2022屆 一輪復習 數(shù)學 新高考版第七章 立體幾何

第七章立體幾何

第一節(jié)空間幾何體

第1課時系統(tǒng)知識牢基礎——空間幾何體

知識點一空間幾何體的結構特征

2.特殊的棱柱和棱錐

(1)側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之，

正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形.

(2)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特

別地，各棱長均相等的正三棱錐叫做正四面體.反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂

點在底面的射膨是底面正多邊形的中心.

［提醒］(1)棱柱的所有側面都是平行四邊形，但側面都是平行四邊形的幾何體卻不一

定是棱柱.

(2)棱臺的所有側面都是梯形，但側面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺.

(3)注意棱臺的所有側棱相交于一點.

3.旋轉體的結構特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

昌

圖形A

旋轉

矩形直角三角形直角梯形半圓形

圖形

旋轉軸任一邊所在的直任一直角邊所在垂直于底邊的腰直徑所在的直線

線的直線所在的直線

互相平行且相

母線相交于一點延長線交于一點

等，垂直于底面

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

&

側面展開圖矩形扇形扇環(huán)

［重溫經典］

1.（教材改編題）下列命題中正確的是（）

A.由五個平面圍成的多面體只能是四棱錐

B.棱錐的高線可能在幾何體之外

C.僅有一組相對的面平行的六面體一定是棱臺

D.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

答案：B

2.給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線;

②宜角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；

②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的，

幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，

棱臺的上、下底面相似且是對應平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但

是側棱長不一定相等.

3.如圖，長方體*CD'被截去一部分，其中￡77〃

A'O'.剩下的幾何體是（）

A.棱臺B.四棱柱

C.五棱柱D.簡單組合體

答案：C

4.（易錯題）從長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱上各取一點E,F,G（不與頂點重合）,

過此三點作長方體的截面，那么這個截面的形狀是（）

A.銳角三角形B.矩形

C.平行四邊形D.正方形

答案：A

5.如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面、下底面圓心燈5

為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形

可能是（）

①②③④⑤

A.?@B.①③

C.?@D.①⑤

解析：選D該幾何體的軸機面是①，當豎直的截面不經過軸時，截面圖形為⑤.故選

D.

6.（教材改編題）在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為.（填序號）

①②③④⑤

答案：@@

知識點二直觀圖

1.直觀圖

（1）畫法：常用斜二測畫法.

⑵規(guī)則：

①原圖形中x軸、j軸、Z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸、V軸的夾角為45。（或135。）,

/軸與/軸和步軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸;平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長度丕變；平行于），軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼耐挂?/p>

2.直觀圖與原圖形面積的關系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系：

（2）S原圖形=2、/5s直觀！a.

［重溫經典］

1.一個幾何體有6個頂點，則這個幾何體不可能是（）

A.三棱柱B.三棱臺

C.五棱錐D.四面體

解析：選DA、B、C都是6個頂點，D是4個頂點，故選D.

2.（教材改編題）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，%c

邊平行于『軸，BC,AO平行于x軸.已知四邊形4BCO的面積為9y

272cm2,則原平面圖形的面積為（）

A.4cm2B.46cm2

C.8cm2D.8啦cm2

解析：選C依題意可知N5Ao=45。，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC,

A0相等，高為梯形ABC。的高的班倍，所以原平面圖形的面積為8cm2

3.以鈍角三角形的較小邊所在直線為軸，其他兩邊旋轉一周形成的面所圍成的幾何體

是（）

A.兩個圓錐拼接而成的組合體

B.一個圓臺

C.一個圓錐

D.一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐人

解析：選D如圖，以A5為軸旋轉一周所得到的幾何體是一個大圓錐挖去

一個小圓錐.Q>

4.水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正三角形，則△八8（7是（）

A.銳角三角形B.直角三角形c,

C.鈍角三角形D.任意三角形

解析：選C由直觀圖還原平面圖形，易知△A3C為鈍角三角卅..，

cB'/y

5.一水平放置的平面四邊形0A5C,用斜二測畫法畫出它的直觀圖

O'A'B'C如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則

原平面四邊形048C的面積為.^-

解析：因為直觀圖的面積是原圖形面積的坐倍，且直觀圖的面積為1,所以原圖形的

面積為

答案：272

知識點三空間幾何體的表面積與體積

1.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

幾何床表面積體積

柱體

S表田積=5例+2S規(guī)

