2021高考導數(shù)壓軸專題

導數(shù)壓軸題專題

痔％敷學

專敦一導熬身切俵

專駁二導數(shù)與晶數(shù)單碉槌

專駁三導熬馬備照收伍、景值

專致四導照馬信我走

專駁五導熬鳥曲數(shù)泰直

專駁力導熬S摳變量

專駁上導熬馬隴奉克間敢

專處'導熬號系等式證期

專觀九導熬與收假點偏移

專驗十拉格朗日中位定理

專致十一二法求導擊數(shù)（二階導惑J

專駁十二利用導教解決幾何問屢.

專觀一導照與切依

鈉短7，已知函數(shù)/(x)=x3_2f+x.求曲線y=/(x)在點(T-4)處的切線方程;

解：(1)由題意得/'(力=3/_4%+1,所以/，(_])=8

又因為/(T)=-4,所以切線方程為歹=8(x+l)-4

整理得8x_y+4=0.

雙也1.函數(shù)/(x)=2+lnx—l.求曲線N=/(x)在點(2J(2))處的切線方程；

x

解：(1)因為/(x)=1+lnx—l的定義域為x?0,48),

X

所以/'(x)=,

x~Xx~

因此271，即曲線歹=/(x)在點(2J(2))處的切線斜率為1.

r(2)-=；

又〃2)=ln2_g,

所以曲線y=/(x)在點(2J(2))處的切線方程為y-|ln2-^-|=^-(x-2),

I2J4

即x-4y+41n2-4=0；

刎題2設函數(shù)〃x)=，+3x,求曲線y=/(x)過原點的切線方程；

解：(1)設切點坐標為10，*+3毛)，/'(x)=e'+3

所以左=/'(Xo)=e"+3.

所以切線方程為一(e*°+3xo)=(e"+3)(x-x0).

又因為切線過原點，所以一(*+3/)=(*+3)(-/)

xx

所以e°=x0-e°,所以幾=1

故所求切線方程為N=(e+3)x.

應由1已知函數(shù)/(x)=2(x+l)ln(x+l).經(jīng)過點(-1,-2)作函數(shù)/?圖像的切線，

求該切線的方程.

解：設切點為(為,")，則%=2(%o+l)ln(/+l),/'(x0)=2(ln(x0+l)+l)=^1,

玉)十1

解得%=%=0,故切線方程為y=-2x,即2x+y=0.

鈉做3.已知函數(shù)/(JV)=X—1+="(a￡R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

c

(1)若曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)當。=1時，若直線/:1與曲線＞=兀。相切，求/的直線方程.

解：⑴/(工)=1一,

因為曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線平行于x軸，

所以/(1)=1—^=0,

解得〃=6

(2)當4=1時，/)=-一1+二,f(x)=l--

ee

設切點為(xo,yo),

Vy(xo)=xo-1+=kxo-1,①

八刈)=1一，=乂②

①+②得xo=Axo-l+冗即(上一1)(乂)+1)=0.

若左=1,則②式無解，

**?xo=-1,k=1—c.

???/的直線方程為歹=(1-e)x-l.

血⑥3.已知函數(shù)/(X)=%3-3X.

(1)求曲線y=/(x)在點x=2處的切線方程；

(2)若過點4(L〃z)(加工-2)可作曲線y=/(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范

圍.

解：(1)/^(X)=3X2-3,

，切線斜率A=/'(2)=9J⑵=2,

J曲線y=/(x)在x=2處的切線方程為》一2二9(%一2),

??.即9x-y-16=0；

(2)過點4(1,機)向曲線y=/(x)作切線，設切點為(/，%),

則No=xl-3xo，k=/,(X)=3XQ-3,

???切線方程N-("一3%)=(3*一3)(x-x。)，

即2x1—3x；+加+3=0,

.,?2■一3君+〃2+3=0有三個不同實數(shù)根，

記8(%)=2/-3/+m+343=6/-6'=6X(1-1),令？(x)=0,x=0或1,

則x,g'(x),g(x)的變化情況如下表

X(-8,0)0(0,1)1(1,+00)

g'(x)+0-0+

g(x)/極大極小/

當x=0,g(x)有極大值加+3;x=Lg(x)有極小值m+2.

因為過點4(1,加)(相。-2)可作曲線y=/(x)的三條切線,

則jg(j<0,即3+2<0，

解得—3<<—2,

所以加的范圍是(一3,-2).

