平面直角坐標(biāo)系與點的坐標(biāo)

PAGEPAGE5平面直角坐標(biāo)系與點的坐標(biāo)一、選擇題1.（2016·湖北咸寧）已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點A（5，0），OB=4，點P是對角線OB上的一個動點，D（0，1），當(dāng)CP+DP最短時，點P的坐標(biāo)為（）A.（0，0）B.（1，）C.（，）D.（，）【考點】菱形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，，軸對稱——最短路線問題，三角形相似，勾股定理，動點問題．【分析】點C關(guān)于OB的對稱點是點A，連接AD，交OB于點P，P即為所求的使CP+DP最短的點；連接CP，解答即可.【解答】解：如圖，連接AD，交OB于點P，P即為所求的使CP+DP最短的點；連接CP，AC，AC交OB于點E，過E作EF⊥OA，垂足為F.∵點C關(guān)于OB的對稱點是點A，∴CP=AP，∴AD即為CP+DP最短；∵四邊形OABC是菱形，OB=4，∴OE=OB=2，AC⊥OB又∵A（5，0），∴在Rt△AEO中，AE===；易知Rt△OEF∽△OAE∴=∴EF===2，∴OF===4.∴E點坐標(biāo)為E（4，2）設(shè)直線OE的解析式為：y=kx，將E（4，2）代入，得y=x，設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b，將A（5，0），D（0，1）代入，得y=－x+1，∴點P的坐標(biāo)的方程組y=x，y=－x+1，解得x=，y=∴點P的坐標(biāo)為（，）故選D.【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，，軸對稱——最短路線問題，三角形相似，勾股定理，動點問題．關(guān)于最短路線問題：在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點（注：本題C，D位于OB的同側(cè)）．如下圖：解決本題的關(guān)鍵：一是找出最短路線，二是根據(jù)一次函數(shù)與方程組的關(guān)系，將兩直線的解析式聯(lián)立方程組，求出交點坐標(biāo).2.2016·四川成都·3分）平面直角坐標(biāo)系中，點P（﹣2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)．【分析】直接利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，進而得出答案．【解答】解：點P（﹣2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）．故選：A．3.（2016湖北孝感，6，3分）將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，若OA=2，將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)75°，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為（）點A4的橫坐標(biāo)3（+1），點A6的橫坐標(biāo)（+1），點A8的橫坐標(biāo)6（+1）．故答案為6+6．【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形的變換﹣旋轉(zhuǎn)，一次函數(shù)圖形與幾何變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般，探究規(guī)律，由規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．2.（2016·廣東梅州）已知點P（3﹣m，m）在第二象限，則m的取值范圍是___________．答案：考點：平面直角坐標(biāo)，解不等式組。解析：因為點P在第二象限，所以，，解得：3.（2016江蘇淮安，11，3分）點A（3，﹣2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（3，2）．【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)解答．【解答】解：點A（3，﹣2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（3，2）．故答案為：（3，2）．【點評】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：4．（2016·山西）如圖是利用網(wǎng)格畫出的太原市地鐵1，2，3號線路部分規(guī)劃示意圖．若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示雙塔西街點的坐標(biāo)為（0，-1），表示桃園路的點的坐標(biāo)為（-1，0），則表示太原火車站的點（正好在網(wǎng)格點上）的坐標(biāo)是（3，0）．考點：坐標(biāo)的確定分析：根據(jù)雙塔西街點的坐標(biāo)為（0，-1），可知大南門為坐標(biāo)原點，從而求出太原火車站的點（正好在網(wǎng)格點上）的坐標(biāo)解答：太原火車站的點（正好在網(wǎng)格點上）的坐標(biāo)（3，0）5．（2016山東省聊城市，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推…、則正方形OB2015B2016C2016的頂點B2016的坐標(biāo)是（21008，0）．【考點】正方形的性質(zhì)；規(guī)律型：點的坐標(biāo)．【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐標(biāo)，找出這些坐標(biāo)的之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計算出點B2016的坐標(biāo)．【解答】解：∵正方形OA1B1C1邊長為1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的對角線OB1為邊，∴OB2=2，∴B2點坐標(biāo)為（0，2），同理可知OB3=2，∴B3點坐標(biāo)為（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4點坐標(biāo)為（﹣4，0），B5點坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），B6點坐標(biāo)為（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?016÷8=252∴B2016的縱橫坐標(biāo)符號與點B8的相同，橫坐標(biāo)為正值，縱坐標(biāo)是0，∴B2016的坐標(biāo)為（21008，0）．故答案為：（21008，0）．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是由點坐標(biāo)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?．（2016.山東省泰安市，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x+2交x軸于點A，交y軸于點A1，點A2，A3，…在直線l上，點B1，B2，B3，…在x軸的正半軸上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在x軸上，則第n個等腰直角三角形AnBn﹣1Bn頂點Bn的橫坐標(biāo)為2n+1﹣2． 