2021屆山東省濱州市高考數(shù)學（一模）模擬試卷（2021.03）（解析版）

2021年山東省濱州市高考數(shù)學模擬試卷（3月份）（一模）一、單項選擇題（共8小題）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則集合B的子集的個數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．162．棣莫弗公式[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ，isinnθ）（i為虛數(shù)單位，r＞0）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667﹣1754）發(fā)現(xiàn)的．根據(jù)棣莫弗公式，在復平面內(nèi)復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+4．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝﹣f（x），且?x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2時，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，則（）A．f（log43）＜＜ B．＜f（log43）＜ C．＜＜f（log43） D．＜f（log43）＜5．如圖，斜線段AB與平面α所成的角為，B為斜足．平面α上的動點P滿足∠PAB＝，則點P的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分6．已知a＞0，b＞0，向量＝（a+2b，﹣9），＝（8，ab），若⊥，則2a+b的最小值為（）A．9 B．8 C． D．57．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2+x）＝f（2﹣x），當x∈[﹣2，0]時，f（x）＝x+2，設函數(shù)h（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則f（x）與h（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．5 B．6 C．7 D．88．將函數(shù)f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像，對于滿足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，當|x1﹣x2|最小值為時，φ＝（）A． B． C． D．二、多項選擇題（共4小題）.9．已知橢圓M：的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左右頂點分別是A1，A2，點P是橢圓上異于A1，A2的任意一點，則下列說法正確的是（）A．|PF1|+|PF2|＝5 B．直線PA1與直線PA2的斜率之積為 C．存在點P滿足∠F1PF2＝90° D．若△F1PF2的面積為，則點P的橫坐標為10．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝a2＝1，an＝an﹣1+2an﹣2（n≥3），則下列結論正確的是（）A．數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列 B．數(shù)列{an+1﹣2an}為等比數(shù)列 C． D．11．若0＜x1＜x2＜1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結論錯誤的是（）A．＜ B．＞ C．＞lnx2﹣lnx1 D．＜lnx2﹣lnx112．若四面體各棱的長是1或2，且該四面體的棱長不全相等，則其體積的值可能為（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．某公司對近5年的年廣告支出x（單位：萬元）與年利潤y（單位：萬元）進行了初步統(tǒng)計如表所示：年廣告支出x12345年利潤y56a810由上表中數(shù)據(jù)求得年廣告支出x與年利潤y滿足線性回歸方程＝1.2+3.6，則a的值為．14．（x+y﹣z）6的展開式中xy2z3的系數(shù)是．15．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，以F為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線相切于第一象限內(nèi)的一點B．若直線AB的斜率為，則雙曲線C的離心率為．16．現(xiàn)有一半徑為R的圓形紙片，從該圓形紙片上裁下一個以圓心為中心，以R為半徑的扇形紙片，并將扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的體積的最大值是；此時，扇形的圓心角為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）設數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100．18．在平面四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝，對角線AC與BD交于點E，E是BD的中點，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的長；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．19．如圖1所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形．過點A的平面與棱BB1，CC1，DD1分別相交于E，F(xiàn)，G三點，且CF＝3，DG＝2．（1）求BE的長；（2）若平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1是側(cè)棱長為6的直四棱柱（如圖2），求平面ABCD與平面AED1所成銳二面角的余弦值．20．國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定46個城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達35%以上．截至2019年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%．