【全程復(fù)習(xí)方略】2020年北師版數(shù)學(xué)文(陜西用)課時(shí)作業(yè)：第五章-第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(三十三)一、選擇題1.(2021·銅川模擬)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an,若b3=-2,b2=12,則a8=()(A)0 (B)-109 (C)-78 (D)112.(2022·海淀模擬)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an>0,QUOTE-QUOTE=1(n∈N+),那么使an<5成立的n的最大值為()(A)4 (B)5 (C)24 (D)253.已知向量a=(an,2),b=(an+1,QUOTE),且a1=1,若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a∥b,則Sn=()(A)QUOTE[1-(QUOTE)n] (B)QUOTE[1-(QUOTE)n](C)QUOTE[1-(QUOTE)n-1] (D)QUOTE[1-(QUOTE)n-1]4.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若(S8-S5)(S8-S4)<0,則()(A)|a6|>|a7| (B)|a6|<|a7|(C)|a6|=|a7| (D)a6=05.(2021·石家莊模擬)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個(gè)面包分給五個(gè)人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的QUOTE是較小的兩份之和,問(wèn)最小一份為()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE6.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差為d,若QUOTE<-1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值,則使得Sn<0的n的最小值為()(A)11 (B)19 (C)20 (D)217.(2021·商洛模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2bx過(guò)(1,2)點(diǎn),若數(shù)列{QUOTE}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE8.(力氣挑戰(zhàn)題)甲、乙兩間工廠的月產(chǎn)值在2022年元月份時(shí)相同,甲以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加相同的產(chǎn)值.乙以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加產(chǎn)值的百分比相同.到2022年11月份發(fā)覺(jué)兩間工廠的月產(chǎn)值又相同.比較甲、乙兩間工廠2022年6月份的月產(chǎn)值大小,則有()(A)甲的產(chǎn)值小于乙的產(chǎn)值(B)甲的產(chǎn)值等于乙的產(chǎn)值(C)甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值(D)不能確定二、填空題9.設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列{QUOTE}的前n項(xiàng)和Sn等于.10.從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精,然后填滿水,再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此連續(xù)下去,則至少應(yīng)倒次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.11.設(shè)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,則通項(xiàng)an=.12.(力氣挑戰(zhàn)題)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,n∈N+,若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)t=.三、解答題13.(2021·西安模擬)設(shè)x1，x2是方程anx2-an+1x-(3n+1)=0(n∈N+)的兩個(gè)根，x1+x2+x1x2=2，a1=4.在{an}中，a2=32，a8=QUOTE，an+1<an.(1)求證:數(shù)列{an-3n+1}是等比數(shù)列.(2)設(shè)數(shù)列{QUOTE}的前n項(xiàng)的和為Sn，證明:QUOTE<Sn<QUOTE.14.(2022·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE+sinx的全部正的微小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為{xn}.(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè){xn}的前n項(xiàng)和為Sn,求sinSn.15.(2021·新余模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=anan+1,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求證:數(shù)列{QUOTE}為等差數(shù)列.(2)設(shè)Tn=S2n-Sn,求證:Tn+1>Tn.答案解析1.【解析】選B.數(shù)列{bn}的公差為-14,故b1=26,a8-a1=b1+b2+…+b7=7×26+QUOTE×(-14)=-112,故a8=-109.2.【解析】選C.由a1=1,an>0,QUOTE-QUOTE=1(n∈N+)可得QUOTE=n,即an=QUOTE,要使an<5,則n<25,故選C.3.【解析】選A.由向量a∥b,得QUOTEan=2an+1,即QUOTE=QUOTE,數(shù)列{an}是公比為QUOTE的等比數(shù)列,則Sn=QUOTE=QUOTE[1-(QUOTE)n].4.【解析】選A.由(S8-S5)(S8-S4)<0知S8-S5>0且S8-S4<0或S8-S5<0且S8-S4>0,當(dāng)S8-S5>0且S8-S4<0時(shí),有QUOTE∴QUOTE∴|a6|>|a7|.當(dāng)S8-S5<0且S8-S4>0時(shí),有QUOTE∴QUOTE∴|a6|>|a7|,故選A.5.【解析】選A.設(shè)五個(gè)人所分得的面包為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),則(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20.由QUOTE(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=QUOTE,所以,最小的一份為a-2d=20-=QUOTE.6.【思路點(diǎn)撥】解答本題首先要搞清條件“QUOTE<-1”及“Sn有最大值”如何使用,從而列出關(guān)于a1,d的不等式組,求出QUOTE的取值范圍,進(jìn)而求出訪得Sn<0的n的最小值,或者依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【解析】選C.