《線段樹及其應(yīng)用》課件

線段樹及其應(yīng)用什么是線段樹？數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)線段樹是一種二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用于高效地處理區(qū)間上的查詢和更新操作。區(qū)間劃分它將一個區(qū)間劃分為多個子區(qū)間，每個節(jié)點存儲一個子區(qū)間的相關(guān)信息。線段樹的定義線段樹是一種二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用于高效地解決區(qū)間問題，例如區(qū)間查詢和區(qū)間修改。它將一個線段（例如，數(shù)組的某個區(qū)間）劃分為若干個子線段，并存儲每個子線段的信息。線段樹的基本性質(zhì)1完全二叉樹線段樹是一個完全二叉樹，每個節(jié)點都代表一個區(qū)間。2父子關(guān)系父節(jié)點的區(qū)間包含兩個子節(jié)點的區(qū)間。3節(jié)點信息每個節(jié)點存儲區(qū)間的相關(guān)信息，例如最大值、最小值、總和等。線段樹的構(gòu)建1劃分區(qū)間將整個數(shù)據(jù)區(qū)間分成若干個小區(qū)間，每個小區(qū)間對應(yīng)線段樹中的一個節(jié)點。2遞歸構(gòu)建對于每個節(jié)點，將其對應(yīng)區(qū)間遞歸地劃分為左右兩個子區(qū)間，分別構(gòu)建左右子樹。3維護信息每個節(jié)點維護其對應(yīng)區(qū)間的信息，例如區(qū)間和、最大值等。線段樹的構(gòu)建算法1遞歸構(gòu)建自頂向下遞歸構(gòu)建2區(qū)間劃分將區(qū)間分成左右子區(qū)間3信息合并合并子區(qū)間信息線段樹的構(gòu)建實現(xiàn)C++代碼Python代碼#include<iostream>usingnamespacestd;

constintMAXN=1e5+5;inta[MAXN],tree[MAXN<<2];

voidbuild(intnode,intstart,intend){if(start==end){tree[node]=a[start];return;}intmid=(start+end)>>1;build(node<<1,start,mid);build(node<<1|1,mid+1,end);tree[node]=tree[node<<1]+tree[node<<1|1];}

intmain(){intn;cin>>n;for(inti=1;i<=n;++i){cin>>a[i];}build(1,1,n);return0;}

defbuild(node,start,end):ifstart==end:tree[node]=a[start]returnmid=(start+end)//2build(node*2,start,mid)build(node*2+1,mid+1,end)tree[node]=tree[node*2]+tree[node*2+1]

n=int(input())a=list(map(int,input().split()))tree=[0]*(4*n)build(1,1,n)

