確定四個(gè)．答案：1或47.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH是正方形．解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，明顯四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF＝EH，即AC＝BD；要使四邊形EFGH為正方形需滿足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD8.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，則AO與A′C′所成角的度數(shù)為________．解析：∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′C′C，∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.答案：30°9