2021高考導(dǎo)數(shù)壓軸專題

導(dǎo)數(shù)壓軸題專題

痔％敷學(xué)

專敦一導(dǎo)熬身切俵

專駁二導(dǎo)數(shù)與晶數(shù)單碉槌

專駁三導(dǎo)熬馬備照收伍、景值

專致四導(dǎo)照馬信我走

專駁五導(dǎo)熬鳥曲數(shù)泰直

專駁力導(dǎo)熬S摳變量

專駁上導(dǎo)熬馬隴奉克間敢

專處'導(dǎo)熬號(hào)系等式證期

專觀九導(dǎo)熬與收假點(diǎn)偏移

專驗(yàn)十拉格朗日中位定理

專致十一二法求導(dǎo)擊數(shù)（二階導(dǎo)惑J

專駁十二利用導(dǎo)教解決幾何問屢.

專觀一導(dǎo)照與切依

鈉短7，已知函數(shù)/(x)=x3_2f+x.求曲線y=/(x)在點(diǎn)(T-4)處的切線方程;

解：(1)由題意得/'(力=3/_4%+1,所以/，(_])=8

又因?yàn)?(T)=-4,所以切線方程為歹=8(x+l)-4

整理得8x_y+4=0.

雙也1.函數(shù)/(x)=2+lnx—l.求曲線N=/(x)在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程；

x

解：(1)因?yàn)?(x)=1+lnx—l的定義域?yàn)閤?0,48),

X

所以/'(x)=,

x~Xx~

因此271，即曲線歹=/(x)在點(diǎn)(2J(2))處的切線斜率為1.

r(2)-=；

又〃2)=ln2_g,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程為y-|ln2-^-|=^-(x-2),

I2J4

即x-4y+41n2-4=0；

刎題2設(shè)函數(shù)〃x)=，+3x,求曲線y=/(x)過原點(diǎn)的切線方程；

解：(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為10，*+3毛)，/'(x)=e'+3

所以左=/'(Xo)=e"+3.

所以切線方程為一(e*°+3xo)=(e"+3)(x-x0).

又因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以一(*+3/)=(*+3)(-/)

xx

所以e°=x0-e°,所以幾=1

故所求切線方程為N=(e+3)x.

應(yīng)由1已知函數(shù)/(x)=2(x+l)ln(x+l).經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2)作函數(shù)/?圖像的切線，

求該切線的方程.

解：設(shè)切點(diǎn)為(為,")，則%=2(%o+l)ln(/+l),/'(x0)=2(ln(x0+l)+l)=^1,

玉)十1

解得%=%=0,故切線方程為y=-2x,即2x+y=0.

鈉做3.已知函數(shù)/(JV)=X—1+="(a￡R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

c

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，若直線/:1與曲線＞=兀。相切，求/的直線方程.

解：⑴/(工)=1一,

因?yàn)榍€y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線平行于x軸，

所以/(1)=1—^=0,

解得〃=6

(2)當(dāng)4=1時(shí)，/)=-一1+二,f(x)=l--

ee

設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),

Vy(xo)=xo-1+=kxo-1,①

八刈)=1一，=乂②

①+②得xo=Axo-l+冗即(上一1)(乂)+1)=0.

若左=1,則②式無(wú)解，

**?xo=-1,k=1—c.

???/的直線方程為歹=(1-e)x-l.

血⑥3.已知函數(shù)/(X)=%3-3X.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)x=2處的切線方程；

(2)若過點(diǎn)4(L〃z)(加工-2)可作曲線y=/(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍.

解：(1)/^(X)=3X2-3,

，切線斜率A=/'(2)=9J⑵=2,

J曲線y=/(x)在x=2處的切線方程為》一2二9(%一2),

??.即9x-y-16=0；

(2)過點(diǎn)4(1,機(jī))向曲線y=/(x)作切線，設(shè)切點(diǎn)為(/，%),

則No=xl-3xo，k=/,(X)=3XQ-3,

???切線方程N(yùn)-("一3%)=(3*一3)(x-x。)，

即2x1—3x；+加+3=0,

.,?2■一3君+〃2+3=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

記8(%)=2/-3/+m+343=6/-6'=6X(1-1),令？(x)=0,x=0或1,

則x,g'(x),g(x)的變化情況如下表

X(-8,0)0(0,1)1(1,+00)

g'(x)+0-0+

g(x)/極大極小/

當(dāng)x=0,g(x)有極大值加+3;x=Lg(x)有極小值m+2.

因?yàn)檫^點(diǎn)4(1,加)(相。-2)可作曲線y=/(x)的三條切線,

則jg(j<0,即3+2<0，

解得—3<<—2,

所以加的范圍是(一3,-2).

