2025年外研版高一數(shù)學上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高一數(shù)學上冊月考試卷151考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、把正方形沿對角線折起,當以四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線和平面所成的角的大小為（）A.B.C.D.2、【題文】已知若是的充分不必要條件,則實數(shù)的取值范圍為()A.(-∞,3]B.[2,3]C.(2,3]D.(2,3)3、【題文】已知函數(shù)（a>0且）在〔1,2〕上的最大值與最小值之差為則a的值為A.B.2C.D.4、已知函數(shù)直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸，則（）A.B.C.D.5、設f（x）在[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上的平均值是（）A.B.f（x）dxC.f（x）dxD.f（x）dx6、函數(shù)f（x）=sinxcosx的最小值是（）A.﹣1B.﹣C.D.17、已知集合A={1，2}，B={2，4}，則A∪B=（）A.{2}B.{1，2，2，4}C.?D.{1，2，4}8、在等比數(shù)列{an}中，若a4=1，a7=8，則公比q=（）A.B.C.3D.29、給出下面四個命題（其中m；n，l為空間中不同的三條直線，α，β為空間中不同的兩個平面）：

①m∥n；n∥α?m∥α

②α⊥β；α∩β=m，l⊥m?l⊥β；

③l⊥m；l⊥n，m?α，n?α?l⊥α

④m∩n=A；m∥α，m∥β，n∥α，n∥β?α∥β．

其中錯誤的命題個數(shù)為（）A.1個B.2個C.3個D.4個評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)10、下面四個命題中，其中正確命題的序號為____．

①函數(shù)f（x）=|tanx|是周期為π的偶函數(shù)；

②若α；β是第一象限的角；且α＞β，則sinα＞sinβ；

③是函數(shù)的一條對稱軸方程；

④在內(nèi)方程tanx=sinx有3個解．11、如圖，設且．當時，定義平面坐標系為–仿射坐標系，在–仿射坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：分別為與軸、軸正向相同的單位向量，若則記為那么在以下的結(jié)論中，正確的序號有．①設則②若則③若的夾角為則④若則．12、若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，且側(cè)棱垂直于底面，若AB1與底面ABCD成60°角，則二面角C-B1D1-C1的平面角的正切值為____．13、如圖，在△ABC中，ADAB，則_________．14、【題文】棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱的中點，點分別是線段（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面則。

（1）直線被球截得的線段長為。

（2）四面體的體積的最大值是15、【題文】已知方程有兩個相異的正實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________16、【題文】已知函數(shù)在［0，1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是____．17、【題文】一個幾何體的正視圖為一個三角形；則這個幾何體可能是下列幾何體中的_______(填入所有可能的幾何體前的編號)

①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱18、函數(shù)y=2x2﹣2x﹣3有以下4個結(jié)論：①定義域為R；

②遞增區(qū)間為[1；+∞）

③是非奇非偶函數(shù)；

④值域是[∞）．

其中正確的結(jié)論是____．評卷人得分三、解答題(共9題，共18分)19、已知：（a+2）（+1）=1，求1+-的值．20、圓x2+y2=8內(nèi)一點P（-1；2）．過點P的直線的傾斜角為α，直線l交圓于A；B兩點．

（Ⅰ）當α=135°時；求AB的長；（tan135°=-1）

（Ⅱ）當弦AB被點P平分時；求直線l的方程．

21、如圖所示；已知S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA=SB=SC，SG為△SAB上的高，D；E、F分別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG與平面DEF的位置關系，并給予證明．

22、一物體沿直線以速度v（t）=2t-3（t的單位為：秒；v的單位為：米/秒）的速度作變速直線運動，求該物體從時刻t=0秒至時刻t=5秒間運動的路程？

23、某地區(qū)有三座工廠分別位于△ABC的三個頂點，已知．為了處理三個工廠的污水；現(xiàn)要在△ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）且與B；C等距的一點O處建立一個污水處理廠，并鋪設排污管道OA、OB、OC．

（1）設OA=xkm；若要使排污管道總長不超過11km，求x的取值范圍；

（2）設∠OBC=θ；當排污管道總長取最小值時，求θ的值．

24、函數(shù)滿足：①定義域是②當時，③對任意總有（1）求出的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（3）寫出一個滿足上述條件的具體函數(shù)。25、【題文】假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.