【分析】先求出B1、B2、B3…的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，即可根據(jù)規(guī)律解決問題． 【解答】解：由題意得OA=OA1=2， ∴OB1=OA1=2， B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8， ∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…， 2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，… ∴Bn的橫坐標(biāo)為2n+1﹣2． 故答案為2n+1﹣2． 【點評】本題考查規(guī)律型：點的坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是從特殊到一般，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考常考題型．7．（2016.山東省威海市，3分）如圖，點A1的坐標(biāo)為（1，0），A2在y軸的正半軸上，且∠A1A2O=30°，過點A2作A2A3⊥A1A2，垂足為A2，交x軸于點A3；過點A3作A3A4⊥A2A3，垂足為A3，交y軸于點A4；過點A4作A4A5⊥A3A4，垂足為A4，交x軸于點A5；過點A5作A5A6⊥A4A5，垂足為A5，交y軸于點A6；…按此規(guī)律進行下去，則點A【考點】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐標(biāo)，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，（）1]，A3[﹣（）2，0]．A4[0，﹣（）3]，A5[（）4，0]…，∴序號除以4整除的話在y軸的負(fù)半軸上，余數(shù)是1在x軸的正半軸上，余數(shù)是2在y軸的正半軸上，余數(shù)是3在x軸的負(fù)半軸上，∵2016÷4=504，∴A2016在y軸的負(fù)半軸上，縱坐標(biāo)為﹣（）2015．故答案為﹣（）2015．8．（2016·江蘇省揚州）以方程組的解為坐標(biāo)的點（x，y）在第二象限．【考點】二元一次方程組的解；點的坐標(biāo)．【分析】先求出x、y的值，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點即可得出結(jié)論．【解答】解：，∵①﹣②得，3x+1=0，解得x=﹣，把x的值代入②得，y=﹣+1=，∴點（x，y）的坐標(biāo)為：（﹣，），∴此點在第二象限．故答案為：二．9．（2016?呼和浩特）已知平行四邊形ABCD的頂點A在第三象限，對角線AC的中點在坐標(biāo)原點，一邊AB與x軸平行且AB=2，若點A的坐標(biāo)為（a，b），則點D的坐標(biāo)為（﹣2﹣a，﹣b）（2﹣a，﹣b）．【考點】平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=2，根據(jù)已知條件得到B（2+a，b），或（a﹣2，b），∵由于點D與點B關(guān)于原點對稱，即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=2，∵A的坐標(biāo)為（a，b），AB與x軸平行，∴B（2+a，b），∵點D與點B關(guān)于原點對稱，∴D（﹣2﹣a，﹣b）如圖2，∵B（a﹣2，b），∵點D與點B關(guān)于原點對稱，∴D（2﹣a，﹣b），綜上所述：D（﹣2﹣a，﹣b），（2﹣a，﹣b）．三、解答題1.（2016·湖北咸寧）（本題滿分12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，1），取一點B（b，0），連接AB，作線段AB的垂直平分線l1，過點B作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點為P.（1）當(dāng)b=3時，在圖1中補全圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）小慧多次取不同數(shù)值b，得出相應(yīng)的點P，并把這些點用平滑的曲線連接起來，發(fā)現(xiàn)：這些點P竟然在一條曲線L上?、僭O(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），試求y與x之間的關(guān)系式，并指出曲線L是哪種曲線；②設(shè)點P到x軸，y軸的距離分別為d1，d2，求d1+d2的范圍.當(dāng)d1+d2=8時，求點P的坐標(biāo)；③將曲線L在直線y=2下方的部分沿直線y=2向上翻折，得到一條“W”形狀的新曲線，若直線y=kx+3與這條“W”形狀的新曲線有4個交點，直接寫出k的取值范圍.圖1圖2【考點】二次函數(shù)，一次函數(shù)，尺規(guī)作圖，平面直角坐標(biāo)系，勾股定理，一元二次方程，軸對稱——翻折，最值問題.【分析】（1）根據(jù)垂直平分線、垂線的尺規(guī)作圖方法畫圖即可，要標(biāo)出字母；（2）①分x＞0和x≤0兩種情況討論：當(dāng)x＞0時，如圖2，連接AP，過點P作PE⊥y軸于點E，可得出PA=PB=y；再在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1，由勾股定理，可求出y與x之間的關(guān)系式；當(dāng)x≤0時，點P（x，y）同樣滿足y=x2+，曲線L就是二次函數(shù)y=x2+的圖像，也就是說曲線L是一條拋物線.②首先用代數(shù)式表示出d1，d2：d1=x2+，d2=｜x｜，得出d1+d2=x2++｜x｜，可知當(dāng)x=0時，d1+d2有最小值，因此d1+d2的范圍是d1+d2≥；當(dāng)d1+d2=8時，則x2++｜x｜=8.將x從絕對值中開出來，故需分x≥0和x＜0兩種情況討論：當(dāng)x≥0時，將原方程化為x2++x=8，解出x1，x2即可；當(dāng)x＜0時，將原方程化為x2+－x=8，解出x1，x2即可；最后將x=±3代入y=x2+，求得P的縱坐標(biāo)，從而得出點P的坐標(biāo).③直接寫出k的取值范圍即可.【解答】解：（1）如圖1所示（畫垂直平分線，垂線，標(biāo)出字母各1分）.……………..3分E圖1圖2（2）①當(dāng)x＞0時，如圖2，連接AP，過點P作PE⊥y軸于點E.∵l1垂直平分AB∴PA=PB=y.在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1.由勾股定理，得(y-1)2+x2=y2.………5分整理得，y=x2+.當(dāng)x≤0時，點P（x，y）同樣滿足y=x2+.……….6分∴曲線L就是二次函數(shù)y=x2+的圖像.即曲線L是一條拋物線.…………7分②由題意可知，d1=x2+，d2=｜x｜.∴d1+d2=x2++｜x｜.當(dāng)x=0時，d1+d2有最小值.∴d1+d2的范圍是d1+d2≥.………………8分當(dāng)d1+d2=8時，則x2++｜x｜=8.（Ⅰ）當(dāng)x≥0時，原方程化為x2++x=8.解得x1=3，x2=-5（舍去）.（Ⅱ）當(dāng)x＜0時，原方程化為x2+－x=8.解得x1=-3，x2=5（舍去）.將x=±3代入y=x2+，得y=5.…….9分∴點P的坐標(biāo)為（3，5）或（-3，