電磁場(chǎng)與電磁波習(xí)題答案

概論MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習(xí)題11.1給定兩矢量和，求它們之間的夾角，以及在上的分量。解：由得到與之間的夾角在上的分量為1.2已知無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電場(chǎng)的矢量形式為 寫(xiě)出在直角坐標(biāo)系中該電場(chǎng)的分量形式。解：由得到1.3給定兩矢量和，求在上的分量。解：在上的分量即為1.4已知無(wú)限長(zhǎng)線電流的磁場(chǎng)的矢量形式為 寫(xiě)出在直角坐標(biāo)系中該磁場(chǎng)的分量形式。解：由得到1.5已知點(diǎn)的柱坐標(biāo)為，請(qǐng)寫(xiě)出在點(diǎn)的柱坐標(biāo)單位矢量在直角坐標(biāo)系中的分量形式。解：由得1.6已知點(diǎn)的球坐標(biāo)為，請(qǐng)寫(xiě)出在點(diǎn)的球坐標(biāo)單位矢量在直角坐標(biāo)系中的分量形式。解：由得1.7已知標(biāo)量場(chǎng)，求梯度為0的點(diǎn)的位置。解：由得到1.8記球面上的點(diǎn)處的法向單位矢量為，求標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿法向的方向?qū)?shù)。解：先求法向單位矢量，由得到再求梯度得到方向?qū)?shù)1.9已知矢量場(chǎng)，求通過(guò)圖示正方體（中心在原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2）的右側(cè)面的通量。圖題1.9解：在右側(cè)面上，有1.10利用高斯定理，求上題中的矢量場(chǎng)通過(guò)圖題1.9所示正方體表面的通量。解：先求散度從而得到1.11已知矢量場(chǎng)，求沿著圖示正方形（位于平面，中心在原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2）的環(huán)量。圖題1.11解：如圖，根據(jù)環(huán)量的定義直接求得1.12已知矢量場(chǎng)，求在點(diǎn)處沿著方向的環(huán)量面密度。解：先求旋度又所以沿的環(huán)量面密度1.13利用斯托克斯定理，求矢量場(chǎng)沿圖示三角形的環(huán)量。圖題1.13解：先求矢量場(chǎng)的旋度又有所以根據(jù)斯托克斯定理，所求環(huán)量1.14空間電位分布和電荷分布滿足泊松方程，若已知電位 其中為場(chǎng)點(diǎn)到軸距離，、、、和均為常數(shù)。求電荷分布。解：在直角坐標(biāo)系中求解，在時(shí)，有根據(jù)泊松方程有在時(shí)，有所以1.15已知矢量場(chǎng)，求穿過(guò)圖示八分之一球面的通量。（球面半徑為1）圖題1.15解：由于所以矢量場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)。直接求曲面的通量較為困難，可以轉(zhuǎn)而求與曲面共邊界的其它曲面的通量，比如在三個(gè)扇形、和上的通量分別為所以有1.16求矢量場(chǎng)沿著圖示拋物線從原點(diǎn)到點(diǎn)的曲線積分。已知拋物線方程為 圖題1.16解：易證，所以矢量場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，可以選從到的任意路徑求曲線積分，比如如圖所示，其中、和分別為沿著坐標(biāo)軸的長(zhǎng)度為1的路徑，且有所以有靜電場(chǎng)MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習(xí)題22.1已知一帶電細(xì)桿，桿長(zhǎng)為,其線電荷密度,其中為常數(shù)，求桿上的總電荷量。解：桿上的總電荷量為2.2已知半徑為的帶電球體的電荷密度為，求球體內(nèi)的總電荷量。解：球體內(nèi)的總電荷量為2.3在一條直線上等距分布有四個(gè)點(diǎn)電荷，它們是否能處于靜止平衡狀態(tài)？如果能，它們的帶電荷量應(yīng)該滿足什么條件？圖題2.3解：如圖，設(shè)點(diǎn)電荷之間的距離為，從左到右依次分布著、、和，根據(jù)庫(kù)倫定律，可列出各點(diǎn)電荷的靜電平衡條件化簡(jiǎn)得到此方程只有零解，說(shuō)明這四個(gè)點(diǎn)電荷不能處于靜止平衡狀態(tài)。2.4如圖所示，真空中有一邊長(zhǎng)為1的正六邊形，六個(gè)頂點(diǎn)都放有點(diǎn)電荷，求六邊形中心??的場(chǎng)強(qiáng)大小。圖題2.4解：如圖，從最左側(cè)的點(diǎn)電荷開(kāi)始，順時(shí)針給點(diǎn)電荷依次編號(hào)1到6，分別求出個(gè)點(diǎn)電荷在中心??的場(chǎng)強(qiáng)為，，，從而得到總場(chǎng)強(qiáng)此題從對(duì)稱(chēng)性也易看出，中心的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)該為0。2.5一半徑為的帶電球體，其電荷體密度分布為 其中為一常量．試求球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。解：電荷分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性，取一個(gè)半徑為的高斯球面，根據(jù)靜電場(chǎng)的高斯定理有，和，因此得到2.6已知真空中的靜電場(chǎng)的表達(dá)式為，求在點(diǎn)處的電荷密度。解：靜電場(chǎng)的旋度為0，因此有得到，即有根據(jù)靜電場(chǎng)的高斯定理，得到電荷密度2.7邊長(zhǎng)為的立方盒子的六個(gè)面，分別平行于、和平面。盒子的一角在坐標(biāo)原點(diǎn)處。在此區(qū)域有一靜電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為。試求穿過(guò)各面的電通量。圖題2.7解：如圖，在各面的電通量分別為2.8已知電場(chǎng)強(qiáng)度，求圖中正立方體內(nèi)的總電荷。圖題2.8解：根據(jù)高斯定理，先求正方體表面的電通量，由于電場(chǎng)沿軸方向，所以只要計(jì)算左右側(cè)面的通量，即有因此有正立方體內(nèi)的總電荷為此題也可以先通過(guò)求電場(chǎng)的散度求得電荷密度，再在正方體內(nèi)積分得到總電荷量。2.9在平行電容板中充滿絕對(duì)介電常數(shù)分別為和的上下兩層均勻介質(zhì)，已知金屬板上的自由電荷面密度為，求兩層介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度。圖題2.9解：容易從介質(zhì)中的高斯定理求得上下兩層介質(zhì)中的電位移矢量從而有極化強(qiáng)度得到在介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度2.10有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球殼，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。（1）此問(wèn)題的電荷和電場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性，空間各點(diǎn)的電場(chǎng)沿徑向分布。對(duì)于位于內(nèi)、外球殼之間的場(chǎng)點(diǎn)，，取高斯面為半徑為的球面，則由介質(zhì)中的高斯定律有：即得到場(chǎng)點(diǎn)處的電位移矢量為：對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為：同理可以得到，對(duì)于位于內(nèi)、外球殼之間的場(chǎng)點(diǎn)，，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為：對(duì)于位于球殼內(nèi)空間的場(chǎng)點(diǎn)，，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為：，（2）在內(nèi)、外球殼之間（）的體極化電荷密度為：在球殼內(nèi)表面（）的面極化電荷密度為：在球殼外表面（）的面極化電荷密度為：2.11已知在空間靜電場(chǎng)強(qiáng)度為。選原點(diǎn)??為電位零點(diǎn)，求圖中??點(diǎn)的電位。圖題2.11解：由靜電場(chǎng)的無(wú)旋性得從而有2.12求半徑為??