（棱柱和圓柱）

錐體

v=gs底力

S表面積=S?i+S底

（棱錐和圓錐）

臺體

y=/s上+s下+［s上s下）九

S表面積=S側+S上+S下

（棱臺和圓臺）

球S=4nR2V=-^tR3

2.幾何體的表面積和側面積的注意點

（1）幾何體的側面積是指（各個）側面面積之和，而表面積是側面積與所有底面面積之和.

（2）組合體的表面積應注意重合部分的處理.

3.柱體、錐體、臺體側面積間的關系

（1）當正棱臺的上底面與下底面全等時，得到正棱柱；當正棱臺的上底面縮為一個點時,

得到正棱錐，貝S正梭相iu=c//:一'S正…=；（c+c，）/?正懈倒=；曲.

（2）當圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時，得到圓柱；當圓臺的上底面半徑為零時,

得到圓錐，則

/=,/=0

S國柱m=2冗”**----S圜臺倒=元（「+，'）1?S的愫禽=九”.

4.柱體、錐體、臺體體積間的關系如圖所示

V■體坐A

［重溫經典］

1.己知圓柱O'O的底面半徑為r,母線長是底面直徑的2倍，則圓柱O'O的表面

積是（）

A.4nr2B.IOTTF2

C.Snr2D.bnr2

222

解析：選B，??母線Z=2X2r=4r,^.Sm=2nrl=2nr4r=8nrfS*.=27rr+87rr=lOnr.

2.平面1截球。的球面所得圓的半徑為1,球心。到平面a的距離為吸，則此球的

體積為（）

A.4、/57rB.

C.V6nD.4\[6n

解析：選A由已知得球的半徑為d=小,所以球的體積為普乂（#）3=樂歷,

故選A.

3.如圖所示，己知三棱柱A4C-431G的所有棱長均為1,且A4_L

底面ABC,則三棱錐Bx-ABCx的體積為（）

V3也

12*4

AC.亞

12亞

*4

解析:選A易知三棱第B^ABCx的體積等于三棱錐A-BiBCi的體積,又三棱錐A-B^BCi

的高為坐，底面積為:，故其體積為:x；x#=#.

4.（2021年1月新高者八省聯(lián)考卷）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面

上，其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺的體積為.

解析：易知圓臺的高為3,所以其體積為V=&MR2+/+Rr）=61九

答案：617r

5.（教材改編題）如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出

一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為.

答案：1：47

第2課時精研題型明考向——空間幾何體及其表面積、體積

一、真題集中研究——明考情

1.（2020?全國卷I?考查空間幾何體的結構特征）

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個

正四棱錐.以該四楂錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側

面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的--二

比值為（）

小一]木T迅+1小+1

A.―-2C.―-D.2

解析：選C設正四極錐的高為心底面正方形的邊長為2a,斜高為利

依題意得力2=；X2?X〃1,即力2=G〃，①

易知人2+°2=m2,②

由①②得舍去）,

1+小

所以是=?=苧.故選C.

2.（2020?全國卷n?考查三棱雄的外接球表面積）

已知△ABC是面積為乎的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上.若球O的表面

積為16立，則O到平面A5C的距離為（）

A幣B.1C.1D粵

解析：選C由等邊三角形A5C的面積為挈，

得坐解得48=3,

則△46C的外接圓半徑r=,X興45=坐45=布.

設球的半徑為R,

則由球的表面積為16H,得4"/?2=16江，得R=2,

所以球心O到平面48C的距離d='所2一球=1,

故選C.

3.（2020?浙江高考?考查圓錐的側面積、側面展開圖）

已知圓錐的側面積（單位：cm2）為2冗，且它的側面展開圖是一個必圓，則這個圓錐的底

面半徑（單位：cm）是.

