2021高考數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)與訓(xùn)練配套練習(xí)：專題四-數(shù)列

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。專題提升練(三)(專題四)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2022·杭州模擬)已知q是等比數(shù)列{an}的公比,則“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選D.等比數(shù)列{an}中,若a1<0,若q>1,則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;若0<q<1,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以選D.2.數(shù)列{an}中,a1=1,an=QUOTE+1,則a4等于()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選A.由于a1=1,an=QUOTE+1,所以a2=QUOTE+1=2,a3=QUOTE+1=QUOTE,a4=QUOTE+1=QUOTE.3.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2(an-1),則a2=()A.4 B.2 C.1 D.-2【解析】選A.由于Sn=2(an-1),所以S1=2(a1-1)=a1,所以a1=2,又a1+a2=2(a2-1),所以a2=4.4.(2022·福州模擬)已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個零點,則b10等于()A.24 B.32 C.48 D.64【解析】選D.依題意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.兩式相除得QUOTE=2,所以a1,a3,a5,…成等比數(shù)列,a2,a4,a6,…也成等比數(shù)列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又由于an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.5.定義運(yùn)算QUOTE=ad-bc,函數(shù)f(x)=QUOTE圖象的頂點坐標(biāo)是(m,n),且k,m,n,r成等差數(shù)列,則k+r的值為()A.-5 B.14 C.-9 D.-14【解析】選C.由題設(shè)條件知,f(x)=(x-1)(x+3)+2x=x2+4x-3=(x+2)2-7,所以m=-2,n=-7,由于k,m,n,r成等差數(shù)列,所以k+r=m+n=-9.6.在等差數(shù)列{an}中,Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,若Sn=QUOTE,Sm=QUOTE,并且m≠n,則Sm+n-4的符號是()A.負(fù) B.正 C.零 D.不能確定【解析】選B.設(shè)Sn=An2+Bn,則由已知得QUOTE所以QUOTE又m≠n,所以QUOTE即Sm+n=A(m+n)2,所以Sm+n-4=A(m+n)2-4=QUOTE-4=QUOTE+2-4>2+2-4=0.7.已知數(shù)列{an},若點(n,an)(n∈N*)在經(jīng)過點A(8,4)的定直線l上,則數(shù)列{an}的前15項和S15=()A.12 B.32 C.60 D.120【解析】選C.方法一:由于點(n,an)在定直線l上,所以{an}為等差數(shù)列,由條件知(8,a8)在直線l上,l經(jīng)過(8,4),所以a8=4,所以S15=15a8=60.方法二:可設(shè)定直線為y-4=k(x-8),知an-4=k(n-8),得an=k(n-8)+4,則{an}是等差數(shù)列,S15=QUOTE=15·a8=15×4=60.8.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),數(shù)列{an}的通項公式是an=f(n)(n∈N*),那么“函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上遞增”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),則對任意n∈N*,有f(n)<f(n+1),所以an<an+1,所以{an}為遞增數(shù)列,反之{an}為遞增數(shù)列時,未必有f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增..9.數(shù)列{an}的通項公式是關(guān)于x的不等式x2-x<nx(n∈N*)的解集中的整數(shù)個數(shù),則數(shù)列{an}的前n項和Sn=()A.n2 B.n(n+1)C.QUOTE D.(n+1)(n+2)【解析】選C.由于x2-(n+1)x<0,所以0<x<n+1,x∈N*,所以x=1,2,3…,n.所以Sn=QUOTE.10.已知函數(shù)f(x)=x2+bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列QUOTE的前n項和為Sn,則S2021的值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由于函數(shù)f(x)=x2+bx的圖象的切線的斜率為f'(x)=2x+b,所以函數(shù)f(x)=x2+bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l的斜率為k=2+b.由于切線l與直線3x-y+2=0平行,所以2+b=3,即b=1.所以f(x)=x2+x,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以S2021=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.二、填空題(本大題共7小題,每小題4分,共28分.請把正確答案填在題中橫線上)11.(2022·龍巖模擬)已知a>0,b>0,若QUOTE是4a與2b的等比中項,則QUOTE+QUOTE的最小值為.【解析】由條件知:4a·2b=(QUOTE)2,所以22a+b=21,所以2a+b=1,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE(2a+b)=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9,等號在QUOTE即a=b=QUOTE時成立.答案:912.(2022·杭州模擬)在等差數(shù)列{an}中,若a2022+a2022=120,則2a2021-a2022的值為.【解析】設(shè)公差為d,由于a2022+a2022=120,所以a2022=60,所以2a2021-a2022=a2021+a2021-a2022=a2021+d=a2022=60.答案:6013.二次函數(shù)y=kx2(x>0)的圖象在點(an,QUOTE)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為an+1,n為正整數(shù),a1=QUOTE,則S5=.【解析】由于點(a1,QUOTE)即QUOTE是圖象上的點,所以k=1.由y'=2kx得切線方程為y-QUOTE=2kan(x-an),所以an+1=an-QUOTE=QUOTEan=QUOTEan,所以{an}是以a1=QUOTE為首項,以QUOTE為公比的等比數(shù)列,所以S5=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Tn(n∈N*),已知am-1·am+1-2am=0,且T2m-1=128,則m=.【解析】由于am-1am+1-2am=QUOTE-2am=0且am≠0,所以am=2,又T2m-1=QUOTE=22m-1=128=27,所以2m-1=7,所以m=4.答案:415.無窮數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……的首項是1,隨后兩項都是2,接下去三項都是3,…,以此類推,記該數(shù)列為{an},若an-1=13,an=14,則n=.【解析】把數(shù)列{an}如下分組:(1)(2,2)(3,3,3)(4,4,4,4)……,則an-1在第13組內(nèi),且是最終一個,an在第14組內(nèi)且是第1個,由于前13組共有1+2+3+…+13=QUOTE=91個數(shù),所以第14組的第1個數(shù)為數(shù)列{an}的第92項,即n=92.答案:9216.(2022·浙江五校聯(lián)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2022=3S2021+2,a2021=3S2022+2,則公比q=.