的均勻帶電圓盤(pán)的電位。圖題2.12解：設(shè)圓盤(pán)上的電荷面密度為，如圖，由得到此積分在一般情形下要用數(shù)值求解。2.13如圖有兩塊無(wú)限大金屬導(dǎo)體平板，板間充滿電荷，其體電荷密度為，其中為常數(shù)，板間距離為，上下極板電位均為0，求兩極板之間的電位分布。圖題2.13解：電位函數(shù)的泊松方程為其一維形式可寫(xiě)成：此微分方程的通解為：根據(jù)邊界條件，可求得所以電位的解為：電場(chǎng)強(qiáng)度等于：2.14有一內(nèi)外半徑分別為和的空心導(dǎo)體球殼，內(nèi)球殼電位為0，外球殼電位為，求球殼之間的電位。解：電位具有球?qū)ΨQ(chēng)性，，所以拉普拉斯方程成為方程的通解為又由邊界條件解得從而得到2.15如圖所示，證明當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷時(shí)，分界面兩側(cè)的電場(chǎng)滿足折射關(guān)系：。圖題2.15解：如圖所示，將電場(chǎng)分解為切向分量和法向分量，則由電場(chǎng)的邊值關(guān)系有得到又得到從而有2.16兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于和處，在兩板之間的處有一塊電位為的導(dǎo)體平板，求中間導(dǎo)體平板上的面電荷密度。圖題2.16解：如圖，設(shè)兩側(cè)空間的電位分別為和，則易求得從而得到中間導(dǎo)體平板上的面電荷密度2.17在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為的導(dǎo)體球，保持導(dǎo)體球的電位為0，試用分離變量法求空間的電位分布。圖題2.17解：如圖，設(shè)導(dǎo)體球外和球內(nèi)的電位分別為和，滿足拉普拉斯方程，利用分離變量法可求得在軸對(duì)稱(chēng)情形下其通解為由于導(dǎo)體球接地，所以有在時(shí)，趨向于均勻電場(chǎng)的電位，即有對(duì)比系數(shù)，從而得到在導(dǎo)體球面，由電位函數(shù)的邊值關(guān)系有對(duì)比系數(shù)得，所以有2.18如圖，沿軸方向的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電導(dǎo)線位于無(wú)限大接地導(dǎo)體平面上方，相距為，線電荷密度為，求空間的電位。圖題2.18解：如圖設(shè)置帶電導(dǎo)線關(guān)于導(dǎo)體平面的鏡像，設(shè)帶電導(dǎo)線及其鏡像都位于平面內(nèi)，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則處的電位等于帶電導(dǎo)線及其鏡像的電位的疊加，有其中、分別為到帶電導(dǎo)線及其鏡像的距離，、分別為電位零點(diǎn)到帶電導(dǎo)線及其鏡像的距離，我們?nèi)≈悬c(diǎn)為電位零點(diǎn)，就有。2.19如圖，有一點(diǎn)電荷放置于相交成直角的兩個(gè)接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板前，求空間的電位。圖題2.19解：如圖建立起直角坐標(biāo)，在此坐標(biāo)系中，點(diǎn)電荷的位置為。鏡像電荷共有三個(gè)，分別為、和?？臻g的電位分布為 2.20求半徑為、帶電量為的導(dǎo)體球的靜電場(chǎng)能量。解：導(dǎo)體球的電場(chǎng)分布為因此有靜電場(chǎng)能量靜電場(chǎng)MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習(xí)題22.1已知一帶電細(xì)桿，桿長(zhǎng)為,其線電荷密度,其中為常數(shù)，求桿上的總電荷量。解：桿上的總電荷量為2.2已知半徑為的帶電球體的電荷密度為，求球體內(nèi)的總電荷量。解：球體內(nèi)的總電荷量為2.3在一條直線上等距分布有四個(gè)點(diǎn)電荷，它們是否能處于靜止平衡狀態(tài)？如果能，它們的帶電荷量應(yīng)該滿足什么條件？圖題2.3解：如圖，設(shè)點(diǎn)電荷之間的距離為，從左到右依次分布著、、和，根據(jù)庫(kù)倫定律，可列出各點(diǎn)電荷的靜電平衡條件化簡(jiǎn)得到此方程只有零解，說(shuō)明這四個(gè)點(diǎn)電荷不能處于靜止平衡狀態(tài)。2.4如圖所示，真空中有一邊長(zhǎng)為1的正六邊形，六個(gè)頂點(diǎn)都放有點(diǎn)電荷，求六邊形中心??的場(chǎng)強(qiáng)大小。圖題2.4解：如圖，從最左側(cè)的點(diǎn)電荷開(kāi)始，順時(shí)針給點(diǎn)電荷依次編號(hào)1到6，分別求出個(gè)點(diǎn)電荷在中心??的場(chǎng)強(qiáng)為，，，從而得到總場(chǎng)強(qiáng)此題從對(duì)稱(chēng)性也易看出，中心的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)該為0。2.5一半徑為的帶電球體，其電荷體密度分布為 其中為一常量．試求球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。解：電荷分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性，取一個(gè)半徑為的高斯球面，根據(jù)靜電場(chǎng)的高斯定理有，和，因此得到2.6已知真空中的靜電場(chǎng)的表達(dá)式為，求在點(diǎn)處的電荷密度。解：靜電場(chǎng)的旋度為0，因此有得到，即有根據(jù)靜電場(chǎng)的高斯定理，得到電荷密度2.7邊長(zhǎng)為的立方盒子的六個(gè)面，分別平行于、和平面。盒子的一角在坐標(biāo)原點(diǎn)處。在此區(qū)域有一靜電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為。試求穿過(guò)各面的電通量。圖題2.7解：如圖，在各面的電通量分別為2.8已知電場(chǎng)強(qiáng)度，求圖中正立方體內(nèi)的總電荷。圖題2.8解：根據(jù)高斯定理，先求正方體表面的電通量，由于電場(chǎng)沿軸方向，所以只要計(jì)算左右側(cè)面的通量，即有因此有正立方體內(nèi)的總電荷為此題也可以先通過(guò)求電場(chǎng)的散度求得電荷密度，再在正方體內(nèi)積分得到總電荷量。2.9在平行電容板中充滿絕對(duì)介電常數(shù)分別為和的上下兩層均勻介質(zhì)，已知金屬板上的自由電荷面密度為，求兩層介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度。圖題2.9解：容易從介質(zhì)中的高斯定理求得上下兩層介質(zhì)中的電位移矢量從而有極化強(qiáng)度得到在介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度2.10有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球殼，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。（1）此問(wèn)題的電荷和電場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性，空間各點(diǎn)的電場(chǎng)沿徑向分布。對(duì)于位于內(nèi)、外球殼之間的場(chǎng)點(diǎn)，，取高斯面為半徑為的球面，則由介質(zhì)中的高斯定律有：即得到場(chǎng)點(diǎn)處的電位移矢量為：對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為：同理可以得到，對(duì)于位于內(nèi)、外球殼之間的場(chǎng)點(diǎn)，，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為：對(duì)于位于球殼內(nèi)空間的場(chǎng)點(diǎn)，，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為：，（2）在內(nèi)、外球殼之間（）的體極化電荷密度為：在球殼內(nèi)表面（）的面極化電荷密度為：在球殼外表面（）的面極化電荷密度為：2.11已知在空間靜電場(chǎng)強(qiáng)度為。選原點(diǎn)??為電位零點(diǎn)，求圖中??點(diǎn)的電位。圖題2.11解：由靜電場(chǎng)的無(wú)旋性得從而有2.12求半徑為??的均勻帶電圓盤(pán)的電位。