解析：法一：設該圓錐的母線長為/,

因為圓錐的側面展開圖是一個半圓，其面積為2處

所以&?二？;:，解得/=2,

所以該半圓的弧長為2兀

設該圓錐的底面半徑為R,則2元/?=2肛解得R=l.

法二：設該圓錐的底面半徑為R,

則該圓錐側面展開圖中的圓弧的弧長為2nR.

因為側面展開圖是一個半圓，

設該半圓的半徑為r,則nr=2nRt即r=2Rf

所以側面展開圖的面積為去2426=2瓶2=2見解得R=1.

答案：1

4.（2020?新高考全國卷I?柱體與球體的組合）

已知直四棱柱的棱長均為2,NK4O=60。.以Oi為球心，小為半徑的

球面與側面BCCyBx的交線長為

解析：如圖，連接

易知△%GD1為正三角形，血二黑”

所以BiOi=G"=2.

AB

分別取5iG,BBl,CG的中點M,G,Ht連接DiM,DyGtDiH,

則易得DiG=DiH=pn=鄧,DiMJ-BiCi,且。陽=5.

由題意知G,"分別是8於，CG與球面的交點.

在側面8CGB1內任取一點P,使MP=也,連接UP,

則小尸=勺01/卬+,以尸2=叱\5>+（&）2=布,

連接MG,易得MG=MH=r,

故可知以M為圓心，筐為平徑的圓弧GH為球面與側面BCCiBi的支級.

由NBiMG=NGM〃=45知NGM〃=90°,

所以GH的長為;X2;rX，i=學.

答案:華

5.（2020?江蘇高考?借助生產實際考查空間幾何體的體積）

如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.己知

螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半徑為0.5cm,則此

六角螺帽毛坯的體積是cn?.

2

解析：正六棱柱的體積為6X乎X2?X2=12幣（cn?）,圓柱的體積為nX0.5X2=7

（cm3）,則該六角螺帽毛坯的體積是（12小一5513.

答案：1班一百

6.（2020?全國卷m?考查圓錐的內切球體積）

已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積為

解析：法一：如圖，在圓錐的軸截面48c中，CD_LA&BD=lfBC=3,ZIA

圓O內切于△ABC,E為切點，連接OE,則OE工BC,在RtABCD中，CD=

_________ADB

y/BC2—BD?=2小.易知BE=BD=1,貝"C￡=2.設圓錐的內切球半徑為R,則OC=2^2-

R.在Rt^COE中，OC2—?！?=,中，即（2啦一R）2—改=%解得R=坐，所以圓錐內半徑

最大的球的體積為*R3=半兀

法二：如圖，記圓錐的軸截面為△相€；其中AC=BC=3,AB=2tCD±/'

AB.在RtAffCD中，CD=7BC2-BD?=2巾,則SAABC=2&.設△ABC的內切/JA

圓。的半徑為￡,則K=笠全等=乎，所以圓錐內半徑最大的球的體積為*rR3八〃B

SI，十，乙J

—正

=3兀

答案:冬

［把脈考情］

1.幾何體體積和表面積的計算：主要考查棱柱、棱錐或不

常規(guī)規(guī)則幾何休的休積與表面積的計算.

角度2.球的切、接問題：主要考查幾何體與球的組合體的識辨，

球的體積、表面積的計算

創(chuàng)新幾何體的體積與表面積的計算與空間線面位置關系、數(shù)學

角度文化、實際生產生活的應用交匯命題

二、題型精細研究一提素養(yǎng)

題型一空間幾何體的結構特征

［典例］(1)(多選)下列命題中，正確的是()

A.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形

B.若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直

C.在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱

D.存在每個面都是直角三角形的四面體

(2)已知圓錐的側面展開圖為四分之三個圓面，設圓錐的底面半徑為「，母線長為/,有

以下結論：①/：，=4：3；②圓錐的側面積與底面積之比為4：3；③圓錐的軸截面是銳角

三角形.其中正確的結論為()

A.(D?B.②③

c.(D@D.①②?

