函數(shù)的單調(diào)性的判定法

函數(shù)的單調(diào)性的判定法函數(shù)的單調(diào)性的判定法已經(jīng)會(huì)用初等數(shù)學(xué)的方法研究一些函數(shù)的單調(diào)性和某些簡(jiǎn)單函數(shù)的性質(zhì)，但這些方法使用范圍狹小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性.本節(jié)將以導(dǎo)數(shù)為工具，介紹判斷函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)便且具有一般性的方法.

函數(shù)的單調(diào)性的判定法首先從函數(shù)y=f(x)的圖形上進(jìn)行直觀的分析.如圖4-5所示，函數(shù)y=f(x)的圖形在區(qū)間(a,b)內(nèi)沿x軸的正向上升，除點(diǎn)(ξ,f(ξ))的切線平行于x軸外，曲線上其余點(diǎn)處的切線與x軸的夾角均為銳角，即曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)除個(gè)別點(diǎn)外切線的斜率為正.圖4-5函數(shù)的單調(diào)性的判定法如圖4-6所示，函數(shù)y=f(x)的圖形在區(qū)間(a,b)內(nèi)沿x軸的正向下降，除個(gè)別點(diǎn)外，曲線上其余點(diǎn)處的切線與x軸的夾角均為鈍角，即曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)除個(gè)別點(diǎn)外切線的斜率為負(fù).由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系.圖4-6函數(shù)的單調(diào)性的判定法

反過(guò)來(lái)，能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？為此，給出如下定理.函數(shù)的單調(diào)性的判定法定理8設(shè)函數(shù)y=f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

(1)若在(a,b)內(nèi)f′(x)>0，則函數(shù)y=f(x)在［a,b］上單調(diào)增加.

(2)若在(a,b)內(nèi)f′(x)<0，則函數(shù)y=f(x)在［a,b］上單調(diào)減少.

證任取兩點(diǎn)x1,x2∈(a,b)，設(shè)x1<x2，由拉格朗日中值定理知，存在ξ(x1<ξ<x2)，使得f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1).

(1)若在(a,b)內(nèi)，f′(x)>0，則f′(ξ)>0，所以f(x2)>f(x1),

即y=f(x)在［a,b］上單調(diào)增加.函數(shù)的單調(diào)性的判定法(2)若在(a,b)內(nèi)，f′(x)<0，則f′(ξ)<0，所以f(x2)<f(x1),

即y=f(x)在［a,b］上單調(diào)減少.

函數(shù)的單調(diào)性的判定法(1)將此定理8中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間(包括無(wú)窮區(qū)間)，結(jié)論仍成立.(2)函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的符號(hào)來(lái)判別函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零并不影響函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性.例如，函數(shù)y=x3在其定義域(－∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的，但其導(dǎo)數(shù)y′=3x2在x=0處為零.也就是說(shuō)，將定理中的f′x>0與f′x<0換成f′x≥0與f′x≤0(等號(hào)只在個(gè)別點(diǎn)處成立)，定理8的結(jié)論仍成立.注函數(shù)的單調(diào)性的判定法討論函數(shù)f(x)=x－ln(1+x)在區(qū)間［0,+∞)上的單調(diào)性.解函數(shù)f(x)=x－ln(1+x)在區(qū)間［0,+∞)上連續(xù)，在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且有由本節(jié)定理知，函數(shù)f(x)=x－ln(1+x)在區(qū)間［0,+∞)上單調(diào)增加.如果函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則稱該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.稱導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn).

【例24】函數(shù)的單調(diào)性的判定法根據(jù)本節(jié)定理不難驗(yàn)證，函數(shù)y=x2及y=x在(－∞,0］內(nèi)單調(diào)減少，在［0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.分別考察這兩個(gè)函數(shù)在單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，y=x2在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)為零，y=x點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)(即導(dǎo)數(shù)不存在).一般地，函數(shù)y=fx在單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)處，要么導(dǎo)數(shù)等于0，要么導(dǎo)數(shù)不存在.由此，可按下述步驟來(lái)討論函數(shù)fx的單調(diào)性：(1)求出函數(shù)的定義域.

(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的所有可能的分界點(diǎn)，即函數(shù)的駐點(diǎn)和f′x不存在的點(diǎn).

(3)用分界點(diǎn)將定義域分成若干小區(qū)間.

(4)判斷在各小區(qū)間內(nèi)f′x的符號(hào)，然后確定函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間中的單調(diào)性.

函數(shù)的單調(diào)性的判定法討論函數(shù)f(x)=2x2－ln

x的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞.【例25】函數(shù)的單調(diào)性的判定法討