武漢市在實施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)垃圾數(shù)量超過28噸/天的確定為“超標”社區(qū)：垃圾量X[12.5，15.5）[15.5，18.5）[18.5，21.5）[21.5，24.5）[24.5，27.5）[27.5，30.5）[30.5，33.5]頻數(shù)56912864（1）通過頻數(shù)分布表估算出這50個社區(qū)這一天垃圾量的平均值（精確到0.1）；（2）若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為（1）中的樣本平均值，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s＝5.2．請利用正態(tài)分布知識估計這320個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)．（3）通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府決定對這8個“超標”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調(diào)查．現(xiàn)計劃在這8個“超標”社區(qū)中任取5個先進行跟蹤調(diào)查，設Y為抽到的這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學期望．（參考數(shù)據(jù)：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）21．已知點A（0，﹣1），B（0，1），動點P滿足||||＝?．記點P的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）設D為直線y＝﹣2上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別是E，F(xiàn)．證明：直線EF過定點．22．已知函數(shù)（a＞0）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）設0＜a＜，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）上零點的個數(shù)．（附：對于任意x＞0，都有）．

參考答案一、單項選擇題（共8小題）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則集合B的子集的個數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．16解：∵集合A＝{1，2，3}，平面內(nèi)以（x，y）為坐標的點集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}，∴B的子集個數(shù)為：23＝8個．故選：C．2．棣莫弗公式[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ，isinnθ）（i為虛數(shù)單位，r＞0）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667﹣1754）發(fā)現(xiàn)的．根據(jù)棣莫弗公式，在復平面內(nèi)復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由題意得，＝215（cos+isin）＝215（cos+isin），其對應的點位于第一象限．故選：A．3．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故選：A．4．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝﹣f（x），且?x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2時，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，則（）A．f（log43）＜＜ B．＜f（log43）＜ C．＜＜f（log43） D．＜f（log43）＜解：由題意可知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，又因為＜0＜log43＜1＜，∴＜f（log43）＜，故選：B．5．如圖，斜線段AB與平面α所成的角為，B為斜足．平面α上的動點P滿足∠PAB＝，則點P的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【解答】解：用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線．參考上圖：此題中平面α上的動點P滿足∠PAB＝，可理解為P在以AB為軸的圓錐的側(cè)面上，再由斜線段AB與平面α所成的角為，可知P的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義，故可知動點P的軌跡是橢圓．故選：B．6．已知a＞0，b＞0，向量＝（a+2b，﹣9），＝（8，ab），若⊥，則2a+b的最小值為（）A．9 B．8 C． D．5解：根據(jù)題意，向量＝（a+2b，﹣9），＝（8，ab），若⊥，則?＝8（a+2b）﹣9ab＝0，即8（a+2b）＝9ab，變形可得+＝，則2a+b＝×（2a+b）＝×（+）（2a+b）＝×（5++），又由a＞0，b＞0，則+＝2（+）≥4，當且僅當a＝b時等號成立，則2a+b＝×（5++）≥×（5+4）＝8，則2a+b的最小值為8，故選：B．7．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2+x）＝f（2﹣x），當x∈[﹣2，0]時，f（x）＝x+2，設函數(shù)h（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則f（x）與h（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．5 B．6 C．7 D．8解：由f（2+x）＝f（2﹣x）且f（x）是偶函數(shù)，可知函數(shù)f（x）的周期為4，由題意可知f（x）和h（x）的圖象都是關于x＝2對稱，因此四個交點的橫坐標也都關于直線x＝2對稱，所以四個交點的橫坐標之和為8，故選：D．8．將函數(shù)f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像，對于滿足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，當|x1﹣x2|最小值為時，φ＝（）A． B． C． D．解：f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），將f（x）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像，即g（x）＝2sin[2（x﹣φ）+]＝2sin（2x﹣2φ+），由|f（x1）﹣g（x2）|＝4，得f（x1）＝2，g（x2）＝﹣2，或f（x1）＝﹣2，g（x2）＝2，不妨設f（x1）＝2，g（x2）＝﹣2，則2x1+＝2k1π+，2x2﹣2φ+＝2k2π﹣，則兩式作差得2x1﹣2x2＝2k1π+﹣2k2π++2φ＝2（k1﹣k2）π+2φ，即x1﹣x2＝（k1﹣k2）π+φ，則|x1﹣x2|＝|（k1﹣k2）π+φ|，∴當k1﹣k2＝0時，|x1﹣x2|最小值為φ＝，故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．