［解析］(1)A不正確，根據(jù)梭柱的定義，棱柱的各個側面都是平行

四邊形，但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，也三

個側面構成的三個平面的二面角都是直二面角；C正確，因為兩個過相

對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方體ABC&.AiBiCiOi

中的三棱維G?48C,四個面都是直角三角形.

(2)@中，由題意得華=獲，所以所以，：r=4：3,所以①正確；②中，由題意

得部=1=/=*所以圓錐的側面積與底面積之比為4：3,所以②正確；③中，由題意

5圓錐底nrr5

得圓錐的軸截面的三邊長分別為小，y,2r,易知頂角最大，設頂角為〃，則由余弦定理可知,

7戶+7戶一4戶

cosa=---------彳——=4<0,所以頂角為鈍角，所以圓錐的軸截面是鈍角三角形，所以

2X/&

③錯誤.故選A.

［答案］⑴BCD(2)A

［方法技巧］辨別空間幾何體的2種方法

緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的

定義法

線面關系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進行判定

通過反例對結構特征進行辨析，要說明一個結論是錯誤的，只需舉出一

反例法

個反例即可

［針對訓練］

1.(2021?江南十校聯(lián)考)已知圓臺上、下兩底面與側面都與球O相切，圓臺的側面積為

167n則該圓臺上、下兩底面圓的周長之和為()

A.47rB.67r

C.87rD.10n

解析：選C圓臺的軸截面如圖所示，“Jr

因為圓臺的側面積S置=花便+/)2=16冗，弓［A

所以K+r=4,U八

2R

所以該圓臺上、下兩底面圓的周長之和為2(R+r)元=8兀故選C.

2.如圖，己知正三棱柱ABC-A山iG(底面是正三角形的直三棱柱)的底面

邊長為2cm,高為5cm,則一質點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩

周到達點小的最短路線的長為

解析：根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為

如圖所示的實線部分，則所求最疽路線的長為將41H=13(cm).

答案：13

題型二空間幾何體的表面積與體積

考法(一)空間幾何體的表面積

［例1］(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為?！?1,過直線01。2的平面截該圓柱

所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.B.127r

C.D.107t

(2)

(2021?洛陽一橫)如圖，已知正三棱錐S?A8C的高為3,底面正三角形的才、

高為3,則該正三棱錐的表面積為()/\^>c

A.W55+W5B.W55+9,4\\/

l9I—9B

C.12^3D.TVIO+T

［解析］(1)因為過直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓

柱的高為26，底面圓的直徑為2啦，所以該圓柱的盤面積為2乂九乂(6)2+2671乂2加=

127r.

(2)如圖所示，其中AO=3(O為5C的中點)，設5"!?平面ABC,由于1

三棱鋒&ABC為正三棱錐，???”為正△ABC的中心，：.AH=^AD=2t又八^/匕，,

SH=3f

，在RtAS/ZA中，

SA=［沂+4印=近+22=恒.

在正△A5C中，40=3,

?')AB=AC=BC=2y/3f：.X2^3X3=3^3.

22

在RtAiSDB中，SD=ylsff-BD=y/l3-3=y/Tbt

/.SASBC=；X25X師=A/30,

???正三棱錐的表面積為3，而+3小，故選A.

［答案］(DB(2)A

［方法技巧］求空間幾何體表面積的常見類型及思路

求多面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法

的表面積求多面體的表面積

求旋轉體可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但

的表面積要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系

求不規(guī)則通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的

幾何體的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表

表面積面積

在求解組合題的表面積時，注意幾何體表面的構成，尤其是重合部分，

提醒

面積不要多加或少加

考法(二)空間幾何體的體積

［例2］⑴(2020?所而今金9必U)棱長為2的正方體ABCD-AxBxCiDi中，M,N分別

為梭BBi，A"的中點，則三棱錐的體積為

(2)已知直三棱柱的所有棱長都是°,點P,。分別為棱CG,的中點,

四面體AyByPQ的體積為乎，則a的值為.