【素養(yǎng)提升】

1.已知函數(shù)/(x)=xlnx,若直線/過點(diǎn)(0,-e),且與曲線歹=/(工)相切，則直線/的

斜率為()

A.-2B.2C.-eD.e

【答案】B

【解析】函數(shù)f(x)=x\nx的導(dǎo)數(shù)為/*(x)=lnx+l，設(shè)切點(diǎn)為(肛〃，則〃=mlnm,

可得切線的斜率為％=1+Inw，所以1+Inw=n+e=布""+'，解得

tnm

m=e,左=l+lne=2,故選B.

2.若/(%)+3/(-X)=/+2%+1對(duì)x￡R恒成立，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切

線方程為()

A.5x+2y-5=0B.10x+4y-5=0

C.5x+4^=0D.20x-4y-15=0

【答案】B

【解析】

v/(x)+3/(-x)=x3+2x+1...?/./(-x)+3/(x)=-x3-2x4-1....②

iiQ

聯(lián)立①②,解得:/(力=-5%3_%+則/，⑺=_h2_1

,)244V22

切線方程為：y+：=_g(x_l),即10x+4y_5=0,故選5

3.已知函數(shù)段)=如+.，-16.直線，為曲線y=/a)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線/的方程及切點(diǎn)

坐標(biāo).

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(xojo),整理出關(guān)于丫的方程，解方程求出切點(diǎn)(xojo),再用點(diǎn)斜式寫出方程.

xo

【解析】法一：設(shè)切點(diǎn)為(xoW),則直線/的斜率為/(XO)=3/2+1,???直線./的方程為y=(3/2

323

+l)(x-xo)+x0+xo-16,又???直線/過點(diǎn)(0,0),，0=(3x0+1)(—xo)+x0+回一16,整理得,

=

x(l'=-8,/.xo-2,

工泗=(-2>+(-2)—16=-26,%=3x(-2尸+1=13.

，直線/的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,—26).

法二：設(shè)直線/的方程為)一h,切點(diǎn)為(xoj，o),

xo-0xQ

22

又k=f(xo)=3X0+1,:.1+/一6=3X04-1,

解之得xo=-2,???內(nèi)=(-2>+(—2)—16=—26■=3x(-2)?+1=13.

???直線/的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,—26）.

4.已知過點(diǎn)。0,1）且與曲線y=Y相切的直線的條數(shù)有（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】設(shè)切點(diǎn)為（x°,y0）,則y°=x03,由于直線11經(jīng)過點(diǎn)（2J）,可得切線的斜率,

再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)與處的切線斜率，建立關(guān)于與的方程，通

過解方程確定切點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解析】若直線與曲線切于點(diǎn)（Xo，y0）（xowO）,則k="|=%1=x>xo+l,

X?！?—】

又???:/=3乂2,???小=*0=3*0；???2*02-*0-1=0,解得*0=1/0=-：,

???過點(diǎn)P（L1）與曲線C:y=x'相切的直線方程為3x—y—2=O或3x—4y+l=0,

故選C.

5.已知直線/即是曲線C|:/的切線，又是曲線C,的切線，則直線/在

4

x軸上的截距為

A.2B.1C./D.一/.

【答案】B

【分析】設(shè)出直線/與兩曲線的切點(diǎn)，分別求出兩曲線在切點(diǎn)處的切線方程，由斜

率與截距相等列式求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入切線方程,則答案可求.

【解析】設(shè)直線/與曲線G:的切點(diǎn)為（不■），與曲線。2：的

切點(diǎn)為（孫卜2%2），由尸決,得y'l,f,由產(chǎn);e2/,得凡』二；/%，

.??直線/的方程為="'（工一司）,或

x12

el=-e2x.

則J，解得X|=X2=2.

x,x,22

e-xte=-e\--e\

，直線/的方程為：y-e1=e1（x-2），取歹=0,可得x=l.

???直線/在x軸上的截距為1.故選工

6.若點(diǎn)P是函數(shù)y=.2sinX圖象上任意一點(diǎn)，直線1為點(diǎn)、P處的切線,則直線1

sinx+cosx

斜率的范圍是()

A.(-8,1)B.[0,1]C.[L+8)D.(0,1]

【答案】C

■?..._2sinx._2cosx(sinx4-cosx)-2sinx(cosx-sinx)

[角單析]>/y=,「?y=~~

sinx+cosx(sinx+cosx)~

2cos2x+2sin2x_2

_1<sin2x<l,/.0<1+sin2x<2,

l+2sinxcosxl+sin2x

11?

———>i..??直線i斜率的范圍是口,+8).