線段樹的查詢1單點查詢查找單個元素的值2區(qū)間查詢查找某個區(qū)間內(nèi)的元素信息3查詢操作根據(jù)查詢條件，在樹上找到對應(yīng)的節(jié)點線段樹的查詢算法確定目標區(qū)間首先，確定需要查詢的區(qū)間范圍，例如[l,r]。遞歸查詢從樹根節(jié)點開始，遞歸向下遍歷，判斷當前節(jié)點的區(qū)間是否完全包含目標區(qū)間。合并結(jié)果如果當前節(jié)點的區(qū)間包含目標區(qū)間，則直接返回當前節(jié)點的值；否則，遞歸查詢左右子樹，并將結(jié)果合并。線段樹的查詢實現(xiàn)1遞歸采用遞歸方式遍歷線段樹，找到包含目標區(qū)間的節(jié)點。2迭代利用線段樹的結(jié)構(gòu)，使用迭代方式逐層查找目標區(qū)間。線段樹的更新1單點更新修改單個節(jié)點的值2區(qū)間更新修改區(qū)間內(nèi)所有節(jié)點的值3延遲更新優(yōu)化區(qū)間更新效率線段樹的更新算法1單點更新更新單個節(jié)點的值2區(qū)間更新更新某個區(qū)間的節(jié)點值3延遲更新將更新操作延遲到查詢時進行線段樹的更新實現(xiàn)voidupdate(intl,intr,intval,intrt){if(tree[rt].l>=l&&tree[rt].r<=r){tree[rt].sum+=val;tree[rt].lazy+=val;return;}pushdown(rt);intmid=(tree[rt].l+tree[rt].r)>>1;if(l<=mid)update(l,r,val,rt<<1);if(r>mid)update(l,r,val,rt<<1|1);pushup(rt);}線段樹的應(yīng)用線段樹是一種強大的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。區(qū)間問題例如求區(qū)間最大/最小值、區(qū)間和、區(qū)間修改等問題。動態(tài)規(guī)劃可以用于優(yōu)化一些動態(tài)規(guī)劃問題，例如最長上升子序列、最大子矩陣和等問題。區(qū)間求和問題問題描述給定一個長度為n的數(shù)組a，以及m個詢問，每個詢問包含兩個整數(shù)l和r，求a[l]+a[l+1]+...+a[r]的值。暴力解法對于每個詢問，直接遍歷a[l]到a[r]的所有元素，并將它們的值累加起來。時間復(fù)雜度為O(n*m)。線段樹解法使用線段樹可以將每個詢問的復(fù)雜度降低到O(logn)，總的時間復(fù)雜度為O(m*logn)。區(qū)間最大/最小值問題最大值查詢找到給定區(qū)間的最大值。最小值查詢找到給定區(qū)間的最小值。區(qū)間修改問題單點修改將某個特定位置的元素的值修改為新的值。區(qū)間修改將某個區(qū)間的元素的值修改為新的值或進行特定操作。延遲更新在修改區(qū)間時，不立即更新所有元素的值，而是將修改操作延遲到需要查詢時再更新。經(jīng)典問題1：區(qū)間修改、區(qū)間查詢例如將某個區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)都加上一個值。例如查詢某個區(qū)間的最大值或最小值。經(jīng)典問題2：區(qū)間更新、區(qū)間查詢區(qū)間更新將某個區(qū)間內(nèi)的所有元素的值都更新為一個新值。區(qū)間查詢查詢某個區(qū)間內(nèi)的元素的和、最大值、最小值等信息。經(jīng)典問題3：二維線段樹矩陣區(qū)域查詢二維線段樹可以有效地處理矩形區(qū)域內(nèi)的信息查詢，例如求和或最大值。矩陣區(qū)域更新它可以用于對矩形區(qū)域內(nèi)的元素進行批量更新，例如對所有元素加一個值。動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化在某些動態(tài)規(guī)劃問題中，二維線段樹可以優(yōu)化狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，降低時間復(fù)雜度。線段樹的優(yōu)缺點1優(yōu)點高效處理區(qū)間問題，時間復(fù)雜度較低，適用于大量數(shù)據(jù)的處理。2優(yōu)點結(jié)構(gòu)清晰，易于理解和實現(xiàn)，代碼簡潔易懂。3缺點空間復(fù)雜度較高，需要額外存儲線段樹節(jié)點，可能占用較多內(nèi)存。4缺點對于某些特定問題，可能存在更優(yōu)的算法，例如使用分塊算法等。線段樹的時間復(fù)雜度O(n)構(gòu)建n個節(jié)點的線段樹，構(gòu)建需要O(n)的時間復(fù)雜度O(logn)查詢查詢區(qū)間信息的時間復(fù)雜度為O(logn)O(logn)更新更新節(jié)點信息的時間復(fù)雜度也是O(logn)線段樹的空間復(fù)雜度最壞情況O(N)平均情況O(N)線段樹的實現(xiàn)技巧空間優(yōu)化使用動態(tài)開點技術(shù)，僅為實際使用的節(jié)點分配內(nèi)存，減少空間浪費。時間優(yōu)化采用懶標記技術(shù)，將一些操作延遲到必要時執(zhí)行，提高效率。代碼簡潔合理使用遞歸和迭代，使代碼結(jié)構(gòu)清晰易懂。線段樹的應(yīng)用場景數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)線段樹可用于高效地維護和查詢數(shù)據(jù)集合，例如數(shù)組、鏈表等。圖形學(xué)線段樹可以用于處理圖形中的幾何問題，例如線段相交、點定位等。游戲開發(fā)線段樹可以用于游戲中的物理模擬、碰撞檢測等。線段樹的應(yīng)用舉例線段樹在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如：計算區(qū)間內(nèi)的最大值或最小值統(tǒng)計區(qū)間內(nèi)的元素個數(shù)求解區(qū)間內(nèi)的和或平均值動態(tài)維護區(qū)間內(nèi)的最大值或最