(1)求p0的值；(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)；有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974)

(2)某客運公司用A、B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務，每車每天往返一次．A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？26、等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，=2．

（1）求||；

（2）線段AB上是否存在點E，使得CE⊥BD？若不存在，說明理由；若存在，指出E點的位置．27、求經(jīng)過點P(6,鈭?4)

且被定圓Ox2+y2=20

截得的弦長為62

的直線AB

的方程．評卷人得分四、證明題(共3題，共21分)28、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．29、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．30、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．評卷人得分五、作圖題(共4題，共20分)31、如圖A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．32、作出函數(shù)y=的圖象．33、某潛艇為躲避反潛飛機的偵查，緊急下潛50m后，又以15km/h的速度，沿北偏東45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏東60°前行8min，最后擺脫了反潛飛機的偵查．試畫出潛艇整個過程的位移示意圖．34、已知簡單組合體如圖；試畫出它的三視圖（尺寸不做嚴格要求）

參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、B【分析】試題分析：因為正方形沿對角線折起，成為一個四棱錐，在折的過程中以面為底面，所以底面積是沒有改變的，只有高在變化，當面垂直于底面時，以四點為頂點的三棱錐體積最大.如圖點是的中點，所以又因為面面且面面所以面又因為所以直線和平面所成的角的為故選B.

考點：1.三棱錐的體積公式；2.二面的概念；3.直線與平面所成的角.【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】

試題分析：由所以2＜x≤3，又a-1＜x＜a+1，因為p是q的充分不必要條件，所以解得a∈（2，3]．故選C．.

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】若是函數(shù)圖像的一條對稱軸，則是函數(shù)的極值點，求導得故所以故選C.5、D【分析】【解答】由積分的定義可知，f（x）dx是x和f（x）圍成的面積（或相反數(shù)）

而該值除以b﹣a就是平均值了。

故f（x）在[a，b]上的平均值是f（x）dx

故選D。

【分析】對f（x）積分是x=a，x=b和f（x）圍成的面積（或相反數(shù)）在除以b﹣a就是平均的高了也就是平均值6、B【分析】【解答】解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x．

∴當x=kπ﹣k∈Z時，f（x）min=﹣．

答案B

【分析】利用倍角公式可把已知轉(zhuǎn)化為f（x）=sin2x的形式，結(jié)合三角函數(shù)中正弦函數(shù)最小值取得的條件，求解該函數(shù)的最小值7、D【分析】解：∵集合A={1；2}，B={2，4}；

∴A∪B={1；2，4}．

故選：D．

利用并集性質(zhì)求解．

本題考查并集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意并集定義的合理運用．【解析】【答案】D8、D【分析】解：在等比數(shù)列中，q3=

∴q=2；

故選：D

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解即可．

本題主要考查等比數(shù)列公比的求解，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關鍵．【解析】【答案】D9、C【分析】解：①m∥n；n∥α，則m∥α或m?α，故①錯誤；

②α⊥β；α∩β=m，l⊥m，則l⊥β或l∥β或l?β或l與β相交；故②錯誤；

③l⊥m；l⊥n，m?α，n?α，若m與n相交，則l⊥α，否則不成立，故③錯誤；

④若m∩n=A；設過m，n的平面為γ，若m∥α，n∥α，則α∥γ；

若m∥β；n∥β，則γ∥β，則α∥β成立．故④正確；

故錯誤是①②③；

故選：C．

①根據(jù)線面平行的判定定理進行判斷．

②根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理進行判斷．

③根據(jù)線面垂直的定義進行判斷．

④根據(jù)面面平行的判定定理進行判斷．

本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)空間直線和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理以及性質(zhì)定理是解決本題的關鍵．【解析】【答案】C二、填空題(共9題，共18分)10、略

【分析】

∵f（-x）=|tan（-x）|=|-tanx|=|tanx|=f（x）；又π是f（x）=tanx的周期，故①√；

∵而sinα=＜sinβ=故②×；

∵y=sinx對稱軸方程是x=kπ+k∈z，當x=時，2x+==．∴③√；

∵x∈（0，），0＜cosx＜1，∴tanx=＞sinx，根據(jù)對稱性，∴y=tanx與y=sinx的圖象在（-）內(nèi)只有一個交點（0；0），故④×；