【素養(yǎng)提升】

1.已知函數(shù)/(x)=xlnx,若直線/過點(0,-e),且與曲線歹=/(工)相切，則直線/的

斜率為()

A.-2B.2C.-eD.e

【答案】B

【解析】函數(shù)f(x)=x\nx的導數(shù)為/*(x)=lnx+l，設切點為(肛〃，則〃=mlnm,

可得切線的斜率為％=1+Inw，所以1+Inw=n+e=布""+'，解得

tnm

m=e,左=l+lne=2,故選B.

2.若/(%)+3/(-X)=/+2%+1對x￡R恒成立，則曲線y=f(x)在點(1J⑴)處的切

線方程為()

A.5x+2y-5=0B.10x+4y-5=0

C.5x+4^=0D.20x-4y-15=0

【答案】B

【解析】

v/(x)+3/(-x)=x3+2x+1...?/./(-x)+3/(x)=-x3-2x4-1....②

iiQ

聯(lián)立①②,解得:/(力=-5%3_%+則/，⑺=_h2_1

,)244V22

切線方程為：y+：=_g(x_l),即10x+4y_5=0,故選5

3.已知函數(shù)段)=如+.，-16.直線，為曲線y=/a)的切線，且經(jīng)過原點，求直線/的方程及切點

坐標.

【分析】設切點為(xojo),整理出關(guān)于丫的方程，解方程求出切點(xojo),再用點斜式寫出方程.

xo

【解析】法一：設切點為(xoW),則直線/的斜率為/(XO)=3/2+1,???直線./的方程為y=(3/2

323

+l)(x-xo)+x0+xo-16,又???直線/過點(0,0),，0=(3x0+1)(—xo)+x0+回一16,整理得,

=

x(l'=-8,/.xo-2,

工泗=(-2>+(-2)—16=-26,%=3x(-2尸+1=13.

，直線/的方程為y=13x,切點坐標為(-2,—26).

法二：設直線/的方程為)一h,切點為(xoj，o),

xo-0xQ

22

又k=f(xo)=3X0+1,:.1+/一6=3X04-1,

解之得xo=-2,???內(nèi)=(-2>+(—2)—16=—26■=3x(-2)?+1=13.

???直線/的方程為y=13x,切點坐標為（-2,—26）.

4.已知過點。0,1）且與曲線y=Y相切的直線的條數(shù)有（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】設切點為（x°,y0）,則y°=x03,由于直線11經(jīng)過點（2J）,可得切線的斜率,

再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點與處的切線斜率，建立關(guān)于與的方程，通

過解方程確定切點個數(shù).

【解析】若直線與曲線切于點（Xo，y0）（xowO）,則k="|=%1=x>xo+l,

X。—1—】

又???:/=3乂2,???小=*0=3*0；???2*02-*0-1=0,解得*0=1/0=-：,

???過點P（L1）與曲線C:y=x'相切的直線方程為3x—y—2=O或3x—4y+l=0,

故選C.

5.已知直線/即是曲線C|:/的切線，又是曲線C,的切線，則直線/在

4

x軸上的截距為

A.2B.1C./D.一/.

【答案】B

【分析】設出直線/與兩曲線的切點，分別求出兩曲線在切點處的切線方程，由斜

率與截距相等列式求得切點的橫坐標，代入切線方程,則答案可求.

【解析】設直線/與曲線G:的切點為（不■），與曲線。2：的

切點為（孫卜2%2），由尸決,得y'l,f,由產(chǎn);e2/,得凡』二；/%，

.??直線/的方程為="'（工一司）,或

x12

el=-e2x.

則J，解得X|=X2=2.

x,x,22

e-xte=-e\--e\

，直線/的方程為：y-e1=e1（x-2），取歹=0,可得x=l.

???直線/在x軸上的截距為1.故選工

6.若點P是函數(shù)y=.2sinX圖象上任意一點，直線1為點、P處的切線,則直線1

sinx+cosx

斜率的范圍是()

A.(-8,1)B.[0,1]C.[L+8)D.(0,1]

【答案】C

■?..._2sinx._2cosx(sinx4-cosx)-2sinx(cosx-sinx)

[角單析]>/y=,「?y=~~

sinx+cosx(sinx+cosx)~

2cos2x+2sin2x_2

_1<sin2x<l,/.0<1+sin2x<2,

l+2sinxcosxl+sin2x

11?

