函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性

已經(jīng)會用初等數(shù)學(xué)的方法研究一些函數(shù)的單調(diào)性和某些簡單函數(shù)的性質(zhì)，但這些方法使用范圍狹小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性.本節(jié)將以導(dǎo)數(shù)為工具，介紹判斷函數(shù)單調(diào)性的簡便且具有一般性的方法.

首先從函數(shù)y=f(x)的圖形上進行直觀的分析.如圖3-6所示，函數(shù)y=f(x)的圖形在區(qū)間(a,b)內(nèi)沿x軸的正向上升，除點(ξ,f(ξ))的切線平行于x軸外，曲線上其余點處的切線與x軸的夾角均為銳角，即曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)除個別點外,曲線上其余各點切線的斜率為正.第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性

如圖3-7所示，函數(shù)y=f(x)的圖形在區(qū)間(a,b)內(nèi)沿x軸的正向下降，除個別點外，曲線上其余點處的切線與x軸的夾角均為鈍角，即曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)除個別點外切線的斜率為負.由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系.反過來，能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？為此，給出如下定理.第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性定理設(shè)函數(shù)y=f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).（1）若在(a,b)內(nèi)f′(x)>0，則函數(shù)y=f(x)在［a,b］上單調(diào)增加.（2）若在(a,b)內(nèi)f′(x)<0，則函數(shù)y=f(x)在［a,b］上單調(diào)減少.定理第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性

證明任取兩點x1,x2∈(a,b)，設(shè)x1<x2，由拉格朗日中值定理知，存在ξ(x1<ξ<x2)，使得f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1).（1）若在(a,b)內(nèi)，f′(x)>0，則f′(ξ)>0，所以f(x2)>f(x1),即y=f(x)在［a,b］上單調(diào)增加.（2）若在(a,b)內(nèi)，f′(x)<0，則f′(ξ)<0，所以f(x2)<f(x1),即y=f(x)在［a,b］上單調(diào)減少.第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性（1）將此定理中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間(包括無窮區(qū)間)，結(jié)論仍成立.（2）函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用導(dǎo)數(shù)在一點處的符號來判別函數(shù)在一個區(qū)間上的單調(diào)性，區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零并不影響函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性.例如，函數(shù)y=x3在其定義域(－∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的，但其導(dǎo)數(shù)y′=3x2在x=0處為零.也就是說，將定理中的f′x>0與f′x<0換成f′x≥0與f′x≤0（等號只在個別點處成立），定理的結(jié)論仍成立.注意第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性

討論函數(shù)f(x)=x－ln(1+x)在區(qū)間［0,+∞)上的單調(diào)性.

解

函數(shù)f(x)=x－ln(1+x)在區(qū)間［0,+∞)上連續(xù)，在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且有由本節(jié)定理知，函數(shù)f(x)=x－ln(1+x)在區(qū)間［0,+∞)上單調(diào)增加.如果函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則稱該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.稱導(dǎo)數(shù)為零的點為函數(shù)的駐點.【例1】第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)本節(jié)定理不難驗證，函數(shù)y=x2及y=x在(－∞,0］內(nèi)單調(diào)減少，在［0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.分別考察這兩個函數(shù)在單調(diào)區(qū)間分界點處的導(dǎo)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，y=x2在點x=0處的導(dǎo)數(shù)為0，y=x點x=0處不可導(dǎo)（即導(dǎo)數(shù)不存在）.一般地，函數(shù)y=f(x)在單調(diào)區(qū)間的分界點處，要么導(dǎo)數(shù)等于0，要么導(dǎo)數(shù)不存在.由此，可按下述步驟來討論函數(shù)fx的單調(diào)性：（1）求出函數(shù)的定義域.（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的所有可能的分界點，即函數(shù)的駐點和f′x不存在的點.（3）用分界點將定義域分成若干小區(qū)間.（4）判斷在各小區(qū)間內(nèi)f′x的符號，然后確定函數(shù)在每個小區(qū)間中的單調(diào)性.第四節(jié)、函數(shù)的單調(diào)性

討論函數(shù)f(x)=2x2－lnx的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域為0,+∞.令f′(x)=0,其駐點x=1/2.它將定義域分成兩個區(qū)間(0,1/2],[1/2,+∞).在區(qū)間(0,1/2)內(nèi),f′(x)<0,則f(x)在(0,1/2]上單調(diào)減少;在(1/2,+∞)內(nèi),f′(x)>0,則f(x)在[1/2,+∞)上單調(diào)增加.【