【解析】由已知得a2022=3(S2022+a2021)+2=3QUOTE+2=a2021-2+3a2021+2=4a2021,所以公比q=QUOTE=4.答案:417.已知正數(shù)數(shù)列{an}滿足(a1+a2+…+an)2=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.則其通項公式為.【解析】由a1+a2+…+an=Sn知,當(dāng)n≥2時,QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=QUOTE.由于an>0,所以Sn+Sn-1=QUOTE,所以當(dāng)n≥3時,Sn-1+Sn-2=QUOTE,兩式相減得an+an-1=(an-an-1)(an+an-1).由于{an}為正數(shù)數(shù)列,所以an+an-1>0,所以an-an-1=1.又QUOTE=QUOTE=QUOTE,a1>0,所以a1=1.QUOTE=(a1+a2)2=QUOTE+QUOTE.由a2>0得a2=2,所以,當(dāng)n≥2時,有an-an-1=1,所以,數(shù)列{an}是以1為首項,公差為1的等差數(shù)列.所以an=n.答案:an=n三、解答題(本大題共5小題,共72分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)18.(14分)(2022·湖州模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a1=11,b1=1,a2+b2=11,a3+b3=11.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式.(2)求數(shù)列{|an-bn|}前12項的和S12.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則由a3+b3=a2+b2=a1可得QUOTE可求得:d=-2,q=2,從而an=-2n+13,bn=2n-1(n∈N*).(2)|an-bn|=|13-2n-2n-1|=QUOTES12=(11-1)+(9-2)+(7-4)-(5-8)-…-(-11-211)=20+(8+16+…+211)-[5+3+…+(-11)]=4135.19.(14分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=5,an+1=Sn+3n(n∈N*).(1)令bn=Sn-3n,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.(2)令cn=QUOTE,設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項和,求滿足不等式Tn>QUOTE的n的最小值.【解析】(1)b1=S1-3=2≠0,Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,QUOTE=QUOTE=QUOTE=2≠0,所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.(2)由(1)知bn=2n,則cn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,Tn=QUOTE-QUOTE,由Tn=QUOTE-QUOTE>QUOTE,n>2022,即nmin=2021.【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列{an},點P(ai,ai+1)(i=1,2,…,n)在直線y=2x+k上,數(shù)列{bn}滿足條件:b1=2,bn=an+1-an(n∈N*).(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.(2)若cn=bnlog2QUOTE,Sn=c1+c2+…+cn,求2n+1-Sn>60n+2成立的正整數(shù)n的最小值.【解析】(1)依題意:an+1=2an+k,所以bn=2an+k-an=an+k,所以bn+1=an+1+k=2an+k+k=2(an+k)=2bn,又由于b1=2,而QUOTE=2,所以數(shù)列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.即得bn=2·2n-1=2n(n∈N*),為數(shù)列{bn}的通項公式.(2)由cn=bnlog2QUOTE=2n·log2QUOTE=-n·2n.-Sn=-(c1+c2+…+cn)=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,所以-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,上兩式相減得Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=QUOTE-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2,由2n+1-Sn>60n+2,即得n·2n+1>60n,所以2n+1>60,又當(dāng)n≤4時,2n+1≤25=32<60,當(dāng)n≥5時,2n+1≥26=64>60.故使2n+1-Sn>60n+2成立的正整數(shù)n的最小值為5.20.(14分)在等差數(shù)列{an}中,已知a3=5,a1+a2+…+a7=49.(1)求an.(2)若bn=QUOTE(n∈N*),設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,試比較an+2與16Sn的大小.【解析】(1)由題意得:QUOTE解得QUOTE所以an=2n-1.(2)由于bn=QUOTE,所以bn=QUOTE=QUOTE,所以Sn=b1+b2+…+bn=QUOTEQUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE,所以an+2-16Sn=2n+3-QUOTE=QUOTE,所以當(dāng)n=1時,an+2<16Sn;當(dāng)n≥2時,an+2>16Sn.21.(15分)(2022·浦江模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=QUOTE,等比數(shù)列{bn}滿足b1b2=2b3,且b1,b2+2,b3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式.(2)設(shè)cn=QUOTE,Tn為數(shù)列{cn}的前n項和,求Tn的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=QUOTE-QUOTE=n,n=1時,a1=1,所以an=n.設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q,則QUOTE所以2(2q2+2)=2q(1+q2),所以q=2,b1=4,所以bn=2n+1.(2)cn=QUOTE,所以Tn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,2Tn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,由錯位相減法得Tn=1-QUOTE,由于Tn+1-Tn=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,T1=1-QUOTE=QUOTE,所以QUOTE≤Tn<1.【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an-2n+1.(1)證明:數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列.(2)若不等式2n2-n-3<(5-λ)an對?n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)n=1時,S1=2a1-22得a1=4,Sn=2an-2n+1,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n,即an=2an-1+2n,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=1.又QUOTE=2,所以數(shù)列QUOTE是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知QUOTE=n+1,即an=(n+1)2n,由于an>0,所以不等式2n2-n-3<(5-λ)an等價于5-λ>QUOTE,記bn=QUOTE,n≥2時,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以n≥3時,QUOTE