已知橢圓M：的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左右頂點分別是A1，A2，點P是橢圓上異于A1，A2的任意一點，則下列說法正確的是（）A．|PF1|+|PF2|＝5 B．直線PA1與直線PA2的斜率之積為 C．存在點P滿足∠F1PF2＝90° D．若△F1PF2的面積為，則點P的橫坐標為解：由橢圓方程可得：a＝5，c＝，則F，A1（﹣5，0），A2（5，0），由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|＝2a＝10，故A錯誤；設點P的坐標為（m，n），則，即n，則k，k，所以k＝，故B正確；，，若∠F1PF2＝90°，則，又n，聯(lián)立可得：，方程無解，故C錯誤；三角形PF1F2的面積為S＝，解得yP＝±4，代入橢圓方程可得x，故D正確，故選：BD．10．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝a2＝1，an＝an﹣1+2an﹣2（n≥3），則下列結論正確的是（）A．數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列 B．數(shù)列{an+1﹣2an}為等比數(shù)列 C． D．解：an＝an﹣1+2an﹣2，an+an﹣1＝2an﹣1+2an﹣2＝2（an﹣1+an﹣2）（n≥3），因為a1＝a2＝1，所以a3＝a1+2a2＝3，a3+a2＝4＝2（a2+a1），所以數(shù)列{an+an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an+an+1＝2?2n﹣1＝2n，故選項A正確；an＝an﹣1+2an﹣2，an﹣2an﹣1＝2an﹣2﹣an﹣1＝﹣（an﹣1﹣2an﹣2），a3﹣2a2＝3﹣2＝1，a2﹣2a1＝1﹣2＝﹣1，所以{an+1﹣2an}是首項為﹣1，公比為﹣1的等比數(shù)列，an+1﹣2an＝﹣1?（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n，故選項B正確；，所以an＝，故選項C錯誤；S20＝a1+a2+…+an＝++…+＝＝×[﹣]＝（220﹣1）＝（410﹣1），故選項D正確．故選：ABD．11．若0＜x1＜x2＜1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結論錯誤的是（）A．＜ B．＞ C．＞lnx2﹣lnx1 D．＜lnx2﹣lnx1解：令f（x）＝，則，當x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，因為0＜x1＜x2＜1，所以f（x1）＞f（x2），即，所以，A錯誤，B正確；令g（x）＝ex+lnx，易得g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故0＜x1＜x2＜1時，g（x1）＜g（x2），所以，即，C正確，D錯誤．故選：BC．12．若四面體各棱的長是1或2，且該四面體的棱長不全相等，則其體積的值可能為（）A． B． C． D．解：（1）若底邊長為2，2，2，側(cè)棱長為2，2，1，設AB＝1，AB的中點為E，則AB⊥CE，AB⊥DE，∴AB⊥平面CDE，∵CE＝DE＝＝，CD＝2，∴cos∠CED＝＝，∴sin∠CED＝，∴V＝S△CDE?AB＝×××××1＝；（2）若底邊長為1，1，1，側(cè)棱長為2，2，2，設底面中心為O，則OB＝×＝，∴棱錐的高h＝＝，∴V＝S△BCD?h＝××＝；（3）若底面邊長為2，2，1，側(cè)棱長為2，2，1，設AB＝CD＝1，其余各棱長均為2，由（1）可知cos∠CED＝＝，∴sin∠CED＝，∴V＝S△CDE?AB＝×××××1＝．結合選項可得，ABC正確，故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．某公司對近5年的年廣告支出x（單位：萬元）與年利潤y（單位：萬元）進行了初步統(tǒng)計如表所示：年廣告支出x12345年利潤y56a810由上表中數(shù)據(jù)求得年廣告支出x與年利潤y滿足線性回歸方程＝1.2+3.6，則a的值為7．解：＝＝3，＝＝，線性回歸方程＝1.2+3.6經(jīng)過樣本中心，所以＝1.2×3+3.6，解得a＝7．故答案為：7．14．（x+y﹣z）6的展開式中xy2z3的系數(shù)是﹣60．解：（x+y﹣z）6表示6個因式（x+y﹣z）的乘積，故其中有一個因式取x，其中2個因式取y，其余的因式都取﹣z，即可得到展開式中xy2z3的項，故該項的系數(shù)為???（﹣1）3＝﹣60，故答案為：﹣60．15．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，以F為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線相切于第一象限內(nèi)的一點B．若直線AB的斜率為，則雙曲線C的離心率為．解：由題意可知A（﹣a，0），經(jīng)過第一象限的漸近線方程為y＝，過點F且與漸近線垂直的直線相交于點B，∴，解得，∴B（），∴，即a+c＝2b，∵c2＝a2+b2，∴，即3e2﹣2e﹣5＝0，∴e＝，故答案為：．16．現(xiàn)有一半徑為R的圓形紙片，從該圓形紙片上裁下一個以圓心為中心，以R為半徑的扇形紙片，并將扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的體積的最大值是；此時，扇形的圓心角為．解：設扇形的圓心角為θ（0＜θ＜2π），弧長為l，圓錐的底面半徑為r，則l＝Rθ＝2πr，可得r＝，再設圓錐的高為h，∴h＝＝，圓錐的體積V＝＝．令f（θ）＝4π2θ4﹣θ6，由f′（θ）＝16π2θ3﹣6θ5＝0，得，∴當θ∈（0，π）時，f′（θ）＞0，當θ∈（π，2π）時，f′（θ）＜0，可得當時，．故答案為：；．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）設數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100．解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，可得b1＝2，a2＝4，則d＝2，q＝2，an＝2n，bn＝2n，n∈N*；（2）由題意可得{cn}的前幾項為6，10，12，14，18，20，22，24，26，28，30，…，即在2n與2n+1之間有2n﹣1﹣1項，可得{cn}的第100項在27與28之間，所以S100＝（2+4+6+8+10+…+2×107）﹣（2+4+8+…+128）＝×107×（2+214）+＝11810．