【名師一號】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：第七章-立體幾何7-7-2-

其次課時(shí)空間角的求法時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．(2021·濱州模擬)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉的值為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(4,9)eq\r(5)C.eq\f(2,9)eq\r(5) D.eq\f(2,3)解析設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知eq\o(CM,\s\up6(→))＝(2，－2,1)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(2,2，－1)，cos〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,9)，sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(4\r(5),9).答案B2．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AEA.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(30),10)C.eq\f(2\r(15),10) D.eq\f(3\r(10),10)解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖．則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(30),10).所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).答案B3．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線BC1和平面DBB1D1A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(10),10)解析如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，明顯AC⊥平面BB1D1D，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,4,0)為平面BB1D1D的一個(gè)法向量．又eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0,4,2)，∴cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,\r(16＋4)·\r(16＋16))＝eq\f(\r(10),5).即BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為eq\f(\r(10),5).答案C4．在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，AB＝AC＝1，PA＝2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2,5)解析以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(0,0，－2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1)).設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DF,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,－x＋y＋2z＝0，))取z＝1，則n＝(2,0,1)，設(shè)PA與平面DEF所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|\o(PA,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\r(5),5)，∴PA與平面DEF所成角的正弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.答案C5．如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點(diǎn)，PA＝AD＝2.若AB＝1，則二面角B—AC—M的余弦值為()A.eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),6) D.eq\f(1,6)解析∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD，又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.則A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，求得平面AMC的一個(gè)法向量為n＝(1，－2，1)，又平面ABC的一個(gè)法向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,2)，∴cos〈n，eq\o(AP,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(AP,\s\up6(→)),|n||\o(AP,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(1＋4＋1)·2)＝eq\f(1,\r(6))＝eq\f(\r(6),6).∴二面角B—AC—M的余弦值為eq\f(\r(6),6).答案A6．二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，則該二面角的大小為()A．150° B．45°C．60° D．120°解析由題意知eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))所成角即為該二面角的平面角．∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→)).∴(2eq\r(17))2＝62＋42＋82＋2|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝116＋2×6×8cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉．∴cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,2)，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.∴〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝60°，∴該二面角的大小為60°.答案C二、填空題7．如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝BC＝AA1＝2，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)．所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝2.所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2).所以EF和BC1所成角為60°.答案60°8．如圖，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，側(cè)棱AA1＝eq\r(2)，M為A1B1的中點(diǎn)，則AM與平面AA1C1C所成角的正切值為________．解析以C1為原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AA1C1C的法向量為n＝(0,1,0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－(1,0，eq\r(2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，－\r(2)))，則直線AM與平面AA1C1C所成角θ的正弦值為sinθ＝|cos〈eq\o(AM,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))·n|,|\o(AM,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(1,\r(10))，∴tanθ＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD解析以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，D(0,1,0)，∴eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－\f(1,2)))，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1＝(1，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－z＝0，,1－\f(1,2)z＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2，,z＝2.))∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(2,3×1)＝eq\f(2,3).即所成的銳二面角的余弦值為eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)三、解答題10．如圖，在直三棱柱A1B1C1—ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．解(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(2,0，－4)，eq\o(C1D,\s\up6(→))＝(1，－1，－4)．由于cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(C1D,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1B,\s\up6(→))·\o(C1D,\s\up6(→)),|\o(A1B,\s\up6(→))||\o(C1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(18,\r(20)×\r(18))＝eq\f(3\r(10),10)，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為eq\f(3\r(10),10).(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，由于eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0,2,4)，所以n1·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，n1·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量．取平面ABA1的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.由|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(2,\r(9)×\r(1))＝eq\f(2,3)，得sinθ＝eq\f(\r(5),3).因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為eq\f(\r(5),3).11．如圖，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1(1)證明：AC⊥B1D.(2)求直線B1C1與平面ACD1解(1)證明：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t，1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．從而eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(－t,3，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(t,1,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－t,3,0)，由于AC⊥BD，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝eq\r(3)或t＝－eq\r(3)(舍去)．于是eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1,0)．由于eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(B1D,\s\up6(→))＝－3＋3＋0＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(B1D,\s\up6(→))，即AC⊥B1D.(2)由(1)知，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1,0)，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝(0,1,0)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋y＝0，,3y＋3z＝0.))令x＝1，則n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(3))．設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θsinθ＝|cos〈n，eq\o(B1C1,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(B1C1,\s\up6(→)),|n||\o(B1C1,\s\up6(→))|)))＝eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為eq\f(\r(21),7).eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．(2022·浙江卷)如圖，在四棱錐A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝eq\r(2).(1)證明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B—AD—E的大?。?1)易得在平面四邊形BCDE中，BC＝eq\r(2)，在△ABC中，AB＝2，BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(2).依據(jù)勾股定理逆定理得AC⊥BC.∵平面ABC⊥平面BCDE，而平面ABC∩平面BCDE＝BC，AC⊥BC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥DE.又AC⊥DE，DE⊥DC，∴DE⊥平面ACD.(2)由(1)知分別以eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))為x軸、z軸的正方向，以過C平行于eq\o(DE,\s\up6(→))為y軸正向建立坐標(biāo)系．則B(1,1,0)，A(0,0，eq\r(2))，D(2,0,0)，E(2,1,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1，－eq\r(2))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,0，－eq\r(2))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,1,0)，設(shè)平面ABD法向量n1＝(x1，y1，z1)，由n1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝n1·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，解得一個(gè)n1＝(1,1，eq\r(2))，設(shè)平面ADE法向量n2＝(x2，y2，z2)，則n2·eq\o(DE,\s\up6(→))＝n2·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，解得一個(gè)n2＝(1,0，eq\r(2))．設(shè)平面ABD與平面ADE夾角為θ，cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(1＋0＋2,2×\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴平面ABD與平面ADE的二面角的大小為eq\f(π,6).2．(2022·安徽卷)如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.過A1，C，D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與α的交點(diǎn)為(1)證明：Q為BB1的中點(diǎn)；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大?。?1)證明：∵BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，∴平面QBC∥平面A1AD，從而平面A1CD與這兩個(gè)平面的交線相互平行，即QC∥A1D，故△QBC與△A1AD的對應(yīng)邊相互平行，于是△QBC∽△A1AD，∴eq\f(BQ,BB1)＝eq\f(BQ,AA1)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(1,2)，即Q為BB1的中點(diǎn)．(2)如圖，連接QA，QD，設(shè)AA1＝h，梯形ABCD的高為d，四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積分別為V上和V下，設(shè)BC＝a，則AD＝2aVQ—A1AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·2a·h·d＝eq\f(1,3)ahd，VQ—ABCD＝eq\f(1,3)·eq\f(a＋2a,2)·d·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)h))＝eq\f(1,4)ahd，∴V下＝VQ—A1AD＋VQ—ABCD＝eq\f(7,12)a