［解析］(1)如圖，易知MN=yja,連接4山交MN于點O,則A1。

=劉5,；?VAl.DlMN=VDl,AlMN=^X1^/2X-72X^X2=1.

(2)如圖，取51G的中點"，連接4H,則4"_L平面BBiGC,且

4陽=坐明

S△aPQ=a2-gx：X尹2xgx：Xa=￥，

，四面體A\B\PQ的體積為:乂￥乂坐〃=好〃3=卓，

解得4=2.

［答案］(1)1(2)2

［方法技巧］

1.處理體積問題的思路

一諦西濱￡友威市馬面：音,茶示落至3畝函函施書

轉_：轉換為容易求面積的底面，或將原來不容易看出的！

~~口高轉換為容易看出并容易求解的高

曲南&云"二木示或典語兀行底東海啟或面前元;

四L「:何體，便于計算

I__________________________________________.........___1

「花的浪花不涵底展入二下天元有底羊:而看才春;

同」一個三校錐復原成一個三棱柱，將一個三棱柱曳原；

四［成一個四棱柱，還臺為俅，這些都是拼撲的方法；

2.求體積的常用方法

直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾

割補法

何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算

等體選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體根，即利用三棱錐的任

積法一個面作為三棱錐的底面進行等體積變換

［針對訓練］

1.如圖是一個裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑6cm,高8cm（不含杯腳）,

己知水的高度是4cm,現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入

水中后直接沉入杯底，且體積不變，如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放

入珍珠（）

A.98顆B.106顆

C.120顆D.126顆

解析：選D如圖，等腰△ABC中，底邊AB=6cm,高CD=8cm;等

腰△口?尸中，底邊為EP,高CP=4cm.???ZkC4bs2\C￡p,

.竺=總即紅=4：.EF=3

**AB~CDfr6-8't

???放入珍珠的最大體積為V=』rX32X8-$rX

，?,一顆珍珠體積為5X&3弋，^^=126,

6

???最多放入珍珠126顆，故選D.

2.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻凳者，下有袤有廣，2~rt

而上有袤無廣.芻，草也.費，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形/本……伊。

--------B

狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱￡尸=今E尸〃平面A5C&,EF

與平面ABCD的距離為2,則該芻驍?shù)捏w積為（）

A.6B弓CmD.12

解析：選B如圖，作FN//AEtFM//EDt則多面體被分割為棱%_術

柱與棱錐兩部分，則該芻亮的體積為VF-MNBC+VDAE-MNF=^S口邊號MNBCX2

3

+sX-

直

面2

ft

3.(2021?福州模擬)如圖，四面體各個面都是邊長為1的正三角形，其三

個頂點在一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面圓心，則圓柱的側

面積是()

，啦_3啦

A.7rD.n

3A4

C.Hj—yrD.2z-n

解析：選C設圓柱的底面半徑為r,母線長為/,因為四面體各個面都是邊長為1的

正三角形，可得懣=￥，解得「=卓，又由四面體各個面都是邊長為1的正三角

oil!UU。J

形，可得棱錐的高為仁加一州2邛，即圓柱的母線長為/=興

所以圓柱的側面積為S=27r”=27tX乎X半=當工

題型三與球有關的切接問題

考法(一)與球有關的內切問題

［例1］(1)若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1,則圓錐的體積

為?

(2)若一個正四面體的表面積為S”其內切球的表面積為S2,則2=.

［解析］(1)過圓錐的旋轉軸作軸截面，得截面△A8C及其內切圓。Oi和外接圓。。2,

且兩圓同圓心，即△4BC的內心與外心重合，易得△ARC為正三角形，由題意知。Oi的半

徑r=l,??.△ABC的邊長為2^/3,圓錐的底面半徑為，3,高為3,/.V=|XTTX(V3)2X3

=3兀

(2)設正四面體的校長為a,

則正四面體表面積為Si=4X坐?屋=布”2,其內切球半徑為正四面體高的;，即r=1

亞一亞

X3。一12%

因此內切球表面積為§2=4汽i=學,

Si/a26s

則

Sin,it

6a

［答案］⑴加⑵學

［方法技巧］

處理與球有關內切問題的策略

解答此類問題時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果內切的是多面體，則作截

面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.

