非周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

非周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)非周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)第七節(jié)中所討論的函數(shù)都是定義在(－∞,+∞)內(nèi)的周期函數(shù)，對于這種函數(shù)只要它在一個區(qū)間內(nèi)滿足收斂定理的條件，就能將它展開成傅里葉級數(shù).但在波動和熱傳導(dǎo)問題中，常要將定義在區(qū)間［a,b］上的滿足收斂定理?xiàng)l件的非周期函數(shù)f(x)展開成傅里葉級數(shù).第七節(jié)已介紹了如何將周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，所以要把非周期函數(shù)展開，就要對非周期函數(shù)進(jìn)行改造，將非周期函數(shù)轉(zhuǎn)化為周期函數(shù)，這就是延拓的方法.一、定義在區(qū)間［－l,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)設(shè)f(x)是一個定義在［－l,l］上且滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù),下面來討論它的傅里葉級數(shù)展開的問題.事實(shí)上，可在［-l,l)或(－l,l］外補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義，使它延拓成周期為2l的周期函數(shù)F(x).這種拓廣函數(shù)定義域的過程稱為周期延拓.于是，將F(x)展開成傅里葉級數(shù)一、定義在區(qū)間［－l,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)一、定義在區(qū)間［－l,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)【例53】一、定義在區(qū)間［－l,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)一、定義在區(qū)間［－l,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)圖11-2一、定義在區(qū)間［－l,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)【例54】一、定義在區(qū)間［－l,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、定義在區(qū)間［0,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)設(shè)f(x)是一個定義在［0,l］上且滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù),那么如何將f(x)展開成傅里葉級數(shù)呢？事實(shí)上，仍可用前面介紹的延拓法，即先在開區(qū)間(-l，0)內(nèi)補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義，得到定義在(－l,l］上的函數(shù)，再將其延拓為以2l為周期的函數(shù)，就可求其傅里葉級數(shù)了.在(-l,0)內(nèi)如何補(bǔ)充定義沒有什么限制，但若補(bǔ)充后成為(-l,l)上的奇函數(shù)或偶函數(shù)，則計(jì)算傅里葉級數(shù)可以簡便一些.因此，下面來討論展開函數(shù)為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)的方法.二、定義在區(qū)間［0,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)奇延拓——函數(shù)展開成正弦級數(shù)1.補(bǔ)充f(x)的定義使它在(-l,l)上成為奇函數(shù)時，若f(0)≠0，規(guī)定F(0)=0.注二、定義在區(qū)間［0,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、定義在區(qū)間［0,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)偶延拓——函數(shù)展開成余弦級數(shù)2.三、定義在區(qū)間［a,b］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、定義在區(qū)間［a,b］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)【例57】將函數(shù)fx=10－x(5<x<15)展開成傅里葉級數(shù).解令t=x－10(5<x<15),則f(x)=f(t+10)=－t=F(t)(－5<t<5),

補(bǔ)充定義F(－5)=5,然后將F(t)作周期延拓(T=10),拓廣后的函數(shù)滿足收斂定理的條件,且展開式在(－5,5)內(nèi)收斂