信號與系統(tǒng)5電子課件

第5章連續(xù)時(shí)間s域分析5.1拉普拉斯變換5.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解5.3系統(tǒng)的s域分析*5.4模擬濾波器設(shè)計(jì)5.1拉普拉斯變換5.1.1拉普拉斯變換的定義及收斂域從傅立葉變換到拉普拉斯變換當(dāng)信號x(t)滿足絕對可積條件時(shí)，存在唯一傅立葉變換

然而，對于一些常用信號，上述積分并不收斂?，F(xiàn)引入實(shí)函數(shù)e-σ

t，考慮x(t)e-σ

t的傅里葉變換，即積分后是σ

+jω的函數(shù)，上述積分可以視為是對的一種新變換，令s=σ

+

jω，則可寫為上式即為拉普拉斯正變換定義式。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/142/1205.1拉普拉斯變換為了得出拉普拉斯逆變換表達(dá)式，同樣沿用x(t)e-σt傅里葉變換的概念，即兩邊乘以eσt有同樣令s=σ

+

jω，從而有上式為拉普拉斯逆變換定義式。可以稱x(t)為原函數(shù)，X(s)為像函數(shù)。為表述方便，拉普拉斯正變換、逆變換及變換對常采用下列符號表示。5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/143/1205.1拉普拉斯變換上式定義的拉普拉斯變換是傅里葉變換的直接變形和推廣，它假定信號x(t)在(-∞,+∞)區(qū)間有非零值，這里稱之為雙邊信號拉普拉斯變換（雙邊拉普拉斯變換）。【例5-1】求直流信號x(t)=1的雙邊信號拉普拉斯變換?！窘狻坑啥x式得欲使上式第一項(xiàng)積分收斂，需σ

<0（因t≤0）；欲使第二項(xiàng)積分收斂，需σ

>0。不存在一個(gè)取值交集（也即的取值交集）使得整個(gè)積分收斂。因此，直流信號的雙邊信號拉普拉斯變換是不存在的。

上述例子可以看到，雙邊信號拉普拉斯變換仍然存在積分收斂問題，很難適用于信號與系統(tǒng)的分析和求解。5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/144/1205.1拉普拉斯變換【例5-2】求單位階躍信號x(t)=u(t)的雙邊信號拉普拉斯變換。【解】由定義式得

u(t)可以視為在雙邊直流信號的基礎(chǔ)上構(gòu)建的單邊直流信號。由例5-2的求解過程看到，單邊信號的拉普拉斯變換積分消除了雙邊積分的取交集問題，保證了單邊直流信號的拉普拉斯積分收斂，適用于信號與系統(tǒng)的分析和求解。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/145/1205.1拉普拉斯變換單邊信號的拉普拉斯變換在(-∞,+∞)區(qū)間上有非零值的雙邊信號x(t)，其對應(yīng)的右邊單邊信號（常簡稱為單邊信號）可定義和表示為

對上式單邊信號，求拉普拉斯變換有即當(dāng)考慮的逆變換時(shí)，

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/146/1205.1拉普拉斯變換單邊信號拉普拉斯變換的符號加以u下標(biāo)，與開始定義的拉普拉斯變換形成兩套符號體系，以避免兩者的混淆。

【例5-3】求單位沖激信號δ(t)的X(s)和Xu(s)?！窘狻慨?dāng)x(t)=δ(t)時(shí)有x(t)=xu(t)，所以即 可以看到對于δ(t)，由于x(t)=xu(t)，因此有X(s)=Xu(s)，即的雙邊信號拉普拉斯變換和其單邊信號拉普拉斯變換相等。5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/147/1205.1拉普拉斯變換【例5-4】求雙邊指數(shù)衰減信號x(t)=e-a|t|(a>0)的X(s)和Xu(s)。

【解】對于雙邊指數(shù)衰減信號有xu(t)=x(t)u(t)=

e-atu(t)

，因此

即 當(dāng)σ

<a時(shí)上式第一項(xiàng)積分收斂，當(dāng)σ

>-a時(shí)第二項(xiàng)積分收斂。因此當(dāng)-a<

σ

<a時(shí)整個(gè)積分收斂，因此有可以看到對于雙邊指數(shù)衰減信號Xu(s)≠X

(s)，因?yàn)閤u(t)≠

x(t)