考法(二)與球有關的外接問題

［例2］(1)已知正三棱錐S-ABC的側棱長為4<3,底面邊長為6,則該正三棱錐外接球

的表面積是()

A.167rB.207r

C.327rD.647r

(2)(2021?魔門外國語學校模擬)已知三棱錐尸?A8C每對異面的棱的長度都相等，且

△ABC的邊長分別為?,3,4,則三棱錐P-ABC外接球的體積為

［解析］(1)如圖所示，。為外接球的球心，E為△A6C的重心.

因為正三棱維S?ABC底面邊長為6,

所以AE=gx乎X6=2"\/3,

又SA=4小，

所以三棱錐的高SE=7SA2-AE2=叱4小尸一(2小>=6.

在直角三角形AOE中，AO=RtOE=SE-SO=6-Rf

由402=4?+?！?即K2=(2，5)2+(6-R)2,解得R=4,

所以球的表面積3=4幾相=64肛故選D.

(2)如圖所示，由于三棱錐P-ABC每對異面的棱的長度都相等，

所以該三棱錐可以補形成一個長方體，且該長方體各面上的對角線

長分別為?,3,4,設該長方體的長、寬、高分別為％b,c,且不

妨設。2+力2=(，77)2=［［,/>24-C2=32=9,a24-c2=42=16,

所以a24-Z?2+c2=18,

所以三棱錐外接球的直徑為、廬麗球.

47r

故外接球的體積為

［答案］(DD⑵八?r

［方法技巧］

1.求解幾何體外接球的半徑的思路

一是根據(jù)球的截面的性質，如本例(1),利用球的半徑R、截面圓的半徑,及球心到截

面圓的距離d三者的關系中=/+廨求解，其中，確定球心的位置是關鍵；二是將幾何體

補成長方體，如本例(2),利用該幾何體與長方體共有外接球的特征，由外接球的直徑等于

長方體的體對角線長求解.

2.解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問

題求解，其解題的思維流程是：

及嬴口石盛良而訪纂而贏百萬奈而金毒而蓍直后軍直；

笠丁如果是外接球，則球心到接點的距離相等且為半徑：

［―L-i區(qū)灌區(qū)植拓慶松山質畝（事必看法83袍3有

作被面H包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的：

:關系），達到空間問題平面化的目的

求半徑、場套市F而淳市,而元有溫床:正正吳宇京淳碩

下結論7方程，并求解1

［針對訓練］

1.將半徑為3,圓心角為M的扇形圍成一個圓錐（接縫處忽略不計），則該圓錐的內切

球的體積為（）

A?3B?3

47r

C.yD.2n

解析：選A設圓錐的底面半徑為r,高為九則2口=空X3,：,r=L：.h=yl32-l2=

2隹設圓錐內切球的半徑為K,^2^2—R=y'K=乎，'八甘球』；7rx

故選A.

2.如圖，在三棱錐A?BCD中，ADLBD,AC±BCtZDAB=^tABAC

o

=￡.三棱錐的外接球的表面積為16處則該三棱錐的體積的最大值為（）

ZR逋

A?B.3

n14

D.q~

解析：選B設外接球的半徑為凡由題意得，462=16處解得K=2.由題意知△AO5,

△4〃。都是直角三角形，所以三棱錐A?5CD的外接球的球心為A3的中點，且48=4.由

ZDAB=^fNB4C=%可求得＜。=2巾，BD=2fAC=BC=2，5.當三棱錐4毋CO的體

積最大時，平面4OBJ?平面A8C.所以三棱錐的體積的最大值為V^A.BCD=VC.ABD=I

X^X2X2bX2=￥.故選B.

3.已知三棱錐S-A3C的底面是以A3為斜邊的等腰直角三角形，AIi=2fSA=SB=

SC=2,則三棱錐S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距離是（）

亞

A.-yB.1

C幣

解析：選A???三棱錐S?A5C的底面是以A5為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC

=2,

，S在底面ABC內的射影為AB的中點.

