微分中值定理

微分中值定理一、羅爾中值定理

如圖3-1所示，函數(shù)y=f（x）（x∈［a，b］）是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，且兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可以發(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處，曲線有水平的切線．如果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把這個(gè)幾何現(xiàn)象描述出來(lái)，就可得到下面的羅爾中值定理(簡(jiǎn)稱羅爾定理)．

羅爾定理如果函數(shù)f（x）滿足下面三個(gè)條件：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）在閉區(qū)間［a，b］端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b）.那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（ξ∈（a，b）），使得函數(shù)f（x）在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即f′（ξ）=0.一、羅爾中值定理值得注意的是，羅爾定理要求f（x）應(yīng)同時(shí)滿足三個(gè)條件，若函數(shù)f（x）滿足定理的三個(gè)條件，則曲線y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，至少有一條水平切線；若函數(shù)f（x）不能同時(shí)滿足定理的三個(gè)條件，則曲線y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，可能就沒(méi)有水平切線．例如,函數(shù)f（x）=|x|，x∈［-1，1］,函數(shù)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo),不滿足定理中可導(dǎo)的條件,如圖3-2所示,顯然,曲線沒(méi)有水平切線.一、羅爾中值定理又如函數(shù)g（x）=x，x∈［0，2］,因?yàn)間（0）=0，g（2）=2,如圖3-3所示,兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值不相等,顯然,曲線也沒(méi)有水平切線.由于羅爾定理的結(jié)論相當(dāng)于確定方程f′（x）=0在（a，b）內(nèi)有根，故常常利用羅爾定理來(lái)證明方程的根的存在性．一、羅爾中值定理

設(shè)f（x）在［1，e］上連續(xù)，在（1，e）上可導(dǎo)，且f（1）=0，f（e）=1．證明方程f′（x）=1/x在（1，e）上至少有一個(gè)實(shí)根．

證

因?yàn)椋╨nx）′=1x,不妨構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-lnx，顯然F（x）在［1，e］上也連續(xù)，在（1，e）上可導(dǎo)，且F（1）=f（1）-ln1=0，F(xiàn)（e）=f（e）-lne=0.即F（1）=F（e）.由羅爾定理得，存在一點(diǎn)ξ∈（1，e），使得F′（ξ）=0，而F′（ξ）=f′（ξ）-1/ξ=0.即存在一點(diǎn)ξ∈（1，e），使得f′（x）=1/x成立．【例1】一、羅爾中值定理羅爾定理表明，若連結(jié)曲線兩端的弦是水平的，則曲線上必有一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線也是水平的．如果將曲線轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這時(shí)弦與切線的水平性雖被破壞了，但它們相互平行的性質(zhì)仍保持，進(jìn)而得到下面的定理．一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）滿足下面兩個(gè)條件：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo).那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（ξ∈（a，b）），使得或f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立.拉格朗日中值定理的幾何意義是:如果在連續(xù)曲線y=f（x）的圖形上，除端點(diǎn)外具有不垂直于x軸的切線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，使得曲線在這一點(diǎn)處的切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)連結(jié)起來(lái)的直線，如圖3-4所示．二、拉格朗日中值定理

容易看出，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f（a）=f（b）時(shí)的特殊情況，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣．由拉格朗日中值定理可以得到下面的推論：推論設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)恒有f′（x）=0，那么在區(qū)間I內(nèi)函數(shù)f（x）=C，其中C為常數(shù)．二、拉格朗日中值定理

事實(shí)上，在區(qū)間I內(nèi)任意取兩個(gè)點(diǎn)x1，x2，不妨設(shè)x1<x2，應(yīng)用拉格朗日中值定理，有f（x2）-f（x1）=f′（ξ）（x2-x1），ξ∈（x1，x2），由于函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)恒有f′（x）=0，則f′（ξ）=0，故等式右端為零，即f（x1）=f（x2），這表明在區(qū)間I內(nèi)任意兩點(diǎn)處的函數(shù)值都相等，也就是說(shuō)，函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)是一個(gè)常數(shù)．二、拉格朗日中值定理

證明恒等式arcsinx＋arccosx=π/2，|x|≤1．證設(shè)函數(shù)f（x）=arcsinx＋arccosx，|x|≤1，則函數(shù)f（x）在［-1，1］上連續(xù)，在（-1，1）內(nèi)可導(dǎo)，且【例2】二、拉格朗日中值定理由推論知，當(dāng)|x|<1時(shí)，f（x）=arcsinx＋arccosx=C，其中C為常數(shù)．令x=0，則C=f（0）=arcsin0＋arccos0=π/2，從而arcsinx＋arccosx=π/2，x∈（-1，1）.當(dāng)x=±1時(shí)，上式仍然成立.故當(dāng)|x|≤1時(shí)，arcsinx＋arccosx=π/2.二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理

下面考慮由參數(shù)方程x=g（t），給出的曲線，兩個(gè)端點(diǎn)為A（g（a），f（a）），B（g（b），f（b））．連結(jié)端點(diǎn)的弦AB（見圖3-5）。其斜率為f（b）-f（a）g（b）-g（a）．又曲線的切線斜率為f′（t）g′（t），根據(jù)曲線上總存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），該點(diǎn)的切線與弦平行，可得把上面的結(jié)論寫成定理即柯西中值定理．

柯西中值定理如果函數(shù)f（x）及g（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0，則存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得很明顯,如果g（x）=x,那么g′（x）=1,g（b）-g（a）=b-a,上式就可以寫成這就是拉格朗日中值定理,這說(shuō)明,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.三、柯西中值定理

設(shè)