18．在平面四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝，對角線AC與BD交于點E，E是BD的中點，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的長；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．解：（1）在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cos∠ABD，∴8＝16+BD2﹣2?4?BD?cos，化簡得BD2﹣4BD+8＝0，解得BD＝2，∵E是BD的中點，∴BE＝BD＝，在△ABE中，由余弦定理知，AE2＝AB2+BE2﹣2AB?BE?cos∠ABD＝16+2﹣2×4××＝10，∴AE＝，∵＝2，∴AC＝AE＝，由余弦定理知，cos∠BAC＝＝＝，在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠BAC＝16+﹣2×4××＝，∴BC＝．（2）∵AC＝3，＝2，∴AE＝2，∵∠AEB+∠AED＝π，∴cos∠AEB＝﹣∠AED，設BE＝DE＝x，則＝﹣，即＝﹣，解得x＝2，∴BD＝2BE＝4，在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BAD＝＝＝﹣．19．如圖1所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形．過點A的平面與棱BB1，CC1，DD1分別相交于E，F(xiàn)，G三點，且CF＝3，DG＝2．（1）求BE的長；（2）若平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1是側(cè)棱長為6的直四棱柱（如圖2），求平面ABCD與平面AED1所成銳二面角的余弦值．解：（1）連接AC、BD交于N，連接AF、EG交于M，因為平面A1D∥平面B1C，平面AEFG∩平面A1D＝AG，平面AEFG∩平面B1C＝EF，所以AG∥EF，因理AE∥GF，所以四邊形AEFG為平行四邊形，于是M是AF、EG中點，因為四邊形ABCD是正方形，所以N為AC、BD中點，于是MN為△ACF中位線，又是梯形DGEB的中位線，所以MN＝CF＝，DG+BE＝2?MN，所以BE＝2?﹣2＝1．（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，＝（4，0，1），＝（0，4，6），設平面AD1E的法向量為＝（x，y，z），，令z＝﹣4，＝（1，6，﹣4），平面ABCD的法向量為＝（0，0，1），所以平面ABCD與平面AED1所成銳二面角的余弦值為＝＝．20．國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定46個城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達35%以上．截至2019年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%．武漢市在實施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)垃圾數(shù)量超過28噸/天的確定為“超標”社區(qū)：垃圾量X[12.5，15.5）[15.5，18.5）[18.5，21.5）[21.5，24.5）[24.5，27.5）[27.5，30.5）[30.5，33.5]頻數(shù)56912864（1）通過頻數(shù)分布表估算出這50個社區(qū)這一天垃圾量的平均值（精確到0.1）；（2）若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為（1）中的樣本平均值，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s＝5.2．請利用正態(tài)分布知識估計這320個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)．（3）通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府決定對這8個“超標”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調(diào)查．現(xiàn)計劃在這8個“超標”社區(qū)中任取5個先進行跟蹤調(diào)查，設Y為抽到的這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學期望．（參考數(shù)據(jù)：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）解：（1）由頻數(shù)分布表得：＝＝22.76≈22.8．所以這50個社區(qū)這一天垃圾量的平均值為22.8噸．（2）由（1）知μ＝22.8，∵s＝5.2，σ＝s＝5.2，∴P（X＞28）＝P（X＞μ+σ）＝＝0.15865，∵320×0.15865＝50.768≈51，所以這320個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)為51．（3）由頻數(shù)分布表知：8個“超標”社區(qū)中這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個，所以Y的可能取值為1，2，3，4，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，P（Y＝3）＝＝，P（Y＝4）＝＝，所以Y的分布列為：Y1234P∴E（Y）＝1×＝．21．已知點A（0，﹣1），B（0，1），動點P滿足||||＝?．記點P的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）設D為直線y＝﹣2上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別是E，F(xiàn)．證明：直線EF過定點．解：（1）設P（x，y），則＝（﹣x，﹣1﹣y），＝（﹣x，1﹣y）＝（0，2），＝（0，﹣2），所以|，所以化簡得x2＝4y，所以C的方程為x2＝4y．（2）由題意可設D（t，﹣2），E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），由題意知切線DE，DF的斜率都存在，由x2＝4y，得，則，所以，直線DE的方程為，即，①因為E（x1，y1）在x2＝4y上，所以，即，②將②代入①得x1x﹣2y1﹣2y＝0，所以直線DE的方程為x1x﹣2y1﹣2y＝0，同理可得直線DF的方程為x2x﹣2y2﹣2y＝0，因為D（t，﹣