設A3的中點為"，連接S",C"（圖略），

??.S”J■平面AbC,???SH上任意一點到A,B,C的距離相等，易知SH=J3,CH=lf

，在RtZiS”C中，N〃SC=30。.在平面SHC內作SC的垂直平分線MO,交SH于點

0,交SC于點M,

則0為三棱錐S-ABC的外接球的球心.

VSC=2,，SM=1,又NOSAf=30。，：.S0=^,坐工球心。到平面ABC

的距離為W，故選A.

［課時跟蹤檢測］

一、綜合練一練思維敏銳度

1.正三棱錐底面邊長為“，高為*”,則此正三棱錐的側面積為（）

解析：選A因為底面正三角形中高為半a,其重心到頂點距離為乎aX：=乎%且棱

錐高為乎明所以利用勾股定理可得側棱長為斜高為所

以側面積為5=3乂9乂4乂9=弓。2.

2.如圖，在四邊形HBCD中，ZDAB=90°,ZADC=135°,AB=5fCDS.

=2吸，AD=2t則四邊形ABQD繞AO所在直線旋轉一周所成幾何體的表'［\

面積為（）

A.（15+也）江B.2（15+V2）n

C.4（15+^2）71D.（15+4a）江

2

解析：選CS*=SB^*4-SB^^4-SBM?*=7TX54-71X（2+5）X5+71X2X2^2=4（15

+也）兀故選C.

3.魏晉時期數(shù)學家劉徽在他的著作《九章算術注》中，稱一個正方體內兩個互相垂直

的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與

“牟合方蓋”的體積之比應為加：4,若“牟合方蓋”的體積為18,則正方體的梭長為（）

A.18B.6

C.3D.2

解析：選C因為“牟合方蓋”的體積為18,所以該正方體的內切球的體積為18Xj=

設正方體的棱長為則該正方體的內切球半徑為今所以;71乂0=*：,解得。=3,

故選C.

4.（2021?重慶八中期末）唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆

繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的

組合體（假設內壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示，已知球的半徑為K,酒杯內壁表

面積為爭求T設酒杯上部分（圓柱）的體積為必，下部分（半球）的體積為匕，則卷=（）

A.2B】C4D.1

解析：選C設酒杯上部分商為心則酒杯內壁表面積5=；乂4元火2+2加心=4江2,

233

解得〃/.Vi=nRh=^nR^tV2=1x|nZ?=1n/?,

5.（多選）如圖，長方體4OCD-A田C處的底面是正方形，AAt=2ARt

E是Od的中點，貝!1（）

A.△5|EC為直角三角形

B.CE//AiB

C.三棱錐Ci-ZJ.CE的體積是長方體體積的1

D.三棱錐CrBiCA的外接球的表面積是正方形ABCD面積的67r倍

解析：選ACD令AAi=2AB=2a,在△bi￡C中，BiE=0,EC=yflatBiC=y[Sat

所以81￡2+后。=/。，則△/EC為直角三角形，故A正確；

因為45與。C平行，而CE與OiC相交，所以CE與AiB不平行，故B錯誤；

三棱錐G出CE的體積為V.=V,=lx^X2aXaXa=j

CiBiCEBtCiCEt匕4BC0-4BiG&i=

2a3,則三棱維G毋iCE的體積是長方體體積的也故C正確;

因為三棱錐Ci-BiCDi的外接球就是長方體ABCD-AiBiCxDx的外接球，所以三棱攤

,,....,,r\/a24-a2d-(2a)2y[6a

vf

Ci-BiCDi的外接球半徑R4----2-=2三棱錐Ci-BiCDi的外接球的表面積為S

=47rXl）2=6fl27t,又S正方艙A0s=。2,所以三棱鋒C1-B1CD1的外接球的表面積是正方形

AbCD面積的6幾倍，故D正確，故選A、C、D.

6J2020?全國卷I）已知A,&C為球0的球面上的三個點，001為AABC的外接圓.若

0O1的面積為4小AB=BC=AC=OOif則球。的表面積為（）

A.647rB.487r

C.367r