2021新高考二輪復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)第二編 專題五 規(guī)范答題系列四

規(guī)范答題系列四

立體幾何類解答題

例

（2020?新高考卷I）（12分）如圖，四棱錐尸-ABCO的底面為正方形,

底面4BCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為I.

⑴證明：LL平面P0C;

（2）已知尸。=AZ）=1,。為/上的點(diǎn)，求與平面。。所成角的正弦值的

最大值.

解題思路（1）先證4?！ㄆ矫媸?C,從而得到4?！?,再由AO_LOC,AD1

PD,得到Z±DC,ILPD,結(jié)合線面垂直的判定定理，得到讓平面PDC；（2）建

立空間直角坐標(biāo)系，得到P8的坐標(biāo)，設(shè)。（機(jī)，0,1）,求出平面QCO的一個(gè)法向

量〃，寫(xiě)出與平面QC。所成角的正弦值關(guān)于m的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求

解.

解⑴證明：在正方形A8CO中，ADHBC,

因?yàn)锳OT平面PBC,BCu平面PBC,

所以A?！ㄆ矫鍼BC,（1分）

又因?yàn)锳Du平面以。，平面%0n平面PBC=/,

所以A。〃/.（2分）

因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，底面A3CD是正方形，所以AO_LOC,所以LLOC,

又PO_L平面ABCO,所以AO_LPO,所以/_LPD（4分）

因?yàn)?。cnpo=。，所以/j_平面POC(5分)

⑵如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。9z,

因?yàn)槭?=43=1,則有。(()，0,0),C(0,1,0),因?yàn)?,0),因0,0,1),

8(1,1,0),

設(shè)。(加,0,1),則有少C=(0,1,0),DQ=(m,0,1),P5=(l,1,-1).(6

分)

設(shè)平面QC。的法向量為〃=(x,y,z),

[DCH=0,

y=os

則即

mx+z=0,

^DQ,zi=0,

令工=1,貝ljz=-m,

所以平面QCO的一個(gè)法向量為〃=(1,0,-〃z),(8分)

nPB1+0+w

則cos<n,PB>2

—?y[3Xyjm+1

\n\\PB\

根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平

面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于

|1+tn\正義+2m+nf

</i,PB〉|=

V3X^'m2+13*Vm2+1

《坐義勺1+1二半,

當(dāng)且僅當(dāng)"2=1時(shí)取等號(hào)，（11分）

所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為坐.（12分）

踩點(diǎn)得分

1.由線面平行的判定定理證明AO〃平面P8C給1分.

2.由線面平行的性質(zhì)定理證明AO〃/給1分.

3.由直線與平面垂直證明直線與直線垂直給2分.

4.由線面垂直的判定定理證明/JL平面POC給1分.

5.由底面AU8為矩形，/7），底面4，。力，建立空間直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出

相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)給1分.

6.求平面QCD的一個(gè)法向量給2分.

7.求直線與平面所成角的正弦值的最大值，給3分.

8.作答給出結(jié)論給1分.

答題啟示

1.寫(xiě)全得分條件，證明線面平行時(shí)，一定要說(shuō)明平面內(nèi)的直線和平面外的直

線.

2.寫(xiě)明得分關(guān)鍵，利用法向量求解空間角時(shí)，要構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,

準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，賦值法求出平面的法向量，利用公式求出直線的方向向

量與平面的法向量夾角的余弦值或兩平面法向量的夾角，從而求出要求的線面角

或二面角的三角函數(shù)值.其中二面角要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征判斷其取值范圍.

［跟蹤訓(xùn)練1

（12分）如圖所示,在幾何體ABCDE中，△入水:是等邊三角形,AE1平面ABC,

CDIIAE,ELCD=2AE=2AC.

D

⑴試在線段B。上確定點(diǎn)”的位置，使平面BCD并證明；

⑵求二面角E-BC-D的余弦值.

解（1）當(dāng)點(diǎn)M為的中點(diǎn)時(shí)，平面8CD（1分）

證明如下：取8c的中點(diǎn)F,連接MF,

：.MFIICD且MF=gcD.

又AE〃CD,AE=^CD,

/.M/7//AE且M/uAE,

四邊形AEMF為平行四邊形，

'EMIIAF.Q分）

又AE_L平面ABC,CDIIAE,8J__平面ABC,

又COu平面BCD,平面3co_L平面ABC,（3分）

?「△ABC是等邊三角形，「.A尸18C,

又平面ABCA平面BCD=8C,「.Abi平面BCD,（5分）

」.EMI平面8CD（6分）

⑵由⑴知，M,FB,尸M兩兩互相垂直，以尸為原點(diǎn)，F(xiàn)A,FB,尸M所在的

直線分別為工軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)4E=AC=2,貝ljCD=4,

.,.C(0,-1,0),B(0,1,0),E巾,0,2),

??.CE=(?1,2),BE=(6-1,2).(7分)

設(shè)平面E8C的法向量為界=(x,y,z),

?CE=0,小工+>+2z=0,

則，即1.解得y=0,

—?yj3x-y+2z=0,

n-BE=0,

32

令

則

X=z=--=仇

2_27,(9分)

由(1)知，平面8CO的一個(gè)法向量為次二(1,0,0