故答案是①③

【解析】【答案】利用三角函數(shù)的性質(zhì)判斷；③可用整體代入求對稱軸方程，可通過比較tanx與sinx的大小來判斷方程的解的個數(shù)．

11、略

【分析】試題分析：對于①，①錯誤；對于②，由故②正確；對于③，的夾角為根據(jù)夾角公式得故即則③正確對于④，∴④錯誤；所以正確的是②、③．考點：命題真假的判斷及應用和向量坐標運算.【解析】【答案】②、③12、略

【分析】

因為B1B⊥底面ABCD，所以AB1與底面ABCD成的角為∠B1AB，由∠B1AB=60°得B1B=

因為C1C⊥底面A1B1C1D1，連接A1C1，交B1D1與O，則C1O⊥B1D1；

連接CO，則∠C1OC即為二面角C-B1D1-C1的平面角；

在△C1OC中，C1C=B1B=C1O=

所以tan∠C1OC=

故答案為：．

【解析】【答案】因為四棱柱側(cè)棱垂直于底面，故AB1與底面ABCD所成的角可直接找出，從而求出棱柱的高，再由三垂線定理法作出二面角C-B1D1-C1的平面角；解直角三角形即可．

13、略

【分析】【解析】

因為【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）因為點在圓上，為中點，所以直線被球截得的線段長為正方形的外接圓直徑，等于（2）過做與點，連接∵

平面∥平面為平面與兩平行平面的交線；

又平面

設正方體的棱長為1，則

當時，最大值為．

考點：組合體【解析】【答案】(1)(2)15、略

【分析】【解析】

試題分析：先將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程；再結(jié)合根與系數(shù)的關系式及判別式求解。

解：令則原方程化為

根據(jù)題意，方程有兩個大于1的相異實根.

令則

考點：指數(shù)函數(shù)；根的判別式；根與系數(shù)的關系．

點評：總結(jié)一元二次方程根的情況與判別式△的關系：

（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．

此題不僅考查了根的判別式的應用，還應用了根與系數(shù)的關系以及配方法的運用，增根的判斷．【解析】【答案】16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(1，2)17、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】①②③⑤18、①③【分析】【解答】解：函數(shù)y=2x2﹣2x﹣3的圖象是開口朝上，且頂點為（）的拋物線；函數(shù)的定義域為R，故①正確；

函數(shù)遞增區(qū)間為[+∞），故②錯誤；

函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；故③正確；

函數(shù)的值域是[∞），故④錯誤．

故答案為：①③

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析各個結(jié)論的真假，可得答案．三、解答題(共9題，共18分)19、略

【分析】【分析】首先將所求的代數(shù)式化簡，然后再將的值整體代入求解．【解析】【解答】解：由題意，知：=+1；

原式=1+（-）

=1+

=1-

=1-（+1）

=-．20、略

【分析】

（Ⅰ）當α=135°時，kAB=-1；得直線AB的方程為y-2=-（x+1），（2分）

∴直線AB方程為x+y-1=0．

故圓心（0，0）到AB的距離d=（4分）

從而得到弦長|AB|=2．（6分）

（Ⅱ）∵圓x2+y2=8的圓心為O（0；0），P（-1，2）

∴由直線的斜率公式算出OP的斜率kop=-2；

又∵弦AB被點P平分；可得OP與AB互相垂直。

∴直線AB的斜率（9分）

因此，直線l的方程為y-2=（x+1）；化簡得x-2y+5=0．（12分）

【解析】【答案】（I）根據(jù)題意；直線AB的方程為x+y-1=0，由點到直線的距離公式算出圓心（0，0）到AB的距離，再由垂徑定理即可求出弦AB的長；

（II）由圓的幾何性質(zhì)；得弦AB被點P平分時OP與AB互相垂直．因此先算出OP斜率，從而得到AB的斜率，利用直線的點斜式方程列式，即可求出直線l的方程．