———>i..??直線i斜率的范圍是口,+8).

1+sin2x21+sin2x

故選C.

7.設曲線。:、=3￡*-2/-9/+4,在曲線C上一點〃(1,一4)處的切線記為/,則

切線/與曲線C的公共點個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】y=12^-6^-18￥^=12-6-18=-12

二./方程為：^+4=—12(x—^=-12x4-8

y=3x4-2x3-9x2+4g

432

y=-12x+843X-2X-9X+12X-4=0

即：(X-1)2(X+2)(3X-2)=0

2

士=1,々二一2,工3=§,.??曲線c與1/的公共點個數(shù)為：3個，故選Co

8.若函數(shù)f(x)=Inx+ax與函數(shù)g(x)=/的圖象存在公切線，則實數(shù)。的取值范圍

是()

A.(一8,-1]B.(-oo,0]C.(一8,1]D.(-oo,2]

【答案】C

【解析】設公切線與函數(shù)/(x),g(x)分別切于點力(再,必)/(々，力),則過A,BA

的切線分別為：y=，+a]x+lnx[-1、y=？々X-々、兩切線重合,則有：

1項；

Inx,-1=-x2=>x,-代入F4=2x2得：e"t-29=-"，構(gòu)造函數(shù)：

2X]

/?(x)=ev'-1-2x,/?*(x)=2xex2-1-2,A,(l)=0,x>l,A'(x)>2-2=O,A(x)z71.

OKxvl,"(x)<2-2=0,xv0,〃'(x)<0,，x<l,〃(x)、.欲合題意，只須

-a>h(\)=-\^>a<\,

9.已知函數(shù)/(x)=e\g(x)=a4。0),若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在點

產(chǎn)(%，%),使得y=/(x)在點尸(七，%)處的切線與y=g(x)的圖象也相切，則。的

取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,^/^]C.^l,\/2ejD.(,2e

【答案】B

【解析】f(x)=ex,g(x)=ayfx的公共切點為尸(%,/。),設切線與y=g(x)的圖象

相切與點J'(xo)=e"，g'(z)=￡

ex°=-^>0

14i

由題意可得r，解得/=1T

ev"a&=*

x0-t

所以a=2，e"=2?3'/>0，令h(J)=2山e[〉。

則》⑺二961一2加1二Mi

令"(Z)=0,解得/=(，當00時,帕)>0

當0<Z<g時,"(。>0，函數(shù)〃⑺在(0，)上單調(diào)遞增

i(1A

當產(chǎn)時”S<0，函數(shù)咐在0,不上單調(diào)遞減

當t從右側(cè)趨近于0時,〃(0)投近于0,力g)=J^

當t趨近于+8時,〃(0)趨近于0

所以4￡，故選B

10.若X=,是函數(shù)/(x)=In工-h的極值點，則函數(shù)f(x)=InR-b在點(1,/(1))處

e

的切線方程是.

【答案】(e-l)x+y+l=0

【解析】由題得CM=--k,.\f(-)=-k=0,:.k=e.

xee

所以左二/f(l)=\-k=\-e,

/(1)=一左二-e,所以切點為(1,-e),

所以切線方程為y+e=(\-e)(x-l),.\(e-1)x+^+l=0.

故答案為：(e-l)x+y+l=0

11.若函數(shù)/(x)=a\nx,(aeR)與函數(shù)g(x)=4x，在公共點處有共同的切線，則實

數(shù)a的值為.

【答案】|

【解析】函數(shù)/(工)=。欣的定義域為(O,+8)J'(x)=W，g'(x)=在，

設曲線/(x)=Hnr與曲線g(x)=4公共點為(%,%),

a1.

由于在公共點處有共同的切線,工《二可7,解得/=44-,a>0.

由/(Xo)=g(x0),可得。叫=反.

X。~4Q-

聯(lián)立，，解得4=—.

alnx0=扃

故答案為：.

2

12.已知函數(shù)/(x)=%3一以2.

(1)當。=3時,求函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,2］上的最小值;

(2)當。＞3時,求證:過點尸(1JQ))恰有2條直線與曲線y=/(x)相切.

【解析】(1)當。=3時/G)=3-3x2/(X)

=3X2_6X=3X(X_2).

當［0,2］時/(x)<0,

所以/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減.

所以/(x)在區(qū)間［0,2］上的最小值為/(2)=-4.