1+sin2x21+sin2x

故選C.

7.設(shè)曲線。:、=3￡*-2/-9/+4,在曲線C上一點(diǎn)〃(1,一4)處的切線記為/,則

切線/與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】y=12^-6^-18￥^=12-6-18=-12

二./方程為：^+4=—12(x—^=-12x4-8

y=3x4-2x3-9x2+4g

432

y=-12x+843X-2X-9X+12X-4=0

即：(X-1)2(X+2)(3X-2)=0

2

士=1,々二一2,工3=§,.??曲線c與1/的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為：3個(gè)，故選Co

8.若函數(shù)f(x)=Inx+ax與函數(shù)g(x)=/的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.(一8,-1]B.(-oo,0]C.(一8,1]D.(-oo,2]

【答案】C

【解析】設(shè)公切線與函數(shù)/(x),g(x)分別切于點(diǎn)力(再,必)/(々，力),則過A,BA

的切線分別為：y=，+a]x+lnx[-1、y=？々X-々、兩切線重合,則有：

1項(xiàng)；

Inx,-1=-x2=>x,-代入F4=2x2得：e"t-29=-"，構(gòu)造函數(shù)：

2X]

/?(x)=ev'-1-2x,/?*(x)=2xex2-1-2,A,(l)=0,x>l,A'(x)>2-2=O,A(x)z71.

OKxvl,"(x)<2-2=0,xv0,〃'(x)<0,，x<l,〃(x)、.欲合題意，只須

-a>h(\)=-\^>a<\,

9.已知函數(shù)/(x)=e\g(x)=a4。0),若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在點(diǎn)

產(chǎn)(%，%),使得y=/(x)在點(diǎn)尸(七，%)處的切線與y=g(x)的圖象也相切，則。的

取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,^/^]C.^l,\/2ejD.(,2e

【答案】B

【解析】f(x)=ex,g(x)=ayfx的公共切點(diǎn)為尸(%,/。),設(shè)切線與y=g(x)的圖象

相切與點(diǎn)J'(xo)=e"，g'(z)=￡

ex°=-^>0

14i

由題意可得r，解得/=1T

ev"a&=*

x0-t

所以a=2，e"=2?3'/>0，令h(J)=2山e[〉。

則》⑺二961一2加1二Mi

令"(Z)=0,解得/=(，當(dāng)00時(shí),帕)>0

當(dāng)0<Z<g時(shí),"(。>0，函數(shù)〃⑺在(0，)上單調(diào)遞增

i(1A

當(dāng)產(chǎn)時(shí)”S<0，函數(shù)咐在0,不上單調(diào)遞減

當(dāng)t從右側(cè)趨近于0時(shí),〃(0)投近于0,力g)=J^

當(dāng)t趨近于+8時(shí),〃(0)趨近于0

所以4￡，故選B

10.若X=,是函數(shù)/(x)=In工-h的極值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)=InR-b在點(diǎn)(1,/(1))處

e

的切線方程是.

【答案】(e-l)x+y+l=0

【解析】由題得CM=--k,.\f(-)=-k=0,:.k=e.

xee

所以左二/f(l)=\-k=\-e,

/(1)=一左二-e,所以切點(diǎn)為(1,-e),

所以切線方程為y+e=(\-e)(x-l),.\(e-1)x+^+l=0.

故答案為：(e-l)x+y+l=0

11.若函數(shù)/(x)=a\nx,(aeR)與函數(shù)g(x)=4x，在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)

數(shù)a的值為.

【答案】|

【解析】函數(shù)/(工)=。欣的定義域?yàn)?O,+8)J'(x)=W，g'(x)=在，

設(shè)曲線/(x)=Hnr與曲線g(x)=4公共點(diǎn)為(%,%),

a1.

由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,工《二可7,解得/=44-,a>0.

由/(Xo)=g(x0),可得。叫=反.

X。~4Q-

聯(lián)立，，解得4=—.

alnx0=扃

故答案為：.

2

12.已知函數(shù)/(x)=%3一以2.

(1)當(dāng)。=3時(shí),求函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,2］上的最小值;

(2)當(dāng)。＞3時(shí),求證:過點(diǎn)尸(1JQ))恰有2條直線與曲線y=/(x)相切.

【解析】(1)當(dāng)。=3時(shí)/G)=3-3x2/(X)

=3X2_6X=3X(X_2).

當(dāng)［0,2］時(shí)/(x)<0,

所以/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減.

所以/(x)在區(qū)間［0,2］上的最小值為/(2)=-4.