圖題2.12解：設(shè)圓盤(pán)上的電荷面密度為，如圖，由得到此積分在一般情形下要用數(shù)值求解。2.13如圖有兩塊無(wú)限大金屬導(dǎo)體平板，板間充滿電荷，其體電荷密度為，其中為常數(shù)，板間距離為，上下極板電位均為0，求兩極板之間的電位分布。圖題2.13解：電位函數(shù)的泊松方程為其一維形式可寫(xiě)成：此微分方程的通解為：根據(jù)邊界條件，可求得所以電位的解為：電場(chǎng)強(qiáng)度等于：2.14有一內(nèi)外半徑分別為和的空心導(dǎo)體球殼，內(nèi)球殼電位為0，外球殼電位為，求球殼之間的電位。解：電位具有球?qū)ΨQ(chēng)性，，所以拉普拉斯方程成為方程的通解為又由邊界條件解得從而得到2.15如圖所示，證明當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷時(shí)，分界面兩側(cè)的電場(chǎng)滿足折射關(guān)系：。圖題2.15解：如圖所示，將電場(chǎng)分解為切向分量和法向分量，則由電場(chǎng)的邊值關(guān)系有得到又得到從而有2.16兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于和處，在兩板之間的處有一塊電位為的導(dǎo)體平板，求中間導(dǎo)體平板上的面電荷密度。圖題2.16解：如圖，設(shè)兩側(cè)空間的電位分別為和，則易求得從而得到中間導(dǎo)體平板上的面電荷密度2.17在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為的導(dǎo)體球，保持導(dǎo)體球的電位為0，試用分離變量法求空間的電位分布。圖題2.17解：如圖，設(shè)導(dǎo)體球外和球內(nèi)的電位分別為和，滿足拉普拉斯方程，利用分離變量法可求得在軸對(duì)稱(chēng)情形下其通解為由于導(dǎo)體球接地，所以有在時(shí)，趨向于均勻電場(chǎng)的電位，即有對(duì)比系數(shù)，從而得到在導(dǎo)體球面，由電位函數(shù)的邊值關(guān)系有對(duì)比系數(shù)得，所以有2.18如圖，沿軸方向的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電導(dǎo)線位于無(wú)限大接地導(dǎo)體平面上方，相距為，線電荷密度為，求空間的電位。圖題2.18解：如圖設(shè)置帶電導(dǎo)線關(guān)于導(dǎo)體平面的鏡像，設(shè)帶電導(dǎo)線及其鏡像都位于平面內(nèi)，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則處的電位等于帶電導(dǎo)線及其鏡像的電位的疊加，有其中、分別為到帶電導(dǎo)線及其鏡像的距離，、分別為電位零點(diǎn)到帶電導(dǎo)線及其鏡像的距離，我們?nèi)≈悬c(diǎn)為電位零點(diǎn)，就有。2.19如圖，有一點(diǎn)電荷放置于相交成直角的兩個(gè)接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板前，求空間的電位。圖題2.19解：如圖建立起直角坐標(biāo)，在此坐標(biāo)系中，點(diǎn)電荷的位置為。鏡像電荷共有三個(gè)，分別為、和?？臻g的電位分布為 2.20求半徑為、帶電量為的導(dǎo)體球的靜電場(chǎng)能量。解：導(dǎo)體球的電場(chǎng)分布為因此有靜電場(chǎng)能量恒定磁場(chǎng)MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習(xí)題33.1半徑為、帶電量為的均勻帶電圓盤(pán)繞中心軸以角速度旋轉(zhuǎn)，求圓盤(pán)上的電流密度。圖題3.1解：根據(jù)電流密度的定義即有3.2試根據(jù)電流連續(xù)性方程證明：在恒定條件下通過(guò)一個(gè)電流管任意兩個(gè)截面的電流相等。圖題3.2解：如圖所示，截取一段電流管，在其表面就有在恒定條件下，電荷密度不變化，在電流管內(nèi)有根據(jù)電流連續(xù)性方程即得3.3在如圖所示，一條無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線在一處彎成半徑為的半圓形，導(dǎo)線中的電流強(qiáng)度為，求圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖題3.3解：由畢奧-薩伐爾定律易知兩側(cè)的直導(dǎo)線在圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，所以只需求半圓形導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度，有方向垂直向里。3.4如圖，在寬為的無(wú)限長(zhǎng)平面導(dǎo)體薄板流有均勻分布的電流，已知空間中的點(diǎn)到平面距離為，它在板上的投影位于板的中線上，求點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖題3.4解：如圖，將面電流分割為窄條電流，面電流在點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)可求得3.5半徑為、帶電量為的均勻帶電球體繞直徑為角速度旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖題3.5解：半徑為、電流強(qiáng)度為的圓環(huán)電流，在其中心軸上、距圓環(huán)中心處的場(chǎng)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為如圖所示，旋轉(zhuǎn)的均勻帶電球體在距球心為的場(chǎng)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為3.6兩平行無(wú)限長(zhǎng)直線電流和，間距為，求每根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上受到的安培力。解：直線電流之間的安培力的大小為其中和分別為在處和在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。安培力的方向當(dāng)兩電流同向時(shí)是相互吸引的，當(dāng)兩電流反向時(shí)是相互排斥的。3.7如圖所示，載有電流的長(zhǎng)直導(dǎo)線旁有一個(gè)邊長(zhǎng)為、載有電流的正三角形線圈，已知直導(dǎo)線和線圈都在同一平面，線圈的一條邊與導(dǎo)線平行，中心到導(dǎo)線距離為，求線圈所受的安培力。圖題3.7解：如圖，線圈所受的安培力為3.8如圖，同軸電纜的內(nèi)、外筒半徑分別為和，內(nèi)外筒上流有等值反向的電流。設(shè)外筒的厚度可以忽略，內(nèi)筒的橫截面上電流是均勻分布的，求空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖題3.8解：由安培環(huán)路定理，容易求得，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于內(nèi)筒之內(nèi)，即時(shí)，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于內(nèi)筒與外筒之間，即時(shí)，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于外筒之外，即時(shí)，3.9通有均勻電流的長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體中有一平行的圓柱形空腔，其橫截面尺寸如圖所示。試求空間各區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖題3.9解：設(shè)圖示長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體的電流為垂直往里，則空間的磁場(chǎng)可以視作是一個(gè)半徑為、電流垂直往里的圓柱電流和一個(gè)半徑為、電流垂直往外的電流的圓柱電流所產(chǎn)生磁場(chǎng)的疊加，即有當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于空腔內(nèi)時(shí)其中為垂直往外的單位矢量?？梢钥吹?，在空腔內(nèi)為一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于空腔外、圓柱導(dǎo)體內(nèi)時(shí)其中為場(chǎng)點(diǎn)到的距離。