(2)設過點P(1/(1))的曲線y=/(x)的切線切點為(比皿)/G)=3/

-2ax/(1)=1-。，

%=/3_若，

-(1-〃)=(3/2_2叫)(%-1).

所以2/3一(〃+3)/2+2ax。+1-〃=0.

2

令g(x)=2x3-(a+3)x+2ax+l-a9

則g'(x)=6x2-2Q+3)x+2a=(x-1)(6x-2a),

令g，(x)=0得x=l或工=三,

因為。＞3,所以

a(a)

X(-00,1)1

(聞313)

戈(工)+0一0+

g(x)/極大值極小值/

.'.g(x)的極大值為g(1)=0,g(x)的極小值為g|Jvg(l)=0,

所以g(x)在，8怖］上有且只有一個零點X=L

I3)

因為g(a)=2a3-(a+3)a2+2a2+\-a—(a-1)2(a+1)>0,

所以g(x)在上有且只有一個零點.

所以gCv)在R上有且只有兩個零點.

即方程2/3一(〃+3)/2+2奴0+1-。=0有且只有兩個不相等實根,

所以過點P(1/(1))恰有2條直線與曲線y=/(x)相切.

專致二導數(shù)馬匹照單倜器

例改乙已知函數(shù)/。)=把藝警二L(1)求函數(shù)/a)在⑼笈)內(nèi)的單調(diào)遞增

區(qū)間；

解：由題意知，/"(X)J,X€(O,^-),

所以當/'(x)>。時，解得xw0,—3二-，],即/(》)在(0/)的單調(diào)遞增區(qū)間

6/16

成與1.已知函數(shù)/(x)=3(x-l)-2#nx.求/(x)單調(diào)增區(qū)間；

解：/(.x)=1-2lnx,令/'(x)>0,解得xw[0,e],所以/(x)單調(diào)增區(qū)間為10,萌.

制M2.已知函數(shù)/(x)=見±(。€R).討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

X

解：(1)由題意，函數(shù)/(x)=皿tq(acR),可得/(X)的定義域為(0,+8),

X

且r(x)=jH

X

由尸(x)>0,Fpl-a-lnx>o,解得0cxee~,由/'(x)<0,即l-a-lnx<0,

解得x>e~,

故fW的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e?),單調(diào)遞減區(qū)間為(3-。,+8).

雙電2.已知函數(shù)/(x)=alnx+，+bx+l.若2a+b=4,當〃>2時，討論/(x)的

X

單調(diào)性；

解：因為/(1)=。1!1工+1+笈+1所以函數(shù)/(工)的定義域為(0,+8).

X

由2。+6=4,得/(x)=alnx+L+(4-2〃)x+l,則/'㈤=1――，2工一1),

XX

當。=4時，/(x)<0,函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當2<〃<4時，r(x)<0=>0<x<-lk.x>^—,Ax)>0=>l<x<—,

2a-22a-2

所以〃x)在伍9,(一二，+」i上單調(diào)遞減，在仁，」二〕上單調(diào)遞增；

當…時，…)＜。=。＜"力或仆)＞。=為＜舊，

所以/G)在(0,W6,+刃)上單調(diào)遞減，在(2，￡|上單調(diào)遞增.

見回3.已知函數(shù)〃x)=，-2aeT-(2+a)x(QwR).討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

解：/，(加e,+2叱-(2+加―(2+m+2〃=?-2a同

eveA

若“40,由廿一2=0,得x=ln2；由/'(x)＜0得x＜ln2；由/'(x)＞0得x＞ln2,

所以/(x)在(-81n2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+8)上單調(diào)遞增；

若〃>0,由/'(x)=0,得x=ln2或x=lna.

當0<Q<2時，由/'(x)v0,得lna<x<ln2;由/'(x)>0,得x>ln2或xclna,

所以/(%)在(ln〃』n2)上單調(diào)遞減，在(-8,Ina),(ln2,+co)上單調(diào)遞增;

當〃=2時，/'(x)N0在R上恒成立，所以/(%)在(YO,”)上單調(diào)遞增;

當Q>2時，由/'(x)〈0,得In2cA■<Ina；由/"(x)>0,得Ino或x<ln2,

所以/(x)在(ln2/na)上單調(diào)遞減，在(-8/n2),(Ina,+＜力)上單調(diào)遞增.