(2)設(shè)過點(diǎn)P(1/(1))的曲線y=/(x)的切線切點(diǎn)為(比皿)/G)=3/

-2ax/(1)=1-。，

%=/3_若，

-(1-〃)=(3/2_2叫)(%-1).

所以2/3一(〃+3)/2+2ax。+1-〃=0.

2

令g(x)=2x3-(a+3)x+2ax+l-a9

則g'(x)=6x2-2Q+3)x+2a=(x-1)(6x-2a),

令g，(x)=0得x=l或工=三,

因?yàn)椤＃?,所以

a(a)

X(-00,1)1

(聞313)

戈(工)+0一0+

g(x)/極大值極小值/

.'.g(x)的極大值為g(1)=0,g(x)的極小值為g|Jvg(l)=0,

所以g(x)在，8怖］上有且只有一個(gè)零點(diǎn)X=L

I3)

因?yàn)間(a)=2a3-(a+3)a2+2a2+\-a—(a-1)2(a+1)>0,

所以g(x)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

所以gCv)在R上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

即方程2/3一(〃+3)/2+2奴0+1-。=0有且只有兩個(gè)不相等實(shí)根,

所以過點(diǎn)P(1/(1))恰有2條直線與曲線y=/(x)相切.

專致二導(dǎo)數(shù)馬匹照單倜器

例改乙已知函數(shù)/。)=把藝警二L(1)求函數(shù)/a)在⑼笈)內(nèi)的單調(diào)遞增

區(qū)間；

解：由題意知，/"(X)J,X€(O,^-),

所以當(dāng)/'(x)>。時(shí)，解得xw0,—3二-，],即/(》)在(0/)的單調(diào)遞增區(qū)間

6/16

成與1.已知函數(shù)/(x)=3(x-l)-2#nx.求/(x)單調(diào)增區(qū)間；

解：/(.x)=1-2lnx,令/'(x)>0,解得xw[0,e],所以/(x)單調(diào)增區(qū)間為10,萌.

制M2.已知函數(shù)/(x)=見±(。€R).討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

X

解：(1)由題意，函數(shù)/(x)=皿tq(acR),可得/(X)的定義域?yàn)?0,+8),

X

且r(x)=jH

X

由尸(x)>0,Fpl-a-lnx>o,解得0cxee~,由/'(x)<0,即l-a-lnx<0,

解得x>e~,

故fW的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e?),單調(diào)遞減區(qū)間為(3-。,+8).

雙電2.已知函數(shù)/(x)=alnx+，+bx+l.若2a+b=4,當(dāng)〃>2時(shí)，討論/(x)的

X

單調(diào)性；

解：因?yàn)?(1)=。1!1工+1+笈+1所以函數(shù)/(工)的定義域?yàn)?0,+8).

X

由2。+6=4,得/(x)=alnx+L+(4-2〃)x+l,則/'㈤=1――，2工一1),

XX

當(dāng)。=4時(shí)，/(x)<0,函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)2<〃<4時(shí)，r(x)<0=>0<x<-lk.x>^—,Ax)>0=>l<x<—,

2a-22a-2

所以〃x)在伍9,(一二，+」i上單調(diào)遞減，在仁，」二〕上單調(diào)遞增；

當(dāng)…時(shí)，…)＜。=。＜"力或仆)＞。=為＜舊，

所以/G)在(0,W6,+刃)上單調(diào)遞減，在(2，￡|上單調(diào)遞增.

見回3.已知函數(shù)〃x)=，-2aeT-(2+a)x(QwR).討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

解：/，(加e,+2叱-(2+加―(2+m+2〃=?-2a同

eveA

若“40,由廿一2=0,得x=ln2；由/'(x)＜0得x＜ln2；由/'(x)＞0得x＞ln2,

所以/(x)在(-81n2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+8)上單調(diào)遞增；

若〃>0,由/'(x)=0,得x=ln2或x=lna.

當(dāng)0<Q<2時(shí)，由/'(x)v0,得lna<x<ln2;由/'(x)>0,得x>ln2或xclna,

所以/(%)在(ln〃』n2)上單調(diào)遞減，在(-8,Ina),(ln2,+co)上單調(diào)遞增;

當(dāng)〃=2時(shí)，/'(x)N0在R上恒成立，所以/(%)在(YO,”)上單調(diào)遞增;

當(dāng)Q>2時(shí)，由/'(x)〈0,得In2cA■<Ina；由/"(x)>0,得Ino或x<ln2,

所以/(x)在(ln2/na)上單調(diào)遞減，在(-8/n2),(Ina,+＜力)上單調(diào)遞增.

