【2022屆走向高考】高三數(shù)學一輪(人教A版)基礎鞏固：第7章-第2節(jié)-基本不等式

第七章其次節(jié)一、選擇題1．(文)(2022·福州模擬)已知a>0，b>0，則eq\f(1＋a2b2,ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5[答案]A[解析]∵a>0，b>0，∴ab>0，∴eq\f(1＋a2b2,ab)＝eq\f(1,ab)＋ab≥2等號成立時eq\f(1,ab)＝ab，∴ab＝1，故選A．(理)(2022·湖北隨州中學模擬)函數(shù)y＝log2x＋logx(2x)的值域是()A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[答案]D[解析]由條件知x>0，且x≠1，y＝log2x＋logx2＋1，當x>1時，log2x>0，y≥2eq\r(log2x·logx2)＋1＝3，等號成立時，x＝2；當0<x<1時，log2x<0，y≤－2eq\r(log2x·logx2)＋1＝－1，等號成立時，x＝eq\f(1,2).∴函數(shù)的值域為(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2．(文)a、b為正實數(shù)，a、b的等差中項為A；eq\f(1,a)、eq\f(1,b)的等差中項為eq\f(1,H)；a、b的等比中項為G(G>0)，則()A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G[答案]B[解析]由題意知A＝eq\f(a＋b,2)，H＝eq\f(2ab,a＋b)，G＝eq\r(ab)，易知eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，∴A≥G≥H.(理)已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差數(shù)列，x、c、d、y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 D．4[答案]D[分析]利用等差、等比數(shù)列的性質可將a、b、c、d的表達式轉化為只含x、y的表達式，然后變形應用基本不等式求解．[解析]由等差、等比數(shù)列的性質得eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋2≥2eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＋2＝4.僅當x＝y(tǒng)時取等號．3．(文)(2022·天津五校聯(lián)考)已知a，b為正實數(shù)且ab＝1，若不等式(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))>m對任意正實數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[4，＋∞) B．(－∞，1]C．(－∞，4] D．(－∞，4)[答案]D[解析]由于(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2≥2eq\r(ab)＋2＝4，當且僅當a＝b，eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)時等號成立，即a＝b，x＝y(tǒng)時等號成立，故只要m<4即可，正確選項為D．(理)(2021·西安二模)在R上定義運算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x－1,a－2,a＋1,x)))≥1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,2)[答案]D[解析]原不等式等價于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)對任意實數(shù)x恒成立，∵x2－x－1＝(x－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)≥－eq\f(5,4)，∴－eq\f(5,4)≥a2－a－2，∴－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2).故選D．4．(文)若直線ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．eq\f(1,4) B．eq\r(2)C．eq\f(3,2)＋eq\r(2) D．eq\f(3,2)＋2eq\r(2)[答案]C[解析]圓的直徑是4，說明直線過圓心(－1,2)，故eq\f(1,2)a＋b＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,2)a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(3,2)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(3,2)＋eq\r(2)，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2(eq\r(2)－1)，b＝2－eq\r(2)時取等號，故選C．(理)(2022·德州一模)若直線ax＋by－1＝0(a，b∈(0，＋∞))平分圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A．4eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．2 D．5[答案]B[解析]由條件知圓心C(1,1)在直線ax＋by－1＝0上，∴a＋b＝1，∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(a＋b)＝eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)＋3≥3＋2eq\r(2)，等號成立時a＝eq\r(2)－1，b＝2－eq\r(2).5．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3[答案]C[解析]∵2＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤1，排解A、B；∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，排解D，選C．[點評]用特值檢驗法易得．令a＝1，b＝1排解A；令a＝2，b＝0，排解B，D，故選C．6．(2022·上海松江期末)已知0<a<b，且a＋b＝1，則下列不等式中，正確的是()A．log2a>0 B．2a－b<eq\f(1,2)C．log2a＋log2b<－2 D．2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)<eq\f(1,2)[答案]C[解析]由條件知0<a<1，∴l(xiāng)og2a<0，A錯誤；∵0<a<b，a＋b＝1，∴0<a<eq\f(1,2)，eq\f(1,2)<b<1，∴a－b>－1，此時2a－b>eq\f(1,2)，B錯誤；由eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)>2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2,2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)>22＝4，D錯誤；由a＋b＝1>2eq\r(ab)，即ab<eq\f(1,4)，因此log2a＋log2b＝log2(ab)<log2eq\f(1,4)＝－2.故選C．二、填空題7．(2021·四川)已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.