況圖,已知函數(shù)/(x)=5%2+min(l-x),其中mwR.求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

解：函數(shù)/(X)定義域為且=____+_一加\-x>0,令

1-x1-x

-x2+x-m=0,判別式△=1一4加，

當AW0,即加之；時，一/+》一加《o恒成立，所以/'(x)W0,

???/(力在(-00,1)上單調(diào)遞減；

當A〉。，〃?＜；時，由X2一%+加=0,解得X[=l---；47n,41+J1-4一

2

若0＜根＜；,則不＜々＜1,x￡(-oo,xj時，/\x)＜0,/(X)單調(diào)遞減;

XW(X[,%2)時,/'(x)>0,單調(diào)遞增；%￡(孫1)時,/'(X)<O,/(X)單調(diào)

遞減；

-00

若加<0,則玉<1?々，，工4，')時，/'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；XG(Xpl)

時，r(x)>o,/(力單調(diào)遞漕；

//\

綜上所述：加40時，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為F,7；,單調(diào)遞增區(qū)間

\/

,1-V1-4w/

為-9一'；

\/

0<m<；時，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為一。ojJ；一細,l+Vl-4ffl,單調(diào)

I\N7N\/

遞增區(qū)間為1，；-4加,1+J；-4加；加之；時，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-81)

X/

【素養(yǎng)提升】

1.已知函數(shù)/(力=1+加一/工+3,々￡尺.

(1)若夕<0,求函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的不等式2WnxW/'a)+/+i恒成立，求實數(shù)a的范圍.

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函的遞減區(qū)間即可；

3V1?丫1

(2)問題等價于a-廠在(0,+oo)上恒成立，令A(x)=/〃x,

4乙AX*/人

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

【解析】(1)/(x)=3N+2ax-/=(3x-a)(x+a)

由/(x)VO且〃V0得：^<x<-a

???函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為備—a)

(2)依題意(0,+oo)時,不等式(x)+屏+1恒成立，

3x1

等價于--------在(0,+oo)上恒成立.

22x

h(x)=Inx----

22x

31(3x+l)(x-l)

貝(x)=_L---1---7=

22x22x2

當xW(0,1)時,〃(x)>0/(x)單調(diào)遞增

當(l,+oo)時,〃(x)VO#(x)單調(diào)遞減

???當x=l時,〃(x)取得最大值0(1)=-2

故a>~2.

2.已知函數(shù)f(x)=x-\-\nx-a(x-i)2(aGR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若對八￡(0,+8)J(x)20,求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)由題意知,/(幻的定義域為(0,+8),

由f(x)=x-\-\nx-a^x2-2x+\)=-ax2+(2tz+l)x-(?+1)-Inx,

eru、c1、1lax2-(2a+l)x+l(2^x-l)(x-l)

得/(x)=-2ax+(2i+1)——=------------------=------------.

XXX

①當時，令廠(x)>0,可得》>1J'(x)<0,得0<x<l,故函數(shù)/⑶的增區(qū)間為

(1,+8),減區(qū)間為(0,1);

②當0<°<1時令廣田>0,可得得0―<1或

22a2a2〃

故/(x)的增區(qū)間為卜，()，減區(qū)間為(°』)、(5，收)；

③當。=(時，/(x)=-直起“0，故函數(shù)/(A)的減區(qū)間為?！?；

2x

④當時令/'(x)>0,可得4cx<l/(x)<0,得0Vx<4,或

22a2a2a

x>l,故/(x)的增區(qū)間為住減區(qū)間為

\2aJI2。)

綜上所述：當時,/(%)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)；當Ova<g

時,/(x)在(0/),(或,+8)上為減函數(shù)，在［1,1)上為增函數(shù)；當〃=；時,/(外在

(0,+8)為減函數(shù)；當時，/&)在(0,《),(1,+8)上為減函數(shù)，在上為增

函數(shù).

(2)由(1)可知：

①當白工0時,/(工濡=/⑴=0,此時/(X)>0；

②當0<。<工日寸,/\1)=0,當XW(-4Z-+],4-00、時，有l(wèi)nx>o,ar〉a+l,可得

2\a；

/(x)<x-1-a(x-1)2=(x-l)(a+1-ax)<0，不符合題意；

③當a=g時，/⑴=0,由函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知，當》€(wěn)(1,內(nèi))時/(x)<0,不符合

題意；

④當時,/⑴=0,由函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知，當時〃x)<0,不符合

題意.

綜上可知，所求實數(shù)。的取值范圍為(-8,0].