況圖,已知函數(shù)/(x)=5%2+min(l-x),其中mwR.求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

解：函數(shù)/(X)定義域?yàn)榍?____+_一加\-x>0,令

1-x1-x

-x2+x-m=0,判別式△=1一4加，

當(dāng)AW0,即加之；時(shí)，一/+》一加《o恒成立，所以/'(x)W0,

???/(力在(-00,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)A〉。，〃?＜；時(shí)，由X2一%+加=0,解得X[=l---；47n,41+J1-4一

2

若0＜根＜；,則不＜々＜1,x￡(-oo,xj時(shí)，/\x)＜0,/(X)單調(diào)遞減;

XW(X[,%2)時(shí),/'(x)>0,單調(diào)遞增；%￡(孫1)時(shí),/'(X)<O,/(X)單調(diào)

遞減；

-00

若加<0,則玉<1?々，，工4，')時(shí)，/'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；XG(Xpl)

時(shí)，r(x)>o,/(力單調(diào)遞漕；

//\

綜上所述：加40時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為F,7；,單調(diào)遞增區(qū)間

\/

,1-V1-4w/

為-9一'；

\/

0<m<；時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為一。ojJ；一細(xì),l+Vl-4ffl,單調(diào)

I\N7N\/

遞增區(qū)間為1，；-4加,1+J；-4加；加之；時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-81)

X/

【素養(yǎng)提升】

1.已知函數(shù)/(力=1+加一/工+3,々￡尺.

(1)若夕<0,求函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的不等式2WnxW/'a)+/+i恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函的遞減區(qū)間即可；

3V1?丫1

(2)問題等價(jià)于a-廠在(0,+oo)上恒成立，令A(yù)(x)=/〃x,

4乙AX*/人

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

【解析】(1)/(x)=3N+2ax-/=(3x-a)(x+a)

由/(x)VO且〃V0得：^<x<-a

???函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為備—a)

(2)依題意(0,+oo)時(shí),不等式(x)+屏+1恒成立，

3x1

等價(jià)于--------在(0,+oo)上恒成立.

22x

h(x)=Inx----

22x

31(3x+l)(x-l)

貝(x)=_L---1---7=

22x22x2

當(dāng)xW(0,1)時(shí),〃(x)>0/(x)單調(diào)遞增

當(dāng)(l,+oo)時(shí),〃(x)VO#(x)單調(diào)遞減

???當(dāng)x=l時(shí),〃(x)取得最大值0(1)=-2

故a>~2.

2.已知函數(shù)f(x)=x-\-\nx-a(x-i)2(aGR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)八￡(0,+8)J(x)20,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)由題意知,/(幻的定義域?yàn)?0,+8),

由f(x)=x-\-\nx-a^x2-2x+\)=-ax2+(2tz+l)x-(?+1)-Inx,

eru、c1、1lax2-(2a+l)x+l(2^x-l)(x-l)

得/(x)=-2ax+(2i+1)——=------------------=------------.

XXX

①當(dāng)時(shí)，令廠(x)>0,可得》>1J'(x)<0,得0<x<l,故函數(shù)/⑶的增區(qū)間為

(1,+8),減區(qū)間為(0,1);

②當(dāng)0<°<1時(shí)令廣田>0,可得得0―<1或

22a2a2〃

故/(x)的增區(qū)間為卜，()，減區(qū)間為(°』)、(5，收)；

③當(dāng)。=(時(shí)，/(x)=-直起“0，故函數(shù)/(A)的減區(qū)間為。”)；

2x

④當(dāng)時(shí)令/'(x)>0,可得4cx<l/(x)<0,得0Vx<4,或

22a2a2a

x>l,故/(x)的增區(qū)間為住減區(qū)間為

\2aJI2。)

綜上所述：當(dāng)時(shí),/(%)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)；當(dāng)Ova<g

時(shí),/(x)在(0/),(或,+8)上為減函數(shù)，在［1,1)上為增函數(shù)；當(dāng)〃=；時(shí),/(外在

(0,+8)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，/&)在(0,《),(1,+8)上為減函數(shù)，在上為增

函數(shù).

(2)由(1)可知：

①當(dāng)白工0時(shí),/(工濡=/⑴=0,此時(shí)/(X)>0；

②當(dāng)0<。<工日寸,/\1)=0,當(dāng)XW(-4Z-+],4-00、時(shí)，有l(wèi)nx>o,ar〉a+l,可得

2\a；

/(x)<x-1-a(x-1)2=(x-l)(a+1-ax)<0，不符合題意；

③當(dāng)a=g時(shí)，/⑴=0,由函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知，當(dāng)》€(wěn)(1,內(nèi))時(shí)/(x)<0,不符合

題意；

④當(dāng)時(shí),/⑴=0,由函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)〃x)<0,不符合

題意.