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于圓柱導(dǎo)體外時(shí)其中為場(chǎng)點(diǎn)到的距離。在上面的各表達(dá)式中，都有3.10兩塊無(wú)限大導(dǎo)體平板平行放置，板間的距離為，兩塊板上都載有電流密度為的反向均勻電流，在板間填充有相對(duì)磁導(dǎo)率為的均勻磁介質(zhì)，求磁化電流分布。圖題3.10解：如圖所示，由于磁介質(zhì)為均勻磁化，在其中沒(méi)有體磁化電流分布，面磁化電流分布在兩導(dǎo)體平板的內(nèi)側(cè)，利用介質(zhì)中的安培環(huán)路定理可求得介質(zhì)內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小所以磁感應(yīng)強(qiáng)度大小在導(dǎo)體平板的總電流密度為所以，在導(dǎo)體平板內(nèi)側(cè)的磁化電流密度的大小為方向如圖所示。3.11一無(wú)限長(zhǎng)直螺線管，單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)為，螺線管內(nèi)充滿相對(duì)磁導(dǎo)率為的均勻磁介質(zhì)。今在導(dǎo)線圈內(nèi)通以電流，求磁化電流分布。圖題3.11（左：橫截面；右：側(cè)視圖）解：如圖所示，在磁介質(zhì)內(nèi)為均勻磁化，體磁化電流為零，面磁化電流分布在螺線管內(nèi)側(cè)，利用介質(zhì)中的安培環(huán)路定理可求得介質(zhì)內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小所以磁感應(yīng)強(qiáng)度大小在螺線管壁的總電流密度為所以，在螺線管壁的磁化電流密度的大小為方向如圖所示。3.12求載有電流的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁矢位，并通過(guò)磁矢位求出磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖題3.12解：如圖所示建立起坐標(biāo)系，利用磁矢位的計(jì)算公式可得該積分是發(fā)散的，為此，需附加一個(gè)常數(shù)，令處的磁矢位為0，即，可得到所以有進(jìn)而求得磁感應(yīng)強(qiáng)度3.13如圖，兩根平行且載有等值反向電流的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線構(gòu)成雙線輸電線，試通過(guò)磁矢位求出該系統(tǒng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖題3.13解：如圖所示，兩根無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁矢位等于各自磁矢位之和，有磁感應(yīng)強(qiáng)度即為3.14求無(wú)限大均勻載流導(dǎo)體平板的磁矢位，并通過(guò)磁矢位求出磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖題3.14解：如圖所示，載流平板的磁矢位可以視作為無(wú)限窄條線電流磁矢位的疊加，有所以有磁感應(yīng)強(qiáng)度3.15如圖所示，證明在兩種絕緣介質(zhì)的分界面上，分界面兩側(cè)的磁場(chǎng)滿足折射關(guān)系： 其中，其中和分別為兩種介質(zhì)的磁導(dǎo)率，和分別為界面兩側(cè)磁場(chǎng)與法線的夾角。圖題3.15解：如圖所示，將磁場(chǎng)分解為切向分量和法向分量，則由磁場(chǎng)的邊值關(guān)系有得到又得到從而有3.16證明：磁導(dǎo)率的磁性介質(zhì)表面為等磁標(biāo)位面。圖題3.16解：由磁場(chǎng)的邊值關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系可得兩式相除有當(dāng)時(shí)，，即說(shuō)明磁場(chǎng)與表面垂直，該磁性物質(zhì)表面為等磁標(biāo)位面。3.17將一磁導(dǎo)率為、半徑為的球體放入均勻磁場(chǎng)中，求總磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：如圖，用磁標(biāo)位求解，設(shè)球外和球內(nèi)的磁標(biāo)位分別為和，由于空間沒(méi)有自由電流，所以和都滿足拉普拉斯方程，利用分離變量法可求得在軸對(duì)稱(chēng)情形下其通解為在時(shí)，趨向于均勻磁場(chǎng)的磁標(biāo)位，即有對(duì)比系數(shù)，從而得到在時(shí)，應(yīng)為有限值，所以在介質(zhì)球面，，由邊值關(guān)系有，從而得到對(duì)比的系數(shù)有，，從而解得，所以有3.18求題3.8中的同軸電纜儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。解：已知空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布為所以單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為時(shí)變電磁場(chǎng)習(xí)題44.1如圖，一長(zhǎng)直導(dǎo)線載有交變電流，旁邊放置有一個(gè)矩形線圈，線圈和導(dǎo)線在同一平面內(nèi)，求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。圖題4.1解：根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為4.2如圖，雙線輸電線與一矩形回路共面，已知直導(dǎo)線上的電流為，求矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。圖題4.2解：根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為4.3閉合線圈共有匝，電阻為。試證明：當(dāng)通過(guò)此線圈的磁通量改變時(shí)，線圈內(nèi)流過(guò)的電荷量為。解：在時(shí)刻，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為流經(jīng)其中的電流從而有兩端積分，即得4.4在一個(gè)平行電容板間充滿相對(duì)電容率為的介質(zhì)，已知電場(chǎng)強(qiáng)度，求位移電流密度。解：位移電流密度4.5在無(wú)源的自由空間中，已知磁場(chǎng)強(qiáng)度，求位移電流密度。解：由全電流定律有位移電流密度4.6一圓形極板的平行板電容器，極板的面積為，兩極板之間的距離為，極板間充滿電容率為、電導(dǎo)率為的介質(zhì)，兩極板外接一交變電壓。求：（1）兩極板間的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度；（2）兩極板間的位移電流強(qiáng)度。解：（1）兩極板間的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度大小為（2）兩極板間的位移電流強(qiáng)度大小為4.7如圖所示為兩個(gè)絕緣介質(zhì)的分界面，已知在介質(zhì)1中的電場(chǎng)強(qiáng)度為在介質(zhì)2中的電場(chǎng)強(qiáng)度為（1）求兩介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度和；（2）求在邊界面兩側(cè)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)滿足邊值關(guān)系的條件。圖題4.7解：（1）由得到積分得到（2）在分界面兩側(cè)，，有且要有即得滿足邊值關(guān)系的條件為從上述方程組中可解得4.8如圖所示，已知兩塊無(wú)限大導(dǎo)體平板之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為求板間的磁場(chǎng)強(qiáng)度。圖題4.8解：積分即得4.9如圖所示，已知同軸電纜的內(nèi)、外半徑分別為和，若內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度為求其中的磁場(chǎng)強(qiáng)度。圖題4.9解：使用柱坐標(biāo)系求解，設(shè)中心軸為軸，即有積分得4.10已知真空中時(shí)變電磁場(chǎng)的矢量位和標(biāo)量位，求：（1）若，說(shuō)明滿足庫(kù)侖規(guī)范還是洛倫茲規(guī)范？