3.已知函數(shù)/(x)=Inx+x2+3ax+1.

(1)討論函數(shù)/(口的單調(diào)性；

(2)當時，討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù).

【分析】(1)討論a的范圍，得出/(%)>0和/(x)V0的解集，得出/G)的

單調(diào)性：(2)求出/G)的極大值，判斷極大值小于0,根據(jù)/&)的單調(diào)性得出

fG)的零點個數(shù).

【解析】(1)f'(x)=-+2x+3a=+36rX+1(x>0),

XX

令〃(x)=2、2+3av+l,其對稱軸為/=-，，令2/+3公+1=0,則4=9/

當aN0時,/'(x)>0,所以fM在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

當。<0時，對稱軸為X。=——>0,

若A=9/_8W0,即-述W〃<O,〃(x”O(jiān)恒成立，所以/'(x)20,所以/(x)在

3

(0,+◎上單調(diào)遞增；

若“一半時，設心)=0的兩根西=土等三1,%=-3弋948,

當x￡(0,石)時,〃(x)>0,所以/'(x)>0,所以f(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，

當X￡(七,12)時,“(X)<0,所以/'(X)<0,所以fW在(x,,x2)上單調(diào)遞減，

當X￡(%+℃)時/(X)>0,所以f\x)>0,所以/(X)在(x2,+oo)上單調(diào)遞增，

綜上所述：當4之一述時，〃外在(0,+00)上單調(diào)遞增；

3

若〃<一半時，/(X)在(0,須)上單調(diào)遞增，在&/2)上單調(diào)遞減，在。2，”)上單

調(diào)遞增；

(2)當a<7時，由(1)知/(X)在(0/1)上單調(diào)遞增，在(與.)上單調(diào)遞減，在

(x2,-w)上單調(diào)遞增，下面研究f(x)的極大值/區(qū))=In內(nèi)+X：-3咐+1,

22

又+3oX]+1=0,所以/(芭)=In%]+2X]+3axi+l-x,=ln&-xj,

令g(x)=lnx—f,則/(幻=上51(x>0)，可得g(x)在(0,立)上單調(diào)遞增，在

(等^+^上單調(diào)遞減㈤且⑴的極大值且「?人歷堂-:乃廊以目⑴4/斤以

仆)<0,

當xw(0,X])時,/(X)單調(diào)遞增，所以/(x)</(%])<0

當X￡(Xj,x2)時，/(X)在(xpx)上單調(diào)遞減，所以/(x2)</(x)</(Xj)<0

當、￡。2，+8)時，/(X)單調(diào)遞增，

且=ln(-4tz)+16a2-12a2+l=ln(Ya)+4/+15<T),

f(x2)?/(-4a)<0,所以存在x'￡(弓-4a)，使得/(V)=0,

又當xw(x2,-hx>)時，f(x)單調(diào)遞增，所以/(x)只有一個零點￡,

綜上所述,當〃<-1時JU)在(0,+8)上只有一個零點.

4.已知函數(shù)/(x)=\x-a\-\nx(a>0).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

的大小(〃￡N+且〃,2),并證明

2*3

你的結(jié)論.

x-lnx-a,x>a

【解析】(1)函數(shù)/⑶可化為/(%)=〈

a-x-Inx,0<x<a

當0vx<Q時,/'(》)=-1--<0,從而/(X)在(0,4)上總是遞減的,

當xNa時,/''(x)=l-'=匕'，此時要考慮。與1的大小.

XX

若aN1,則/'(%)20,故f(x)在［a,+00)上遞增，

若Ocavl,則當aWx<l時J'(x)<0,當x>1時,/'(x)>0,故/(%)在［a,D上遞減，

在(1,+oc)上遞增，而/(X)在x=a處連續(xù)，所以

當。之1時,/(x)在(0,a)上遞減，在［a,+8)上遞增；

當0<a<1時,〃幻在(0,1)上遞減，在［1,+8)上遞增.

(2)由(1)可知當a=l,x>l時,工一1一lnx>0,即lnx>l—x,所以1一!所

XX

以

<W-1-----1-----F…+------=/?-1--------=(W-1)----------

(2x33x4)(2n+lj2(/?+1)

_2〃2-2-〃+1=(〃-1)(2〃+1)

2(〃+1)2(/?+1)

5.已知函數(shù)/(x)=，(l-ax-Y).