綜上可知，所求實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,0].

3.已知函數(shù)/(x)=Inx+x2+3ax+1.

(1)討論函數(shù)/(口的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【分析】(1)討論a的范圍，得出/(%)>0和/(x)V0的解集，得出/G)的

單調(diào)性：(2)求出/G)的極大值，判斷極大值小于0,根據(jù)/&)的單調(diào)性得出

fG)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解析】(1)f'(x)=-+2x+3a=+36rX+1(x>0),

XX

令〃(x)=2、2+3av+l,其對(duì)稱軸為/=-，，令2/+3公+1=0,則4=9/

當(dāng)aN0時(shí),/'(x)>0,所以fM在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時(shí)，對(duì)稱軸為X。=——>0,

若A=9/_8W0,即-述W〃<O,〃(x”O(jiān)恒成立，所以/'(x)20,所以/(x)在

3

(0,+◎上單調(diào)遞增；

若“一半時(shí)，設(shè)心)=0的兩根西=土等三1,%=-3弋948,

當(dāng)x￡(0,石)時(shí),〃(x)>0,所以/'(x)>0,所以f(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡(七,12)時(shí),“(X)<0,所以/'(X)<0,所以fW在(x,,x2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X￡(%+℃)時(shí)/(X)>0,所以f\x)>0,所以/(X)在(x2,+oo)上單調(diào)遞增，

綜上所述：當(dāng)4之一述時(shí)，〃外在(0,+00)上單調(diào)遞增；

3

若〃<一半時(shí)，/(X)在(0,須)上單調(diào)遞增，在&/2)上單調(diào)遞減，在。2，”)上單

調(diào)遞增；

(2)當(dāng)a<7時(shí)，由(1)知/(X)在(0/1)上單調(diào)遞增，在(與.)上單調(diào)遞減，在

(x2,-w)上單調(diào)遞增，下面研究f(x)的極大值/區(qū))=In內(nèi)+X：-3咐+1,

22

又+3oX]+1=0,所以/(芭)=In%]+2X]+3axi+l-x,=ln&-xj,

令g(x)=lnx—f,則/(幻=上51(x>0)，可得g(x)在(0,立)上單調(diào)遞增，在

(等^+^上單調(diào)遞減㈤且⑴的極大值且「?人歷堂-:乃廊以目⑴4/斤以

仆)<0,

當(dāng)xw(0,X])時(shí),/(X)單調(diào)遞增，所以/(x)</(%])<0

當(dāng)X￡(Xj,x2)時(shí)，/(X)在(xpx)上單調(diào)遞減，所以/(x2)</(x)</(Xj)<0

當(dāng)、￡。2，+8)時(shí)，/(X)單調(diào)遞增，

且=ln(-4tz)+16a2-12a2+l=ln(Ya)+4/+15<T),

f(x2)?/(-4a)<0,所以存在x'￡(弓-4a)，使得/(V)=0,

又當(dāng)xw(x2,-hx>)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)￡,

綜上所述,當(dāng)〃<-1時(shí)JU)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).

4.已知函數(shù)/(x)=\x-a\-\nx(a>0).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

的大小(〃￡N+且〃,2),并證明

2*3

你的結(jié)論.

x-lnx-a,x>a

【解析】(1)函數(shù)/⑶可化為/(%)=〈

a-x-Inx,0<x<a

當(dāng)0vx<Q時(shí),/'(》)=-1--<0,從而/(X)在(0,4)上總是遞減的,

當(dāng)xNa時(shí),/''(x)=l-'=匕'，此時(shí)要考慮。與1的大小.

XX

若aN1,則/'(%)20,故f(x)在［a,+00)上遞增，

若Ocavl,則當(dāng)aWx<l時(shí)J'(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),/'(x)>0,故/(%)在［a,D上遞減，

在(1,+oc)上遞增，而/(X)在x=a處連續(xù)，所以

當(dāng)。之1時(shí),/(x)在(0,a)上遞減，在［a,+8)上遞增；

當(dāng)0<a<1時(shí),〃幻在(0,1)上遞減，在［1,+8)上遞增.

(2)由(1)可知當(dāng)a=l,x>l時(shí),工一1一lnx>0,即lnx>l—x,所以1一!所

XX

以

<W-1-----1-----F…+------=/?-1--------=(W-1)----------

(2x33x4)(2n+lj2(/?+1)

_2〃2-2-〃+1=(〃-1)(2〃+1)

2(〃+1)2(/?+1)

5.已知函數(shù)/(x)=，(l-ax-Y).