（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度；（3）電場(chǎng)強(qiáng)度；（4）位移電流。（5）坡印廷矢量。解：（1）由于所以滿足庫(kù)侖規(guī)范而不是洛侖茲規(guī)范。（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度（3）電場(chǎng)強(qiáng)度（4）位移電流（5）坡印廷矢量4.11已知均勻絕緣介質(zhì)中電磁場(chǎng)的矢量位為，求：（1）標(biāo)量位；（2）電場(chǎng)強(qiáng)度；（3）磁場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）在均勻絕緣介質(zhì)中，矢量位和標(biāo)量位要滿足將代入上兩式，得到所以可?。?）電場(chǎng)強(qiáng)度（3）磁場(chǎng)強(qiáng)度4.12如圖所示，已知自由空間中傳播的電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為求：（1）坡印廷矢量；（2）在某一時(shí)刻流入如圖所示的長(zhǎng)方體中的凈功率。圖題4.12解：（1）坡印廷矢量（2）在某一時(shí)刻流入圖示的長(zhǎng)方體中的凈功率為4.13在球坐標(biāo)系中，已知電磁場(chǎng)為求通過(guò)以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心、為半徑的球面的功率。解：先求出坡印廷矢量通過(guò)以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心、為半徑的球面的功率等于4.14已知均勻平面波電場(chǎng)的復(fù)矢量形式：，試寫(xiě)出它的瞬時(shí)表達(dá)式。解：電場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式為4.15在橫截面為的矩形金屬波導(dǎo)中，模的電磁場(chǎng)的復(fù)矢量為：其中、、和都是實(shí)常數(shù)。求：（1）電磁場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式；（2）坡印廷矢量。（1）電場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式磁場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式（2）坡印廷矢量平面電磁波MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習(xí)題55.1介質(zhì)中沿方向傳播的均勻平面波電場(chǎng)強(qiáng)度為，求：（1）相對(duì)電容率，（2）傳播速度，（3）本征阻抗，（4）波長(zhǎng)，（5）磁場(chǎng)強(qiáng)度，（6）波的平均功率密度。解：（1）由得相對(duì)電容率（2）傳播速度（3）本征阻抗為（4）波長(zhǎng)（5）磁場(chǎng)強(qiáng)度（6）波的平均功率密度5.2頻率為的時(shí)諧均勻平面波在各向同性的均勻、理想介質(zhì)中沿軸方向傳播，其介質(zhì)特性參數(shù)分別為。設(shè)電場(chǎng)取向與和軸的正方向都成角，而且當(dāng)時(shí)，電場(chǎng)的大小等于其振幅值，即。求：電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式。解：題中電磁波的角頻率為相位常數(shù)所以，根據(jù)題意，電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式可寫(xiě)成將，代入，有得到所以本征阻抗磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式5.3已知非磁性理想介質(zhì)中均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為試求該電磁波的頻率，波長(zhǎng)，波矢量，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量，能量密度的平均值和能流密度的平均值以及介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。解：由于對(duì)于均勻平面波有所以得頻率波矢量波長(zhǎng)介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)能量密度的平均值能流密度的平均值5.4已知無(wú)界理想媒質(zhì)中，正弦均勻平面電磁波的頻率，電場(chǎng)強(qiáng)度。試求：（1）均勻平面電磁波的相速度、波長(zhǎng)、相移常數(shù)和波阻抗；（2）電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值表達(dá)式；（3）與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過(guò)的平均功率。解：（1）角頻率相位常數(shù)相速度波長(zhǎng)波阻抗（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值表達(dá)式磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表達(dá)式磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值表達(dá)式（3）5.5已知自由空間中均勻平面電磁波的電場(chǎng)：，求：（1）電磁波的頻率、速度、波長(zhǎng)、相位常數(shù)以及傳播方向。（2）該電磁波的磁場(chǎng)表達(dá)式。（3）該電磁波的坡印廷矢量和坡印廷矢量的平均值。解：（1）電磁波的頻率速度波長(zhǎng)相位常數(shù)傳播方向?yàn)榉较?。?）本征阻抗磁場(chǎng)表達(dá)式為（3）坡印廷矢量坡印廷矢量的平均值5.6自由空間中一均勻平面波的磁場(chǎng)強(qiáng)度為求：（1）波的傳播方向；（2）波長(zhǎng)和頻率；（3）電場(chǎng)強(qiáng)度；（4）瞬時(shí)坡印廷矢量。解：（1）波的傳播方向?yàn)榉较?；?）波長(zhǎng)頻率（3）本征阻抗電場(chǎng)強(qiáng)度（4）瞬時(shí)坡印廷矢量為5.7自由空間中均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式如下試分析：（1）波的傳播方向、相速度和波阻抗；（2）波長(zhǎng)；（3）頻率；（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度；（5）平均坡印廷矢量。解：（1）波的傳播方向?yàn)榉较颍幌嗨俣炔ㄗ杩梗?）波長(zhǎng)（3）頻率（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度（5）平均坡印廷矢量5.8頻率為的均勻平面波在潮濕的土壤（）中傳播。試計(jì)算：（1）傳播常數(shù)；（2）相速度；（3）波長(zhǎng)；（4）波阻抗；（5）功率密度衰減90%所對(duì)應(yīng)的傳輸距離。解：（1）角頻率為傳播常數(shù)（2）相位因子相速度（3）波長(zhǎng)（4）波阻抗（5）功率密度衰減90%時(shí)，有從而解得5.9已知土壤的電導(dǎo)率為10-3S/m，相對(duì)介電常數(shù)為5，海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對(duì)介電常數(shù)為80，它們都是非磁性媒質(zhì)。有以均勻平面電磁波在空氣中傳播時(shí)，其波長(zhǎng)為300m。試分別計(jì)算：電磁波進(jìn)入土壤和海水后的（1）相速、（2）波長(zhǎng)、（3）能量衰減一半的傳播距離。解：電磁波的頻率角頻率為該電磁波進(jìn)入土壤后，傳播常數(shù)相速為波長(zhǎng)能量衰減一半的傳播距離為該電磁波進(jìn)入海水后，傳播常數(shù)相速為波長(zhǎng)能量衰減一半的傳播距離為5.10頻率為50MHz的均勻平面波在媒質(zhì)（）中傳播，垂直入射到另一媒質(zhì)（）表面。若分界面處入射電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅為10V/m，求透射波的平均功率密度。