方法一:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,由QUOTE得-QUOTE<QUOTE<-9.∵Sn=na1+QUOTEd=QUOTEn2+(a1-QUOTE)n,由Sn=0得n=0或n=1-QUOTE.∵19<1-QUOTE<20,∴Sn<0的解集為{n∈N+|n>1-QUOTE},故使得Sn<0的n的最小值為20.方法二:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0,由a10+a11<0知S20<0,故選C.7.【解析】選D.由函數(shù)f(x)=x2+2bx過(guò)(1,2)點(diǎn),得b=QUOTE,∴QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,S2022=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=(1-QUOTE)+(QUOTE-QUOTE)+…+(QUOTE-QUOTE)=QUOTE.8.【解析】選C.設(shè)甲各個(gè)月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列{an},乙各個(gè)月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列{bn},則數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,a11=b11,故a6=QUOTE≥QUOTE=QUOTE=QUOTE=b6,由于在等差數(shù)列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等號(hào)不能成立,故a6>b6,即6月份甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值.9.【解析】∵y'=nxn-1-(n+1)xn,∴y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,∴切線方程為y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n,∴QUOTE=2n,∴Sn=2n+1-2.答案：2n+1-210.【解析】設(shè)開(kāi)頭純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為1,操作一次后純酒精體積與總?cè)芤后w積之比a1=QUOTE,設(shè)操作n次后,純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為an,則an+1=an·QUOTE,∴an=a1qn-1=(QUOTE)n,∴(QUOTE)n<QUOTE,得n≥4.答案：4【方法技巧】建模解數(shù)列問(wèn)題對(duì)于數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用問(wèn)題,首先分析題意,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,找出相關(guān)量之間的關(guān)系,然后構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,明確是等差數(shù)列問(wèn)題、等比數(shù)列問(wèn)題,是求和還是求項(xiàng),還是其他數(shù)學(xué)問(wèn)題,最終通過(guò)建立的關(guān)系求出相關(guān)量.11.【解析】∵a1=2,an+1=an+n+1,∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,an-2=an-3+(n-3)+1,…,a3=a2+2+1,a2=a1+1+1,a1=2=1+1,將以上各式相加得:an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1=QUOTE+n+1=QUOTE+n+1=QUOTE+1.答案：QUOTE+112.【思路點(diǎn)撥】得出關(guān)于an+1,Sn的式子,降低一個(gè)角標(biāo)再得一個(gè)關(guān)于an,Sn-1的式子,兩個(gè)式子相減后得出an+1,an的關(guān)系,可得數(shù)列{an}中,a2,a3,a4,…為等比數(shù)列,只要QUOTE等于上面數(shù)列的公比即可.【解析】由題意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),所以當(dāng)n≥2時(shí),{an}是等比數(shù)列,要使n≥1時(shí),{an}是等比數(shù)列,則只需QUOTE=QUOTE=3,從而t=1.答案：113.【證明】(1)QUOTE-QUOTE=2，an+1=2an+3n+1，an+1-3n+1+1=2an+3n+1-3n+1+1=2(an-3n+1)，∵a1=4，∴an-3n+1≠0，∴QUOTE=2，∴{an-3n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.(2)an=3n+2n-1，∵當(dāng)n=1時(shí)，a1=4，∴QUOTE<S1<QUOTE.∵當(dāng)n≥2時(shí)，QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE，∴Sn<QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE-QUOTE<QUOTE.∵QUOTE=QUOTE>QUOTE=QUOTE·QUOTE，∴Sn>QUOTE(QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE)=QUOTE(1-QUOTE)>QUOTE(1-QUOTE)=QUOTE.∴綜上，QUOTE<Sn<QUOTE(n∈N+)成立.14.【思路點(diǎn)撥】(1)依據(jù)導(dǎo)數(shù),xn的左側(cè)導(dǎo)函數(shù)小于0,xn的右側(cè)導(dǎo)函數(shù)大于0,求出微小值點(diǎn).(2)由(1)求出{xn}的前n項(xiàng)和為Sn,再代入sinSn求解.【解析】(1)f(x)=QUOTE+sinx,令f'(x)=QUOTE+cosx=0,得x=2kπ±QUOTE(k∈Z),f'(x)>0?2kπ-QUOTE<x<2kπ+QUOTE(k∈Z),f'(x)<0?2kπ+QUOTE<x<2kπ+QUOTE(k∈Z),當(dāng)x=2kπ-QUOTE(k∈Z)時(shí),f(x)取微小值,xn=2nπ-QUOTE(n∈N+).(2)由(1)得:xn=2nπ-QUOTE,Sn=x1+x2+x3+…+xn=2π(1+2+3+…+n)-QUOTE=n(n+1)π-QUOTE.當(dāng)n=3k(k∈N+)時(shí),sinSn=sin(-2kπ)=0,當(dāng)n=3k-1(k∈N+)時(shí),sinSn=sinQUOTE=QUOTE,當(dāng)n=3k-2(k∈N+)時(shí),sinSn=sinQUOTE=-QUOTE.所以sinSn=QUOTE15.【解析】(1)易知an≠0,由an-an+1=anan+1,從而得QUOTE-QUOTE=1.∵a1=1,∴數(shù)列{QUOTE}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)∵QUOTE=n,則an=QUOTE,∴Sn=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.