⑴求/(力的單調(diào)區(qū)間；

⑵若xNO,/(力41,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)f\x)=ex[-x2-(a+2)x-a+1],

令/'(x)=0,得到X=-,5=

令/'⑴>0,得xaX<w,所以/(X)在(-,F—單調(diào)遞增,

令f\x)<0,得x<再或x>工2，所以/(x)在

-a-2-J/+8

(一8,,+oc)單調(diào)遞減.

2

(2)由⑴知J'(O)=l—a,

當(dāng)時(shí),/'(0)>0,因?yàn)橹?5-卜0,且々=一°-2+"2+8>0,

由(1)可知,/(x)在(0%)單調(diào)遞增,此時(shí)若J(x)>/(O)=1,

與XNO時(shí)ja)4i矛盾.

當(dāng)時(shí),/'(0)?0,/=±±!2^140,

22

由(1)可知,f(x)在(0,+8)單調(diào)遞減,因此對(duì)DX￡[0,+8),,此時(shí)結(jié)論成立.

綜上的取值范圍為。之1.

專強(qiáng)三導(dǎo)數(shù)身曲劇極伍、素值

鈉我.7，已知函數(shù)/(力=三手.求函數(shù)y=/(x)的極值.

解:?.?/，⑴二生1)92)又40,

ex

由/'(X)=0得l=-1或x=2,

當(dāng)工￡(-00,-1)和(2,+8)時(shí)，/(x)<0,此時(shí)/(x)為減函數(shù)；

當(dāng)XW(—L2)時(shí),f\x)>0,此時(shí)/(X)為增函數(shù)，

由/("的單調(diào)性知函數(shù)的極小值為/(-1)=-。，極大值為/⑵=5"2=提.

鈉發(fā)2.已知函數(shù)/a)=V+仆2+以+2在x=_［處取得極值7.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)在區(qū)間［-2,2］上的最大值

解：(1)因?yàn)?(x)=工3+ax?+云+2,所以/(x)=3d+2ox+b,

又函數(shù)/(x)=x3+ar2+Z>x4-2>j4.x=-l處取得極值7,

\f(,(--\\))==\3+-a2-ab+b=l=0"解得［a%==-—39；，

所以/(x)=3X3-6X-9=3(X-3)(x+1),

由/'(x)>0得x>3或xc-1；由/'(』)<。得T<x<3;滿足題意;

⑵又xc［-2,2］,

由(1)得/(幻在xe(-2「l)上單調(diào)遞增，在x￡(—1,2)上單調(diào)遞減，

因此/(防2=〃-1)=7.

例班夕已知函數(shù)/(X)=；A：3_2以2+2,(XWR).

(1)討論函數(shù)/(力的單調(diào)性.

(2)若。>0,當(dāng)x?0』］時(shí)，求/")的最小值.

解：(1)因?yàn)?(x)=$3一2"2+2,(XWR),所以/(X)=X2_4QX.

令/'(x)=x(x-4〃)=0,解得x=0或4〃.

①當(dāng)。=0時(shí)，/(“二公之。恒成立，所以函數(shù)〃x)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)4>0時(shí)，令/(x)>0得了>4〃或x<0,令/(X)得0cx<4。，

即函數(shù)/(X)在(y),o),(4〃,+00)上單調(diào)遞增，在(0,44)上單調(diào)遞減；

③當(dāng)。<0時(shí)，令/(x)>0得x>0或x<4a,令/(》)<0得4a<x<0,

即函數(shù)/(x)在(YO,4Q),(0,十力)上單調(diào)遞增，在(4〃,0)上單猬遞減；

(2)由(1)知。>0時(shí)，/⑶在(0,4。)上單調(diào)遞減，在(4〃,+oo)上單調(diào)遞增；

①當(dāng)4。21,即時(shí)，在［05上單調(diào)遞減，

小『/叫-2。+2=手，

②當(dāng)0<4。<1,即0<。<!時(shí)，/(x)在在［0,4”)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)(4d1］遞

4

增，

所以/(x)min=/(4a)=1?(4。)3—2a(4a)2+2=6~^.

應(yīng)也7.已知函數(shù)［(x)=aln/+4(a￡R).

(1)當(dāng)。二一1時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求/⑴在工4］上的最小值.

解：(1)"X)的定義域?yàn)?0,+oo),

1Vx-2

當(dāng)。=一1時(shí)，f\x)=

x2\[x2x

當(dāng)x>4時(shí)，r(x)>0,則/(?的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+oo)；

當(dāng)0<工<4時(shí)，ra)<o,則〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4).