解：角頻率為在媒質(zhì)1中的波阻抗等于在媒質(zhì)2中的波阻抗等于所以有透射系數(shù)設(shè)入射波電場(chǎng)為則透射波電場(chǎng)為透射波磁場(chǎng)為透射波的平均功率密度5.11電場(chǎng)強(qiáng)度為的均勻平面波由空氣垂直入射到與玻璃介質(zhì)板的交界面上（z=0）。其中，c為光速，玻璃介質(zhì)板的電磁參數(shù)為。試求反射波和折射波的電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式。解：在空氣中的波阻抗等于在玻璃介質(zhì)中的波阻抗等于透射系數(shù)等于反射系數(shù)等于所以反射波的電場(chǎng)表達(dá)式為又所以所以透射波的電場(chǎng)表達(dá)式為5.12均勻平面波由空氣垂直入射到介電常數(shù)為的理想介質(zhì)中，假設(shè)空氣與介質(zhì)的分界面為無(wú)限大平面并在直角坐標(biāo)系面內(nèi)。若入射的電場(chǎng)強(qiáng)度方程為，平均功率密度為10W·m-2，求：（1）反射系數(shù)及反射波平均功率密度；（2）透射系數(shù)及透射波平均功率密度；（3）邊界上磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式；（4）媒質(zhì)2滿足什么樣的條件時(shí)，電磁波不發(fā)生反射。解：（1）在空氣中的波阻抗等于在理想介質(zhì)中的波阻抗等于反射系數(shù)為反射波平均功率密度等于（2）透射系數(shù)等于透射波平均功率密度（3）媒質(zhì)分界面上的磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式可通過(guò)透射波磁場(chǎng)方程在處的取值來(lái)求，則上式為復(fù)數(shù)形式，其時(shí)域形式為（4）由反射系數(shù)式可知:如果媒質(zhì)2的本征阻抗與媒質(zhì)1的本征阻抗相等，則在分界面上實(shí)現(xiàn)完美的阻抗匹配，入射的電磁波不會(huì)發(fā)生反射。在本例中，需要媒質(zhì)2的本征阻抗等于空氣的本征阻抗，即要求一般的介質(zhì)材料無(wú)法滿足上式的要求，只有一些鐵磁性材料才可以做到。5.13自由空間傳播的均勻平面波電場(chǎng)強(qiáng)度已知為。它以與分界面法線30°的角度入射到介質(zhì)（）上。求（1）波的頻率，（2）兩種媒質(zhì)中的電場(chǎng)表達(dá)式以及（3）介質(zhì)中波的平均功率密度。設(shè)介質(zhì)磁導(dǎo)率與自由空間相同。圖題5.13解：（1）如圖所示，入射電磁波的波矢量為所以有媒質(zhì)1中的相位常數(shù)波的角頻率頻率（2）在媒質(zhì)1中的波阻抗等于在理想介質(zhì)中的波阻抗等于反射波的波矢量媒質(zhì)2中的相位常數(shù)透射角透射波的波矢量為反射系數(shù)為透射系數(shù)為已知入射波的電場(chǎng)即得反射波的電場(chǎng)透射波的電場(chǎng)媒質(zhì)1中的電場(chǎng)媒質(zhì)2中的電場(chǎng)（3）介質(zhì)中波的平均功率密度5.14簡(jiǎn)諧變化的均勻平面波由空氣入射到z=0處的理想導(dǎo)體平面上。已知入射波電場(chǎng)的表達(dá)式為。求：（1）入射角；（2）頻率f及波長(zhǎng)λ；（3）反射波電場(chǎng)的復(fù)數(shù)形式；（4）合成波電場(chǎng)的表達(dá)式。圖題5.14解：（1）如圖所示，入射角（2）入射電磁波的波矢量為所以有媒質(zhì)1中的相位常數(shù)波的角頻率頻率波長(zhǎng)（3）在理想導(dǎo)體表面，反射系數(shù)，所以有反射波電場(chǎng)的復(fù)數(shù)形式（4）合成波電場(chǎng)的表達(dá)式其瞬時(shí)形式為5.15光纖一般由纖芯、包層和涂覆層構(gòu)成，其中纖芯、包層起到導(dǎo)波的作用，涂覆層起到保護(hù)光纖、避免受到外界的侵蝕及其他損傷作用。如下圖所示，圖題5.15圖中未畫(huà)出包層外面的涂覆層。若纖芯的折射率為n1，包層的折射率為n2，如果選取二者材料的折射率滿足n1>n2，則以某一角度從光纖端部的入射光，在纖芯中的折射光將以全反射的形式在其內(nèi)部傳播。對(duì)應(yīng)折射光的臨界角θc，入射光的入射角θi達(dá)到最大值θmax。如果入射角大于θmax，則入射光在纖芯和包層的分界面上有透射光，從而不能很好地導(dǎo)波。一般稱(chēng)θmax為光纖端面入射臨界角（或稱(chēng)入射臨界角）。根據(jù)上述已知條件，求入射臨界角的大小。解：如圖所示，要使纖芯中的折射光在纖芯和包層的分界面上全反射，就要有從而有即兩邊平方利用折射定律有得到所以所以5.16空氣中有一均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為，在入射面上入射到的半無(wú)限大介質(zhì)平面上，其相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為和。試求空氣中的反射波和介質(zhì)中折射波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量式和瞬間值式。解：入射波的波矢量為在媒質(zhì)1（空氣）中的相位常數(shù)在媒質(zhì)2中的相位常數(shù)入射角等于折射角等于從而得到折射波的波矢量在媒質(zhì)1（空氣）中的波阻抗等于在理想介質(zhì)中的波阻抗等于反射系數(shù)等于透射系數(shù)等于所以有反射波的電場(chǎng)折射波的電場(chǎng)5.17如下圖所示，用二維介質(zhì)波導(dǎo)作為傳輸線來(lái)傳輸電磁能量。圖題5.17如果要求電磁波以任意角入射到介質(zhì)線的一端面時(shí)，透入介質(zhì)中的電磁波能量全部傳輸?shù)搅硪欢?。試求介質(zhì)線相對(duì)介電常數(shù)的最小值。解：由題5.15可知在端面上的入射臨界角為當(dāng)即時(shí)，電磁波能以任意角入射，即求得介質(zhì)線相對(duì)介電常數(shù)或5.18已知一個(gè)向正軸方向上傳播的平面電磁波在空間某點(diǎn)的表達(dá)式為：，在的平面上，電場(chǎng)強(qiáng)度的分量分別為：，，若此波為圓極化波，求和的值，并判斷該電磁波是左旋還是右旋圓極化波。解：由于是圓極化波，所以有，為常數(shù)代入和表達(dá)式，得兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到要使上式恒成立，就有解出或容易判斷，對(duì)于前一組解，為右旋圓極化波；對(duì)于后一組解，為左旋圓極化波。5.19指出下列各均勻平面波的極化方式：（1）（2）（3）（4）解：（1）由于所以為橢圓極化波。（2）由于所以且為圓極化波。（3）由于所以且為橢圓極化波。（4）由可知所以由所給復(fù)振幅有，，為線極化波。5.20證明：任意線性極化波可以分解為兩個(gè)振幅相等，旋向相反的圓極化波的疊加。證明：設(shè)電磁波沿軸正向傳播，設(shè)線性極化波的電場(chǎng)沿軸方向，則其電場(chǎng)可表示為假設(shè)其可以分解為兩個(gè)振幅相等，旋向相反的圓極化波的疊加，則有要使此式成立，解得，得證。導(dǎo)行電磁波MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習(xí)題66.1空心矩形波導(dǎo)a=5cm，b=2cm，工作頻率20GHz。求：（1）TM21模的截止頻率并決定它是否為衰減模式。若不是，決定其相位常數(shù)、相速、群速及傳播波長(zhǎng)。（2）TM21模的波阻抗。（3）若波導(dǎo)中外加電場(chǎng)幅值為500V/m，求波導(dǎo)所傳送的平均功率。試決定波導(dǎo)中最低次的TM11模的截止頻率、電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布、相位常數(shù)、特征阻抗及平均功率流。解：（1）TM21模的截止頻率為所以有不是衰減模式。相位常數(shù)相速度群速度傳播波長(zhǎng)（2）TM21模的波阻抗等于（3）波導(dǎo)所傳送的平均功率為最低次的TM11模的截止頻率電場(chǎng)和磁場(chǎng)的分量表達(dá)式為其中，截止波數(shù)相位常數(shù)且有特征阻抗平均功率流6.2空心矩形波導(dǎo)a=5cm，b=2cm，工作頻率1GHz。（1）證明在這一頻率下TM21模不能傳播（為衰減模）。（2）決定使電場(chǎng)的z分量衰減到它在z=0處的幅值的0.5%所需的距離。設(shè)在z=0處電場(chǎng)z分量的幅值為1KV/m。解：（1）TM21模的截止頻率為所以有是衰減模式。（2）相位常數(shù)電場(chǎng)的z分量衰減到它在z=0處的幅值的0.5%所需的距離為6.3b=1cm的空心波導(dǎo)TE10模的相位常數(shù)是102.65rad/m。