【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修5雙基限時(shí)練24_第1頁(yè)
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【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修5雙基限時(shí)練24_第3頁(yè)

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雙基限時(shí)練(二十四)一、選擇題1.已知x>1,則()A.x+eq\f(1,x-1)>3 B.x+eq\f(1,x-1)≥3C.x+eq\f(1,x-1)<3 D.x+eq\f(1,x-1)≤3解析x+eq\f(1,x-1)=x-1+eq\f(1,x-1)+1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=eq\f(1,x-1),即x=2時(shí)等號(hào)成立.答案B2.下列求最值的過(guò)程中正確的是()A.若0<x<π,則y=sinx+eq\f(2,sinx)≥2eq\r(sinx·\f(2,sinx))=2eq\r(2),ymin=2eq\r(2)B.若0<x<π,則y=sinx+eq\f(2,sinx)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(sinx)-\f(\r(2),\r(sinx))))2+2eq\r(2)≥2eq\r(2),ymin=2eq\r(2)C.若x>0,則y=2+x+eq\f(4,x)≥2+2eq\r(x·\f(4,x))=6,ymin=6D.當(dāng)0<x<1時(shí),y=x(4-x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x+4-x,2)))2=4,ymax=4解析A、B、D中等號(hào)成立的條件不具備.答案C3.下列函數(shù)中,最小值為4的函數(shù)是()A.y=x+eq\f(4,x)B.y=sinx+eq\f(4,sinx)(0<x<π)C.y=ex+4e-xD.y=log3x+logx81解析∵ex+4e-x≥2eq\r(ex·4e-x)=4.當(dāng)且僅當(dāng)ex=4e-x,即ex=2時(shí)等號(hào)成立,故選C.答案C4.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,則eq\f(1,x)+eq\f(1,3y)的最小值為()A.2 B.2eq\r(2)C.4 D.2eq\r(3)解析由題可知2x·8y=2,即x+3y=1,又eq\f(1,x)+eq\f(1,3y)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(1,3y)))·(x+3y)=2+eq\f(x,3y)+eq\f(3y,x)≥2+2eq\r(\f(x,3y)·\f(3y,x))=4.答案C5.已知m>0,n>0,m、n的等差中項(xiàng)為eq\f(1,2),x=m+eq\f(1,m),y=n+eq\f(1,n),則x+y的最小值是()A.6 B.5C.4 D.3解析由題意得m+n=1≥2eq\r(mn),∴eq\f(1,mn)≥4.∴x+y=1+eq\f(1,m)+eq\f(1,n)=1+eq\f(1,mn)≥5.答案B6.已知不等式(x+y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(a,y)))≥9,對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A.8 B.6C.4 D.2解析由(x+y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(a,y)))=1+a+eq\f(y,x)+eq\f(ax,y)≥1+a+2eq\r(a)≥9,得eq\r(a)≥2,∴a≥4.答案C二、填空題7.已知a、b、c∈R+,則(a+b+c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a+b)+\f(1,c)))的最小值是____.解析(a+b+c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a+b)+\f(1,c)))=[(a+b)+c]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a+b)+\f(1,c)))≥4.答案48.已知a,b都是正實(shí)數(shù),函數(shù)y=2aex+b的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1),則eq\f(1,a)+eq\f(1,b)的最小值是________.解析由題意得2a+b=1,∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(1,b)))(2a+b)=3+eq\f(2a,b)+eq\f(b,a)≥3+2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)=eq\f(b,a)即b=eq\r(2)a時(shí)等號(hào)成立).答案3+2eq\r(2)9.函數(shù)y=eq\f(x2+2,x-1)(x>1)的最小值是________.解析y=eq\f(x2+2,x-1)=eq\f(x-12+2x-1+3,x-1)=x-1+eq\f(3,x-1)+2,∵x>1,∴y≥2+2eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)x-1=eq\f(3,x-1),即x=1+eq\r(3)時(shí)取等號(hào)).答案2+2eq\r(3)三、解答題10.求下列函數(shù)的最大值.(1)y=x(1-2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)));(2)y=xeq\r(3-x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\r(3))).解(1)∵0<x<eq\f(1,2),∴1-2x>0.∴x(1-2x)≤eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x+1-2x,2)))2=eq\f(1,8).當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x即x=eq\f(1,4)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)x=eq\f(1,4)時(shí)y=x(1-2x)取得最大值eq\f(1,8).(2)∵0<x<eq\r(3),∴xeq\r(3-x2)≤eq\f(x2+3-x2,2)=eq\f(3,2).當(dāng)且僅當(dāng)x2=3-x2,即x=eq\f(\r(6),2)時(shí)等號(hào)成立.∴當(dāng)x=eq\f(\r(6),2)時(shí),函數(shù)取得最大值eq\f(3,2).11.已知x>0,y>0,且eq\f(1,x)+eq\f(9,y)=1,求x+y的最小值.解∵eq\f(1,x)+eq\f(9,y)=1,∴x+y=(x+y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(9,y)))=10+eq\f(y,x)+eq\f(9x,y)≥10+2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))=16.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)=eq\f(9x,y)即x=4,y=12時(shí)等號(hào)成立,∴x+y的最小值為16.12.已知直角三角形的周長(zhǎng)為定值L,求它的面積的最大值.解設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b,則斜邊為eq\r(a2+b2),由題意得a+b+eq\r(a2+b2)=L.∵a、b均為正數(shù),∴a+b≥2eq\r(ab),eq\r(a2+b2)≥eq\r(2ab)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立).∴L=a+b+eq\r(a2+b2)≥2eq\r(ab)+eq\r(2ab).即eq\r(ab)≤eq\f(L,2+\r(2)),故ab≤eq\f(L2,6+4\r(2)).又S△ABC=eq\f(1,2)ab,∴eq\f(1,2)ab≤eq\f(L2,12+8\r(2))=eq\f(3-2\r(2),4)L2.∴當(dāng)a=b時(shí),S△ABC取得最大值Smax=eq\f(3-2\r(2),4)L2.思維探究13.已知正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,(1)求a+b的最小值;(2)求ab的取值范圍.解(1)∵a>0,b>0,∴a+b≥2eq\r(ab),∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))2,又ab=a+b+3,∴a+b+3≤eq\f(a+b2,

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