(2)八哈+如y[x+2。

2x

當(dāng)。0-1時(shí)，/'(X)<o,/(x)在［1,4］上單調(diào)遞減，

此時(shí)，/(x)min=/(4)=2aIn2+2

當(dāng)。之一；時(shí)，/V)>0J(x)在［1,4］上單調(diào)遞增，

此時(shí)，/(肘min=/(I)=1

當(dāng)一時(shí)，若1<x<4/,則/(x)<OJ(x)單調(diào)遞減;

若4a2cx<4,則/'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增

此時(shí)，/(x)min=/(4/)=aIn(4/)+府=2aln(-2a)-2a.

2aln2+2,a<-1

綜上所述:/(x)mm=,2aln(-2a)-2a,-l<a<--

\,a>

2

應(yīng)合2已知函數(shù)/'(x)=alnx+2x2一4x(awR).

(1)若x=2是/(x)的極值點(diǎn)，求〃x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求g(x)=/(x)-ax?在區(qū)間［l,e］上的最小值h(a).

解：(1)/(x)的定義域?yàn)?0,+＜功,

4x2-4x+q

/(x)=-+4x-4=

xx

因?yàn)閤=2是/(x)的極值點(diǎn)，所以r(2)=生產(chǎn)=0

解得a=—8,

4/-4工-84(x-2)(x+l)

所以/'(x)=

XX

當(dāng)x>2時(shí)，/V)>0：當(dāng)0<x<2時(shí)，/V)<0,

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

(2)g(x)=alnx+2x2-ax-4x,則gr(x)=—+4x-a-4=,

xx

令g%x)=0,得x=J或x=L

4

①當(dāng)即時(shí)，g(x)在［l,e］上為增函數(shù)，/?(a)=g(l)=-a-2；

②當(dāng)Y〈e,即4<a<4e時(shí)，g(x)在1,￡(上單調(diào)遞減，在(%上單調(diào)遞增,

ai。12

所以h(d)=g=aln----a-a

48

③當(dāng)(之e,即時(shí)，g(x)在［l,e］上為減函數(shù),

-a-2,a<4

1412AA

所以h{d)=g(e)=(1-e)Q+2/-4e.綜上所述,h(a)=<aIn----a-a,4<a<4e

48

(i-e)a+2e2-4e,a>4e

【素養(yǎng)提升】

1.已知函數(shù)/(x^x+ai+binx,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程為

2x-y-2=0.

(I)求凡8的值；

(II)求函數(shù)/(4)的極大值.

【答案】(I)a=-l,6=3；(II)3嗚3-:3

【解析】(I)由/(外=工+^^+方足］，得尸(幻=2以+1+2(x>0).

x

由曲線。=/(x)在點(diǎn)(L/(D)處的切線方程為2x-y-2=o,

得/⑴=l+2a+6=2,/(l)=l+a=0,

解得。二-1,b=3.

3

(II)f(x)=-x2+x+3Inx,xG(0,+co),/'(x)=-2x+l+—(x>0).

x

3/3、

—lx4-1H>0,解得XW0,一;

X\2J

3(3、

—2,x+1+—<0,解得—；

Xk2J

(3>(3、

所以函數(shù)的增區(qū)間：0,-；減區(qū)間：不,內(nèi),

3f3)33

x=不時(shí)，函數(shù)取得極大值，函數(shù)的極大值為了j=31。弓-[

乙\,乙)乙r

2.已知函數(shù)/(x)=〃x-lnx+l.

(1)若x=l是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)。的值并求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(均>0恒成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)1,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(1,內(nèi))；(2)。>斗.

e~

【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8)

又/'(%)="：,由題意,a=\,

當(dāng)a=l時(shí)，令/'(x)=l>0得工>1,令/'(x)=l<0得x<l,

XX

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),

此時(shí)函數(shù)/(力取極小值故a=1符合題意；

(2)由/(x)>0恒成立得ax-lnx+l>0恒成立，又定義域?yàn)?0,+°0),

..,lar-11、日(lnx-P

所以a>-----恒成工即。>-----,

XI"/max

令g(x)=螞」則g'(x)=2產(chǎn),令g'(x)=21nx>。得x<?2所以函數(shù)g(x)在

XXX

(0,?2)上單調(diào)增，在(e?,+8)單調(diào)減，函數(shù)g(x)皿=g(/)=I,所以

ee

3.已知函數(shù)/'(X)=alnx-，+(口一2)%-亍.

(I)當(dāng)曲線/(%)在x=3時(shí)的切線與直線y=-4x+l平行，求曲線/")在

(1J⑴)處的切線方程；

(II)求函數(shù)/(x)的極值，并求當(dāng)/(x)有極大值且極大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

【答案】(I)8工一4y—17=0；(II)(2e,+a)).

【角簞析】(I)f'(x)=--2x+