微分中值定理

微分中值定理一、羅爾中值定理

如圖3-1所示，函數(shù)y=f（x）（x∈［a，b］）是一條連續(xù)的曲線弧，除端點外處處有不垂直于x軸的切線，且兩個端點的縱坐標相等，可以發(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點或最低點處，曲線有水平的切線．如果用數(shù)學語言把這個幾何現(xiàn)象描述出來，就可得到下面的羅爾中值定理(簡稱羅爾定理)．

羅爾定理如果函數(shù)f（x）滿足下面三個條件：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；（3）在閉區(qū)間［a，b］端點的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b）.那么在（a，b）內(nèi)至少有一點ξ（ξ∈（a，b）），使得函數(shù)f（x）在該點的導數(shù)等于零，即f′（ξ）=0.一、羅爾中值定理值得注意的是，羅爾定理要求f（x）應同時滿足三個條件，若函數(shù)f（x）滿足定理的三個條件，則曲線y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，至少有一條水平切線；若函數(shù)f（x）不能同時滿足定理的三個條件，則曲線y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，可能就沒有水平切線．例如,函數(shù)f（x）=|x|，x∈［-1，1］,函數(shù)在點x=0處不可導,不滿足定理中可導的條件,如圖3-2所示,顯然,曲線沒有水平切線.一、羅爾中值定理又如函數(shù)g（x）=x，x∈［0，2］,因為g（0）=0，g（2）=2,如圖3-3所示,兩個端點處函數(shù)值不相等,顯然,曲線也沒有水平切線.由于羅爾定理的結(jié)論相當于確定方程f′（x）=0在（a，b）內(nèi)有根，故常常利用羅爾定理來證明方程的根的存在性．一、羅爾中值定理

設(shè)f（x）在［1，e］上連續(xù)，在（1，e）上可導，且f（1）=0，f（e）=1．證明方程f′（x）=1/x在（1，e）上至少有一個實根．

證

因為（lnx）′=1x,不妨構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-lnx，顯然F（x）在［1，e］上也連續(xù)，在（1，e）上可導，且F（1）=f（1）-ln1=0，F(xiàn)（e）=f（e）-lne=0.即F（1）=F（e）.由羅爾定理得，存在一點ξ∈（1，e），使得F′（ξ）=0，而F′（ξ）=f′（ξ）-1/ξ=0.即存在一點ξ∈（1，e），使得f′（x）=1/x成立．【例1】一、羅爾中值定理羅爾定理表明，若連結(jié)曲線兩端的弦是水平的，則曲線上必有一點，該點的切線也是水平的．如果將曲線轉(zhuǎn)一個角度，這時弦與切線的水平性雖被破壞了，但它們相互平行的性質(zhì)仍保持，進而得到下面的定理．一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）滿足下面兩個條件：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導.那么在（a，b）內(nèi)至少有一點ξ（ξ∈（a，b）），使得或f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立.拉格朗日中值定理的幾何意義是:如果在連續(xù)曲線y=f（x）的圖形上，除端點外具有不垂直于x軸的切線，那么在曲線上至少有一點，使得曲線在這一點處的切線平行于兩個端點連結(jié)起來的直線，如圖3-4所示．二、拉格朗日中值定理

容易看出，羅爾定理是拉格朗日中值定理當f（a）=f（b）時的特殊情況，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣．由拉格朗日中值定理可以得到下面的推論：推論設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)恒有f′（x）=0，那么在區(qū)間I內(nèi)函數(shù)f（x）=C，其中C為常數(shù)．二、拉格朗日中值定理

事實上，在區(qū)間I內(nèi)任意取兩個點x1，x2，不妨設(shè)x1<x2，應用拉格朗日中值定理，有f（x2）-f（x1）=f′（ξ）（x2-x1），ξ∈（x1，x2），由于函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)恒有f′（x）=0，則f′（ξ）=0，故等式右端為零，即f（x1）=f（x2），這表明在區(qū)間I內(nèi)任意兩點處的函數(shù)值都相等，也就是說，函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)是一個常數(shù)．二、拉格朗日中值定理

證明恒等式arcsinx＋arccosx=π/2，|x|≤1．證設(shè)函數(shù)f（x）=arcsinx＋arccosx，|x|≤1，則函數(shù)f（x）在［-1，1］上連續(xù)，在（-1，1）內(nèi)可導，且【例2】二、拉格朗日中值定理由推論知，當|x|<1時，f（x）=arcsinx＋arccosx=C，其中C為常數(shù)．令x=0，則C=f（0）=arcsin0＋arccos0=π/2，從而arcsinx＋arccosx=π/2，x∈（-1，1）.當x=±1時，上式仍然成立.故當|x|≤1時，arcsinx＋arccosx=π/2.二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理

下面考慮由參數(shù)方程x=g（t），給出的曲線，兩個端點為A（g（a），f（a）），B（g（b），f（b））．連結(jié)端點的弦AB（見圖3-5）。其斜率為f（b）-f（a）g（b）-g（a）．又曲線的切線斜率為f′（t）g′（t），根據(jù)曲線上總存在一點ξ∈（a，b），該點的切線與弦平行，可得把上面的結(jié)論寫成定理即柯西中值定理．

柯西中值定理如果函數(shù)f（x）及g（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，且g′（x）≠0，則存在一點ξ∈（a，b），使得很明顯,如果g（x）=x,那么g′（x）=1,g（b）-g（a）=b-a,上式就可以寫成這就是拉格朗日中值定理,這說明,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.三、柯西中值定理

設(shè)