21、略

【分析】

根據(jù)題意；可得SG與平面DEF的位置關系是SG∥平面DEF；

證明如下：

如圖所示；連接CG交DE于點H；

∵DE是△ABC的中位線；∴DE∥AB．

又∵在△ACG中；D是AC的中點，且DH∥AG．

∴H為CG的中點；可得FH是△SCG的中位線；

∴FH∥SG．

又∵SG?平面DEF；FH?平面DEF；

∴SG∥平面DEF．

【解析】【答案】如圖所示；連接CG交DE于點H．在△ABC利用中位線定理證出DH∥AG，再由平行線的性質(zhì)得到H為CG的中點，從而得到△SGC中FH∥SG，最后根據(jù)直線與平面平行的判定的判定定理，可證出SG∥平面DEF，得到本題答案．

22、略

【分析】

∵當時，

當時，．

∴物體從時刻t=0秒至時刻t=5秒間運動的路程。

=（米）

【解析】【答案】先求出v（t）=2t-3在t∈（0；5）的符號，然后分別求出每一段的定積分，最后相加即可求出所求．

23、略

【分析】

（1）設BC中點為D；由AB=AC及OB=OC知，O點在線段AD上。

km

設AO=x，則0＜x＜3（2分）

由OA+OB+OB≤11知（3分）

即

平方化簡有：3x2-2x-1≤0（5分）又0＜x＜3

故0＜x≤1（6分）

（2）設∠OBC=θ，則

∴

則（8分）

令得

故k2≥3，又k＞0，故（10分）

則

此時有：即得

又故

故（12分）

（若由（1）知得平方化為x的二次方程△≥0得Lmin亦可．）

【解析】【答案】（1）設BC中點為D；由AB=AC及OB=OC知，O點在線段AD上，設OA=xkm，求出AD，若要使排污管道總長不超過11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范圍；

（2）設∠OBC=θ；求出排污管道總長的表達式，求出取最小值時的θ值即可．

24、略

【分析】

（1）令有（2）在單調(diào)遞減事實上，設且則在上單調(diào)遞減（3）其中可以取內(nèi)的任意一個實數(shù)【解析】略【解析】【答案】25、略

【分析】【解析】解：(1)由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700由正態(tài)分布的對稱性；可得。

p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＋P(700(2)設A型；B型車輛的數(shù)量分別為x；y輛，則相應的營運成本為1600x＋2400y.

依題意；x，y還需滿足x＋y≤21，y≤x＋7；

P(X≤36x＋60y)≥p0.

由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等價于36x＋60y≥900.

于是原問題等價于求滿足約束條件

且使目標函數(shù)z＝1600x＋2400y達到最小的x；y.

作可行域如圖所示；可行域的三個頂點坐標分別為P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．

由圖可知，當直線z＝1600x＋2400y經(jīng)過可行域的點P時，直線z＝1600x＋2400y在y軸上截距最?。患磟取得最小值．

故應配備A型車5輛、B型車12輛．【解析】【答案】(1)0.9772(2)配備A型車5輛、B型車12輛26、略

【分析】

（1）||=利用向量的運算法則即可求得；

（2）假設存在=t時，使得CE⊥BD，則=0，即（-）（+）=0；進行向量運算即可求得t．

本題主要考查向量的運算知識，解題時注意向量的夾角別弄錯了．【解析】解：（1）∵AB=BC=2，=2．

∴==

∴||====．

（2）假設當=t時；使得CE⊥BD；

∵=-=+

∴=0，即（-）（+）=0；

+--=0

2t×-4-2××（-）=0；

解得t=．

E點滿足=時，使得CE⊥BD．27、略

【分析】

直線AB

的斜率存在，且|AB|=62OA=25

作OC隆脥AB

于C

設直線的方程為kx鈭?y鈭?6k鈭?4=0

由圓心到直線的距離為2

得17k2+24k+7=0

由此能求出直線方程．

本題考查直線方程式的求法，考查圓、直線方程、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．【解析】解：由題意知，直線AB

的斜率存在，且|AB|=62OA=25

作OC隆脥AB

于C

．

在Rt鈻?OAC

中，|OC|=20鈭?(32)2=2

．

設所求直線的斜率為k

則直線的方程為y+4=k(x鈭?6)

即kx鈭?y鈭?6k鈭?4=0

．

隆脽

圓心到直線的距離為2

隆脿|6k+4|1+k2=2

即17k2+24k+7=0

隆脿k=鈭?1

或k=鈭?717

．

故所求直線的方程為x+y鈭?2=0

或7x+17y+26=0

．四、證明題(共3題，共21分)28、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．29、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