若波導(dǎo)工作頻率為12GHz，且只有TE10模傳播，計(jì)算波導(dǎo)尺寸a。解：根據(jù)題目，波導(dǎo)工作頻率角頻率由即可解得6.4波導(dǎo)管壁由黃銅制成，其尺寸為a=1.5cm，b=0.6cm，電導(dǎo)率σ=1.57×107S/m，填充介電常數(shù)εr=2.25，磁導(dǎo)率μr=1.0的聚乙烯介質(zhì)。設(shè)頻率為10GHz的TE10模在矩形波導(dǎo)中傳播，試求TE10模的如下參數(shù)：（1）波導(dǎo)波長(zhǎng)；（2）相速度； （3）相移常數(shù)；（4）波阻抗；（5）波導(dǎo)壁的衰減常數(shù)。解：電磁波的頻率為角頻率相位常數(shù)（相移常數(shù)）波導(dǎo)波長(zhǎng)相速度波阻抗波導(dǎo)壁的衰減常數(shù)為其中，，所以6.5無(wú)限長(zhǎng)矩形波導(dǎo)的截面尺寸為a×b，其中的z>0段為空氣，z≤0段為εr=4.0，μr=1.0的理想介質(zhì)。頻率為f的電磁波沿z方向單模傳輸，求僅考慮主模時(shí)z≤0區(qū)域的駐波比。解：矩形波導(dǎo)的主模為模，波阻抗為在空氣中，有在介質(zhì)中，有對(duì)于段波導(dǎo)的波阻抗為對(duì)于段波導(dǎo)的波阻抗為因此，界面的反射系數(shù)為故段波導(dǎo)的駐波比為6.6在尺寸為a×b=22.86mm×10.16mm矩形波導(dǎo)中，傳輸TE10波，工作頻率為10GHz。請(qǐng)回答以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）求截止波長(zhǎng)、截止頻率、波導(dǎo)波長(zhǎng)和波阻抗；（2）若波導(dǎo)的寬邊尺寸增大一倍，上述參數(shù)如何變化？還能傳輸什么模式？（3）若波導(dǎo)的窄邊尺寸增大一倍，上述參數(shù)如何變化？還能傳輸什么模式？解：（1）工作頻率角頻率截止波數(shù)截止波長(zhǎng)截止頻率相位常數(shù)波導(dǎo)波長(zhǎng)波阻抗（2）若波導(dǎo)的寬邊尺寸增大一倍，截止波長(zhǎng)、截止頻率、波導(dǎo)波長(zhǎng)和波阻抗分別為滿足條件即的模式有TE10、TE20、TE30。（3）若波導(dǎo)的窄邊尺寸增大一倍，截止波長(zhǎng)、截止頻率、波導(dǎo)波長(zhǎng)和波阻抗分別為滿足條件即的模式有TE01、TE10、TE11、TM11。6.7已知空氣填充的銅質(zhì)波導(dǎo)尺寸為7.2cm×3.4cm，工作于主模，工作頻率為f=3GHz。如果波導(dǎo)壁引起的衰減常數(shù)為求當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)振幅衰減一半時(shí)的距離。解：對(duì)于銅質(zhì)波導(dǎo)，波導(dǎo)壁表面電阻，則設(shè)場(chǎng)強(qiáng)衰減一半的距離為，則由可求得。6.8空心矩陣波導(dǎo)尺寸為a=3cm，b=1cm，假如空氣擊穿強(qiáng)度為30KV/cm，當(dāng)工作頻率為7GHz時(shí)，計(jì)算傳輸TE10波時(shí)的最大功率（為了能安全傳輸TE10模，通常應(yīng)給空氣擊穿強(qiáng)度乘以安全系數(shù)，這里選安全系數(shù)為0.1）。解：工作波長(zhǎng)為的電場(chǎng)分量為令，則空氣介質(zhì)能被擊穿的模的最大功率為為了能安全傳輸模，如果取安全系數(shù)為0.1，則可令最大電場(chǎng)振幅為由此可得能安全傳輸模的最大功率為6.9一矩形波導(dǎo)的寬邊為a=8cm，窄邊為b=4cm，當(dāng)工作頻率f=3GHz時(shí)波導(dǎo)中可傳輸哪些波形？當(dāng)工作頻率為5GHz時(shí)波導(dǎo)中又可傳輸哪些波形？解：要使電磁波能夠傳輸，需滿足，即代入題目所給條件，上述不等式可寫(xiě)成滿足條件的模式只有TE10。當(dāng)工作頻率為5GHz時(shí)，有滿足條件的模式有TE01、TE10、TE11、TE20和TM11。6.10已知空氣填充的圓形波導(dǎo)直徑為d=50mm，如果工作頻率為f=6.725GHz，給出該波導(dǎo)可能傳輸?shù)哪Ｊ?；如果填充相?duì)介電常數(shù)εr=4的理想介質(zhì)以后，那么可能傳輸?shù)哪Ｊ接心男?？解：?dāng)圓形波導(dǎo)內(nèi)為空氣時(shí)，工作波長(zhǎng)為已知TM波的截止波長(zhǎng)為，因此能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄?duì)應(yīng)的第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)的根必須滿足，即有滿足這個(gè)條件的只有，因此只有?？梢詡鬏敗E波的截止波長(zhǎng)為，那么能夠傳輸?shù)哪Ｊ綄?duì)應(yīng)的第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的根必須滿足，即有滿足這個(gè)條件的只有和，因此只有和波可以傳輸。填充介電常數(shù)為的理想介質(zhì)以后，工作波長(zhǎng)變?yōu)?，那么能夠傳輸TM模對(duì)應(yīng)的第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)的根必須滿足，即，得滿足這一條件的模式有TM01模、TM02模、TM11模、TM12模和TM21模。能夠傳輸?shù)腡E模對(duì)應(yīng)的第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的根必須滿足，得滿足這一條件的模式有TE01模、TE02模、TE11模、TE12模、TE21模和TE22模。6.11有一方圓過(guò)渡波導(dǎo)如下圖所示，矩形波導(dǎo)尺寸為7.2cm×3.4cm工作波的長(zhǎng)度為10cm，波導(dǎo)中的介質(zhì)為空氣，圓形波導(dǎo)直徑與矩形波導(dǎo)對(duì)角線相等，從矩形波導(dǎo)向圓形波導(dǎo)方向傳播TE10波。試比較電磁波從矩形波導(dǎo)進(jìn)入圓形波導(dǎo)后，介質(zhì)波長(zhǎng)和波導(dǎo)波長(zhǎng)的變化。如果TE11波自圓形波導(dǎo)向矩形波導(dǎo)傳播，情況會(huì)怎樣？解：在矩形波導(dǎo)中圓形波導(dǎo)直徑為電磁波從矩形波導(dǎo)傳到圓形波導(dǎo)中變?yōu)門(mén)E11波，此時(shí)有可見(jiàn)當(dāng)TE10波進(jìn)入圓形波導(dǎo)變?yōu)門(mén)E11波后，截止波長(zhǎng)變短了，波導(dǎo)波長(zhǎng)變長(zhǎng)了，因此有些能在矩形波導(dǎo)中傳播的較低頻率電磁波不能進(jìn)入圓形波導(dǎo)中傳播；反過(guò)來(lái)TE11波從圓形波導(dǎo)方向傳來(lái)時(shí)則無(wú)此現(xiàn)象發(fā)生，但要注意必須使電場(chǎng)強(qiáng)度的方向要垂直于矩形波導(dǎo)的寬邊。如果電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直于矩形波導(dǎo)的窄邊，那么就相當(dāng)于矩形波導(dǎo)的邊變成了邊，變成，則電磁波不能通過(guò)該波導(dǎo)。6.12加在100m長(zhǎng)平板無(wú)損耗傳輸線的電壓為v(t)=100cos(105t)V，板間距離為2mm，每板的寬度為10mm。若電介質(zhì)的相對(duì)電容率和相對(duì)磁導(dǎo)率分別為4和1，求每板上面電荷密度和面電流密度的瞬時(shí)值（時(shí)域）表示式。解：假定在任意給定時(shí)間時(shí)，平板傳輸線的下板相對(duì)于上板為正，則在處兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為媒質(zhì)的相位常數(shù)和本征阻抗為和傳輸線上任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為從而可求出下板的面電荷密度為下板的面電流密度為6.13一條500m長(zhǎng)的無(wú)損耗傳輸線，其分布參數(shù)值為L(zhǎng)l=2.6μH/m和Cl=28.7pF/m，感性負(fù)載阻抗為（75+j150）Ω。外施電源電壓VG的有效值為120V，其內(nèi)阻抗ZG為（1+j90）Ω。試求工作頻率為10KHz時(shí)（1）輸入端的電壓和電流；（2）負(fù)載的電壓和電流；（3）輸入傳輸線的功率；（4）發(fā)送給負(fù)載的功率。