[答案]36[解析]∵f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，當且僅當4x＝eq\f(a,x)，即4x2＝a時f(x)取得最小值．又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.8．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比，假如在距車站10公里處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站________公里處．[答案]5[解析]設倉庫與車站距離為x公里，由已知y1＝eq\f(20,x)；y2＝0.8x費用之和y＝y(tǒng)1＋y2＝0.8x＋eq\f(20,x)≥2eq\r(0.8x·\f(20,x))＝8，當且僅當0.8x＝eq\f(20,x)，即x＝5時“＝”成立．9．(文)已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．[答案]eq\f(1,2)[解析]由于A(2,0)，B(0,1)，所以0≤b≤1.由a＋2b＝2，得a＝2－2b，∴ab＝(2－2b)b＝－2(b－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)，當b＝eq\f(1,2)時，(ab)max＝eq\f(1,2).[點評]利用a＋2b＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函數(shù)求解．(理)(2022·咸陽專題訓練)在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________．[答案]4[解析]由題意，P、Q關于(0,0)對稱，設直線PQ：y＝kx(k>0)，從而P(eq\r(\f(2,k))，eq\r(2k))，Q(－eq\r(\f(2,k))，－eq\r(2k))．則PQ＝eq\r(\f(8,k)＋8k)≥4，當且僅當k＝1時，(PQ)min＝4.[點評]1.用基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)求最值時，要留意“一正、二定、三相等”，確定要明確什么時候等號成立．2．應用基本不等式求最值，要留意歸納常見的變形技巧，代入消元，配系數(shù)，“1”的代換等等3．留意到P、Q關于原點對稱，可設P(x0，eq\f(2,x0))，x0>0，則|PQ|＝2|OP|＝2eq\r(x\o\al(2,0)＋\f(4,x\o\al(2,0)))≥4，x0＝eq\r(2)時取等號，更簡捷的獲解．三、解答題10．(文)如圖，相互垂直的兩條大路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，現(xiàn)欲將其擴建成一個更大的三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點C，其中AB＝30m，AD＝20m.記三角形花園APQ的面積為S.(1)當DQ的長度是多少時，S最小？并求S的最小值；(2)要使S不小于1600m2，則DQ的長應在什么范圍內[解析](1)設DQ＝xm(x>0)，則AQ＝x＋20，∵eq\f(QD,DC)＝eq\f(AQ,AP)，∴eq\f(x,30)＝eq\f(x＋20,AP)，∴AP＝eq\f(30x＋20,x)，則S＝eq\f(1,2)×AP×AQ＝eq\f(15x＋202,x)＝15(x＋eq\f(400,x)＋40)≥1200，當且僅當x＝20時取等號．∴DQ長為20m時，S取最小值1200m2(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，∴0<x≤eq\f(20,3)或x≥60.答：(1)當DQ的長度是20m時，S最小，且S的最小值為1200m2(2)要使S不小于1600m2，則DQ的取值范圍是0<DQ≤eq\f(20,3)或DQ≥60.(理)(2022·江蘇鹽城一中檢測)某單位擬建一個扇環(huán)面外形的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O的兩條線段圍成．按設計要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為θ(弧度)．(1)求θ關于x的函數(shù)關系式；(2)已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并求出x為何值時，y取得最大值．[解析](1)由題意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝eq\f(10＋2x,10＋x).(2)花壇的面積為eq\f(1,2)θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0<x<10)，花壇面積與裝飾總費用的比為y＝eq\f(－x2＋5x＋50,170＋10x)＝－eq\f(x2－5x－50,1017＋x)令t＝17＋x，則y＝eq\f(39,10)－eq\f(1,10)(t＋eq\f(324,t))≤eq\f(3,10)，當且僅當t＝18時取等號，此時x＝1，θ＝eq\f(12,11).故當x＝1時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．一、選擇題11．(2022·浙江嘉興調研)已知正實數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，則a2＋4b2＋eq\f(1,ab)的最小值為()A．eq\f(7,2) B．4C．eq\f(161,36) D．eq\f(17,2)[答案]D[解析]由于a>0，b>0,1＝a＋2b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8)，當且僅當a＝2b＝eq\f(1,2)時取等號．又由于a2＋4b2＋eq\f(1,ab)≥2a·(2b)＋eq\f(1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋eq\f(1,t)，由于f(t)在(0，eq\f(1,8)]上單調遞減，所以f(t)min＝f(eq\f(1,8))＝eq\f(17,2)，此時a＝2b＝eq\f(1,2)，故選D．12．(文)若a>0，b>0，a、b的等差中項是eq\f(1,2)，且α＝a＋eq\f(1,a)，β＝b＋eq\f(1,b)，則α＋β的最小值為()A．2 B．3C．4 D．5[答案]D[解析]∵eq\f(1,2)為a、b的等差中項，∴a＋b＝1.α＋β＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)?1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(a＋b,ab)＝1＋eq\f(1,ab)，∵eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∴ab≤eq\f(a＋b2,4)＝eq\f(1,4).∴α＋β＝1＋eq\f(1,ab)≥1＋4＝5(當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時取等號)．∴α＋β的最小值為5.故選D．(理)(2021·溫州模擬)已知M是△ABC內的一點，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是()A．20 B．18C．16 D．19[答案]B[解析]由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos30°＝2eq\r(3)得|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sin30°＝1，由eq\f(1,2)＋x＋y＝1得x＋y＝eq\f(1,2).