⑴求/(力的單調(diào)區(qū)間；

⑵若xNO,/(力41,求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)f\x)=ex[-x2-(a+2)x-a+1],

令/'(x)=0,得到X=-,5=

令/'⑴>0,得xaX<w,所以/(X)在(-,F—單調(diào)遞增,

令f\x)<0,得x<再或x>工2，所以/(x)在

-a-2-J/+8

(一8,,+oc)單調(diào)遞減.

2

(2)由⑴知J'(O)=l—a,

當時,/'(0)>0,因為中25-卜0,且々=一°-2+"2+8>0,

由(1)可知,/(x)在(0%)單調(diào)遞增,此時若J(x)>/(O)=1,

與XNO時ja)4i矛盾.

當時,/'(0)?0,/=±±!2^140,

22

由(1)可知,f(x)在(0,+8)單調(diào)遞減,因此對DX￡[0,+8),,此時結(jié)論成立.

綜上的取值范圍為。之1.

專強三導數(shù)身曲劇極伍、素值

鈉我.7，已知函數(shù)/(力=三手.求函數(shù)y=/(x)的極值.

解:?.?/，⑴二生1)92)又40,

ex

由/'(X)=0得l=-1或x=2,

當工￡(-00,-1)和(2,+8)時，/(x)<0,此時/(x)為減函數(shù)；

當XW(—L2)時,f\x)>0,此時/(X)為增函數(shù)，

由/("的單調(diào)性知函數(shù)的極小值為/(-1)=-。，極大值為/⑵=5"2=提.

鈉發(fā)2.已知函數(shù)/a)=V+仆2+以+2在x=_［處取得極值7.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)在區(qū)間［-2,2］上的最大值

解：(1)因為/(x)=工3+ax?+云+2,所以/(x)=3d+2ox+b,

又函數(shù)/(x)=x3+ar2+Z>x4-2>j4.x=-l處取得極值7,

\f(,(--\\))==\3+-a2-ab+b=l=0"解得［a%==-—39；，

所以/(x)=3X3-6X-9=3(X-3)(x+1),

由/'(x)>0得x>3或xc-1；由/'(』)<。得T<x<3;滿足題意;

⑵又xc［-2,2］,

由(1)得/(幻在xe(-2「l)上單調(diào)遞增，在x￡(—1,2)上單調(diào)遞減，

因此/(防2=〃-1)=7.

例班夕已知函數(shù)/(X)=；A：3_2以2+2,(XWR).

(1)討論函數(shù)/(力的單調(diào)性.

(2)若。>0,當x?0』］時，求/")的最小值.

解：(1)因為/(x)=$3一2"2+2,(XWR),所以/(X)=X2_4QX.

令/'(x)=x(x-4〃)=0,解得x=0或4〃.

①當。=0時，/(“二公之。恒成立，所以函數(shù)〃x)在R上單調(diào)遞增；

②當4>0時，令/(x)>0得了>4〃或x<0,令/(X)得0cx<4。，

即函數(shù)/(X)在(y),o),(4〃,+00)上單調(diào)遞增，在(0,44)上單調(diào)遞減；

③當。<0時，令/(x)>0得x>0或x<4a,令/(》)<0得4a<x<0,

即函數(shù)/(x)在(YO,4Q),(0,十力)上單調(diào)遞增，在(4〃,0)上單猬遞減；

(2)由(1)知。>0時，/⑶在(0,4。)上單調(diào)遞減，在(4〃,+oo)上單調(diào)遞增；

①當4。21,即時，在［05上單調(diào)遞減，

小『/叫-2。+2=手，

②當0<4。<1,即0<。<!時，/(x)在在［0,4”)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)(4d1］遞

4

增，

所以/(x)min=/(4a)=1?(4。)3—2a(4a)2+2=6~^.

應也7.已知函數(shù)［(x)=aln/+4(a￡R).

(1)當。二一1時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求/⑴在工4］上的最小值.

解：(1)"X)的定義域為(0,+oo),

1Vx-2

當。=一1時，f\x)=

x2\[x2x

當x>4時，r(x)>0,則/(?的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+oo)；

當0<工<4時，ra)<o,則〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4).

(2)八哈+如y[x+2。

2x

當。0-1時，/'(X)<o,/(x)在［1,4］上單調(diào)遞減，

此時，/(x)min=/(4)=2aIn2+2

當。之一；時，/V)>0J(x)在［1,4］上單調(diào)遞增，

此時，/(肘min=/(I)=1

當一時，若1<x<4/,則/(x)<OJ(x)單調(diào)遞減;

若4a2cx<4,則/'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增

此時，/(x)min=/(4/)=aIn(4/)+府=2aln(-2a)-2a.