并求出前向行波和反射波的電壓和電流表達(dá)式。解：用傳輸線的分布參數(shù)，求得特性阻抗、傳播常數(shù)和相位常數(shù)為如所預(yù)期，無(wú)損耗傳輸線的特性阻抗為純電阻而傳播常數(shù)為純虛數(shù)。相速度和波長(zhǎng)可求得為經(jīng)常，波在傳輸線上的相速也可用光速的百分?jǐn)?shù)表示。此處，相速是光速的38.6%。也可以用波長(zhǎng)表示傳輸線的長(zhǎng)度。這里，線的長(zhǎng)度是。計(jì)算負(fù)載的反射系數(shù)得乘積將在下面需要，所以計(jì)算它，得注意是前向波和反射波經(jīng)過(guò)500m長(zhǎng)的傳輸線后產(chǎn)生的相位差。計(jì)算輸入端的反射系數(shù)得在的輸入阻抗為應(yīng)用分壓法則，求得傳輸線的輸入電壓傳輸線輸入端的相應(yīng)電流為輸入傳輸線的功率可以計(jì)算得為了計(jì)算接收端的電壓和電流，首先計(jì)算得從而求得負(fù)載端的電壓相應(yīng)的負(fù)載電流為最后，發(fā)送給負(fù)載的功率是因?yàn)閭鬏斁€是無(wú)損耗的，在線上沒(méi)有功率損耗。發(fā)送端輸入線路的功率全部送給接收端的負(fù)載。由于和已知，便能求得進(jìn)而得到于是，前向波的電壓和電流以它們的有效值表示成相量形式為在時(shí)域中則有注意在時(shí)域中的表達(dá)式總是要用幅值。類(lèi)似地，后向波的電壓和電流以它們的有效值表示成相量形式為在時(shí)域中則有6.14如下圖所示，AB和BC是兩段參數(shù)不同的無(wú)耗均勻傳輸線。已知Zc1=50Ω，λ1=5cm，l1=0.625cm，Zc2=100Ω，λ2=10cm，l2=1.25cm。在傳輸線的終端接有負(fù)載ZL=50Ω，連接處的并聯(lián)導(dǎo)納為。試求A點(diǎn)的等效阻抗。解：對(duì)AB和BC段分別求解。設(shè)在B點(diǎn)并聯(lián)前的等效阻抗為，則當(dāng)并聯(lián)后，B點(diǎn)的等效導(dǎo)納為因此。B點(diǎn)的等效阻抗為故A點(diǎn)的等效阻抗為6.15截面尺寸為a×b=22.86mm×10.16mm的矩形波導(dǎo)，傳輸頻率為10GHz的H10波，在某橫截面上放一導(dǎo)體板，試問(wèn)在何處再放導(dǎo)體板，才能構(gòu)成振蕩模式為H101模的矩形諧振腔；若其包括導(dǎo)體板在內(nèi)的其他條件不變，只是改變工作頻率，則腔體中有無(wú)其他振蕩模式存在？若將腔長(zhǎng)加大一倍，工作頻率不變，此時(shí)腔中的振蕩模式是什么？諧振波長(zhǎng)有無(wú)變化？解：矩形波導(dǎo)的波導(dǎo)波長(zhǎng)為由于第二塊導(dǎo)體板應(yīng)放在相鄰的波節(jié)處，故兩板間的距離為由矩形波導(dǎo)諧振腔的諧振波長(zhǎng)：可見(jiàn)，若、、的尺寸不變，頻率改變，則諧振波長(zhǎng)隨之改變，因而、、不同，諧振腔是多諧的，故有可能存在其他許多諧振模式。若腔長(zhǎng)增加一倍，設(shè)，則由此可見(jiàn)，振蕩模式變?yōu)镠102，諧振波長(zhǎng)不變。6.16一條100m長(zhǎng)無(wú)損耗傳輸線，其分布電感為296nH/m，分布電容為46.2pF/m，工作于無(wú)負(fù)載狀態(tài)。在傳輸線輸入端接有電壓源輸送功率。電壓源的開(kāi)路電壓為vs(t)=100cos(106t)V，其內(nèi)阻抗可以忽略。計(jì)算：（1）線路的特性阻抗和相位常數(shù)；（2）接收端的電壓和電源供給的電流；（3）電源送出的功率。解：（1）特性阻抗為相位常數(shù)為（2）由這矩陣方程，我們首先求出電源輸出的電流為接收端的電壓為注意,接收端的電壓高于發(fā)送端的電壓。這是當(dāng)無(wú)負(fù)載時(shí)，傳輸線的電容引起的。（3）發(fā)送端的復(fù)功率為因而在發(fā)送端的平均功率等于零。無(wú)功功率。電磁波的輻射與接收MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h習(xí)題77.1簡(jiǎn)述天線的功能。解：從信息傳遞的角度看，天線的功能主要有：（1）完成射頻電流與空間電磁波之間的能量轉(zhuǎn)換，因此天線本質(zhì)上是一種能量轉(zhuǎn)換裝置。（2）實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波能量的集中，即天線具有方向性。（3）具有極化特性。天線只能發(fā)射和接收預(yù)定極化的電磁波。7.2天線的特性參數(shù)有哪些？分別是怎樣定義的?解：描述和設(shè)計(jì)天線的特性參數(shù)有：方向性及方向圖、增益和效率、前后比和軸比、輸入阻抗、有效長(zhǎng)度、極化方式、頻帶寬度等。定義分別如下：（1）方向性及方向圖。天線在有的方向輻射或接收較強(qiáng)，而在有的方向輻射或接收較弱甚至為零，天線的方向性描述了天線向一定方向輻射電磁波的能力。方向圖用于表示天線在各個(gè)方向輻射（或接收）場(chǎng)強(qiáng)的相對(duì)大小。以天線的中心為原點(diǎn)，向各方向作射線，在距離天線同樣距離但不同方向上測(cè)量輻射（或接收）電磁波的場(chǎng)強(qiáng)，使各方向的射線長(zhǎng)度與場(chǎng)強(qiáng)成正比，即得天線的三維空間方向分布圖。（2）增益和效率。天線效率定義為天線輻射功率與輸入到天線的總功率之比。天線的增益又稱(chēng)增益系數(shù)，它定義為在輸入功率相等的條件下，天線在最大輻射方向上某點(diǎn)的功率密度和理想的無(wú)方向性天線在同一點(diǎn)處的功率密度（或場(chǎng)強(qiáng)振幅的平方值）之比。（3）輸入阻抗。天線輸入阻抗是指加在天線輸入端的高頻電壓與輸入端電流之比。（4）極化方式。天線向周?chē)臻g輻射的電磁波由交變的電場(chǎng)和磁場(chǎng)構(gòu)成，電磁波的極化是指在垂直于傳播方向的波陣面上，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量端點(diǎn)隨時(shí)間變化形成的軌跡。如果軌跡為直線，則稱(chēng)為線極化波；如果軌跡為圓形或者橢圓形，則稱(chēng)為圓極化波或者橢圓極化波。（5）頻帶寬度。天線的帶寬定義為天線增益偏離中心頻率兩側(cè)下降3dB時(shí)的頻率范圍，或在規(guī)定的駐波比下信號(hào)的工作頻率范圍。7.3按極化方式劃分，天線有哪幾種？解：根據(jù)天線的極化特性分，有線極化（包括垂直極化和水平極化）天線、圓極化天線和橢圓極化天線。7.4從接收角度講，對(duì)天線的方向性有哪些要求？解：從接收的角度講，要保證正常接收，必須使信號(hào)功率與噪聲功率的比值（信噪比）達(dá)到一定的數(shù)值。為此，對(duì)接收天線的方向性有以下要求：（1）主瓣寬度盡可能窄，以抑制干擾。（2）副瓣電平盡可能低。（3）天線方向圖中最好能有一個(gè)或多個(gè)可控制的零點(diǎn)，以便將零點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)干擾方向，而且當(dāng)干擾方向變化時(shí)，零點(diǎn)方向也隨之改變。7.5設(shè)某天線的方向圖如圖題7.5所示，試求主瓣零功率波瓣寬度、半功率波瓣寬度和第一旁瓣電平。圖題7.5天線方向圖解：由圖可知，主瓣零功率點(diǎn)分別為和，所以主瓣零功率波瓣寬度半功率點(diǎn)分別為和，所以半功率波瓣寬度第一旁瓣電平7.6長(zhǎng)度為、沿軸放置的短振子，中心饋電，其電流分布為式中，。試求短振子的如下參數(shù)：(1)輻射電阻；(2)方向系數(shù)；(3)有效長(zhǎng)度（歸于輸入電流）。解：（1）由于短振子的輻射場(chǎng)為則輻射功率同時(shí)考慮到則短振子的輻射電阻為（2）方向系數(shù)為（3）歸于輸入電流的有效長(zhǎng)度為7.7有一個(gè)位于平面的很細(xì)的矩形小環(huán)，環(huán)的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，環(huán)的兩邊尺寸分別為和，并分別與軸和軸平行，環(huán)上電流為。假設(shè)、，試求小環(huán)的輻射場(chǎng)及兩主平面的方向圖。圖題7.7解：如圖，設(shè)矩陣小環(huán)沿軸方向的兩個(gè)邊產(chǎn)生的矢量磁位為，則有其中因?yàn)?，，所以則有同理，沿軸方向的兩個(gè)邊產(chǎn)生的矢量磁位為所以其中輻射場(chǎng)為7.8有一長(zhǎng)度為的電基本振子，電流載有振幅為、沿軸正方向的時(shí)諧電流，試求其方向性函數(shù)，并畫(huà)出在面、面和面的方向圖。圖題7.8解：電基本振子如圖放置，其上電流