所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝2(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))·(x＋y)＝2(5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y))≥2×(5＋2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y)))＝18等號在x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)時成立．13．(文)(2022·廣東南雄黃坑中學月考)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)[答案]D[解析]由已知lg2x＋lg8y＝lg2得lg2x＋3y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))(x＋3y)＝4＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(3).(理)函數(shù)y＝logax＋1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)－4＝0(m>0，n>0)上，則m＋n的最小值為()A．2＋eq\r(2) B．2C．1 D．4[答案]C[解析]y＝logax＋1過定點A(1,1)，∵A在直線eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)－4＝0上，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝eq\f(1,4)(m＋n)(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))＝eq\f(1,4)(2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n))≥eq\f(1,4)(2＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n)))＝1，等號在m＝n＝eq\f(1,2)時成立，∴m＋n的最小值為1.14．(2022·沈陽、云浮、佳木斯一中模擬、長春調研)若兩個正實數(shù)x，y滿足eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C．(－2,4) D．(－4,2)[答案]D[解析]∵x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當且僅當eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y時取等號．又∵eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＝4，y＝2時，(x＋2y)min＝8.要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.二、填空題15．已知c是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距，則eq\f(b＋c,a)的取值范圍是________．[答案](1，eq\r(2)][解析]由題設條件知，a<b＋c，∴eq\f(b＋c,a)>1，∵a2＝b2＋c2，∴eq\f(b＋c2,a2)＝eq\f(b2＋c2＋2bc,a2)≤eq\f(2b2＋c2,a2)＝2，∴eq\f(b＋c,a)≤eq\r(2).16．(文)(2022·河南鄭州市高三質檢)函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在mx＋ny＋2＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．[答案]eq\f(3＋2\r(2),2)[解析]留意到當x＝－2時，y＝loga(－2＋3)－1＝－1，即定點A的坐標為(－2，－1)，于是有－2m－n＋2＝0，即m＋eq\f(n,2)＝1，eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))(m＋eq\f(n,2))＝eq\f(3,2)＋eq\f(n,2m)＋eq\f(m,n)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(n,2m)×\f(m,n))＝eq\f(3＋2\r(2),2)，當且僅當eq\f(n,2m)＝eq\f(m,n)，即n＝eq\r(2)m＝2(eq\r(2)－1)時取等號，因此eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值是eq\f(3＋2\r(2),2).(理)(2022·沈陽模擬)已知點A(m，n)在直線x＋2y－2＝0上，則2m＋4n的最小值為________[答案]4[解析]由條件知m＋2n＝2，2m＋4n＝2m＋22n≥2eq\r(2m＋2n)＝4，等號成立時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝22n，,m＋2n＝2，))∴m＝1，n＝eq\f(1,2).∴所求最小值為4.三、解答題17．(文)(2022·湖南省五市十校聯(lián)合檢測)某化工企業(yè)2021年年底投入100萬元，購入一套污水處理設備．該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費確定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．設該企業(yè)使用該設備x年的年平均污水處理費用為y(單位：萬元)．(1)用x表示y；(2)當該企業(yè)的年平均污水處理費用最低時，企業(yè)需重新更換新的污水處理設備．則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備．[解析](1)由題意得，y＝eq\f(100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x,x)，則y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5(x∈N*)．(2)由基本不等式得：y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當且僅當x＝eq\f(100,x)，即x＝10時取等號．故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設備．(理)合寧高速大路起自安徽省合肥西郊大蜀山，最終蘇皖交界的吳莊，全長133km.假設某汽車從大蜀山進入該高速大路后以不低于60km/h且不高于120km/h的速度勻速行駛到吳莊．已知該汽車每小時的運輸成本y(以元為單位)由固定部分和可變部分組成：固定部分為200元；可變部分與速度v(km/h)的平方成正比．當汽車以最快速度行駛時，每小時的運輸成本為488元．(1)把全程運輸成本f(v)(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)；(2)汽車應以多大速度行駛才能使全程運輸成本最??？最小運輸成本為多少元？[解析](1)依題意488＝200＋k×1202?k＝0.02.f(v)＝eq\f(133,v)(200＋0.02v2)＝133(eq\f(200,v)＋0.02v)(60≤v≤120)．(2)f(v)＝133(eq\f(200,v)＋0.02v)≥133×2eq\r(\f(200,v)×0.02v)＝532，當且僅當eq\f(200,v)＝0.02v，即v＝100時，“＝”成立，即汽車以100km/h的速度行駛，全程運輸成本最