2aln2+2,a<-1

綜上所述:/(x)mm=,2aln(-2a)-2a,-l<a<--

\,a>

2

應合2已知函數(shù)/'(x)=alnx+2x2一4x(awR).

(1)若x=2是/(x)的極值點，求〃x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求g(x)=/(x)-ax?在區(qū)間［l,e］上的最小值h(a).

解：(1)/(x)的定義域為(0,+＜功,

4x2-4x+q

/(x)=-+4x-4=

xx

因為x=2是/(x)的極值點，所以r(2)=生產(chǎn)=0

解得a=—8,

4/-4工-84(x-2)(x+l)

所以/'(x)=

XX

當x>2時，/V)>0：當0<x<2時，/V)<0,

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

(2)g(x)=alnx+2x2-ax-4x,則gr(x)=—+4x-a-4=,

xx

令g%x)=0,得x=J或x=L

4

①當即時，g(x)在［l,e］上為增函數(shù)，/?(a)=g(l)=-a-2；

②當Y〈e,即4<a<4e時，g(x)在1,￡(上單調(diào)遞減，在(%上單調(diào)遞增,

ai。12

所以h(d)=g=aln----a-a

48

③當(之e,即時，g(x)在［l,e］上為減函數(shù),

-a-2,a<4

1412AA

所以h{d)=g(e)=(1-e)Q+2/-4e.綜上所述,h(a)=<aIn----a-a,4<a<4e

48

(i-e)a+2e2-4e,a>4e

【素養(yǎng)提升】

1.已知函數(shù)/(x^x+ai+binx,曲線y=/(x)在點(1J(1))處的切線方程為

2x-y-2=0.

(I)求凡8的值；

(II)求函數(shù)/(4)的極大值.

【答案】(I)a=-l,6=3；(II)3嗚3-:3

【解析】(I)由/(外=工+^^+方足］，得尸(幻=2以+1+2(x>0).

x

由曲線。=/(x)在點(L/(D)處的切線方程為2x-y-2=o,

得/⑴=l+2a+6=2,/(l)=l+a=0,

解得。二-1,b=3.

3

(II)f(x)=-x2+x+3Inx,xG(0,+co),/'(x)=-2x+l+—(x>0).

x

3/3、

—lx4-1H>0,解得XW0,一;

X\2J

3(3、

—2,x+1+—<0,解得—；

Xk2J

(3>(3、

所以函數(shù)的增區(qū)間：0,-；減區(qū)間：不,內(nèi),

3f3)33

x=不時，函數(shù)取得極大值，函數(shù)的極大值為了j=31。弓-[

乙\,乙)乙r

2.已知函數(shù)/(x)=〃x-lnx+l.

(1)若x=l是函數(shù)/(x)的極值點，試求實數(shù)。的值并求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(均>0恒成立，試求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)1,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(1,內(nèi))；(2)。>斗.

e~

【解析】(1)函數(shù)的定義域為(0,+8)

又/'(%)="：,由題意,a=\,

當a=l時，令/'(x)=l>0得工>1,令/'(x)=l<0得x<l,

XX

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),

此時函數(shù)/(力取極小值故a=1符合題意；

(2)由/(x)>0恒成立得ax-lnx+l>0恒成立，又定義域為(0,+°0),

..,lar-11、日(lnx-P

所以a>-----恒成工即。>-----,

XI"/max

令g(x)=螞」則g'(x)=2產(chǎn),令g'(x)=21nx>。得x<?2所以函數(shù)g(x)在

XXX

(0,?2)上單調(diào)增，在(e?,+8)單調(diào)減，函數(shù)g(x)皿=g(/)=I,所以

ee

3.已知函數(shù)/'(X)=alnx-，+(口一2)%-亍.

(I)當曲線/(%)在x=3時的切線與直線y=-4x+l平行，求曲線/")在

(1J⑴)處的切線方程；

(II)求函數(shù)/(x)的極值，并求當/(x)有極大值且極大值為正數(shù)時，實數(shù)。的

取值范圍.

【答案】(I)8工一4y—17=0；(II)(2e,+a)).

【角簞析】(I)f'(x)=--2x+