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/148/1205.1拉普拉斯變換【例5-5】求單個(gè)方波信號x(t)=u(t)-u(t-T)的X(s)和Xu(s)?！窘狻坑捎谶@也是一個(gè)右邊單邊信號，即x(t)=xu(t)，因此有

其中積分收斂的區(qū)域是σ

>-∞。因?yàn)橹灰?/p>

>-∞，e-σ

t在上述有限積分區(qū)間內(nèi)將為有限值，整個(gè)積分可收斂。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/149/1205.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換的收斂域特征右邊單邊信號拉普拉斯變換的收斂域特征對于時(shí)限單邊信號，Xu(s)的收斂域?yàn)檎麄€(gè)s平面。收斂域一定是平面上某縱向直線σ

=-σ0的右半s平面，即收斂域?yàn)棣?/p>

>σ0，分界線稱為收斂軸，收斂軸屬于不收斂區(qū)。當(dāng)xu(t)為指數(shù)衰減信號時(shí)收斂域包含ω軸(σ0<0)；當(dāng)xu(t)為等幅信號時(shí)收斂軸與ω軸重合(σ0=0)；當(dāng)xu(t)為指數(shù)增長信號時(shí)收斂域不包含ω軸(σ0>0)

有意義的收斂域特征是衰減信號和等幅信號所對應(yīng)的圖5.2(a)和(b)。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/1410/1205.1拉普拉斯變換5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.4圖5.2Xu(s)的收斂域特征2025/1/1411/1205.1拉普拉斯變換*2)左邊單邊信號拉普拉斯變換的收斂域特征不同信號對應(yīng)的收斂域如下圖所示，有意義的收斂域特征是左邊衰減信號和等幅信號所對應(yīng)的圖5.3(a)和(b)。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.4圖5.3左邊單邊信號拉普拉斯變換的收斂域特征2025/1/1412/1205.1拉普拉斯變換*3)雙邊信號拉普拉斯變換的收斂域特征

雙邊信號拉普拉斯變換的收斂點(diǎn)一定具有的σ2>σ

>σ1形式，所以收斂域的典型特征是平面上縱向延伸至正負(fù)無窮的帶狀區(qū)域。不同類型的信號對應(yīng)收斂域如圖5.4所示。有意義的收斂域特征是雙邊衰減信號對應(yīng)的圖5.4(a)。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.4圖5.4雙邊信號拉普拉斯變換X(s)的收斂域特征

2025/1/1413/1205.1拉普拉斯變換最后，將拉普拉斯變換收斂域特征的幾個(gè)重要概念歸納如下。(1)有限時(shí)長信號的X(s)和Xu(s)收斂域均為整個(gè)平面。(2)無限時(shí)長右邊單邊信號xu(t)的Xu(s)具有單收斂軸，收斂域?yàn)槭諗枯S的右半平面。(3)無限時(shí)長左邊單邊信號X(s)的具有單收斂軸，收斂域?yàn)槭諗枯S的左半平面。(4)無限時(shí)長雙邊信號xu(t)的Xu(s)具有雙收斂軸，收斂域?yàn)閮墒諗枯S之間的縱向帶狀區(qū)域。(5)如果要求有第3章討論的傅里葉變換存在，則拉普拉斯變換像函數(shù)的收斂域需要包含s平面ω軸，至少收斂軸和ω軸重合。討論傅里葉變換不存在的拉普拉斯變換像函數(shù)，在信號與系統(tǒng)分析中沒有意義。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/1414/1205.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換的唯一性如果已知信號為右邊單邊信號或左邊單邊信號，則時(shí)域信號和其拉普拉斯變換之間是一一對應(yīng)的。若像函數(shù)表達(dá)式本身有Xu(s)≠Fu(s)，一定有xu(t)≠fu(t)；反之亦然。因此，在后面的單邊信號拉普拉斯變換的討論中通常不標(biāo)注像函數(shù)的收斂域。雙邊信號與其像函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，需要結(jié)合收斂域進(jìn)行判定，即

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/1415/1205.1拉普拉斯變換【例5-6】求下列兩時(shí)域信號的雙邊信號拉普拉斯變換?！窘狻肯惹骕1(s)。根據(jù)雙邊信號變換的定義有再求X2(s)，根據(jù)雙邊信號變換的定義有5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/1416/1205.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換和傅里葉變換之間的關(guān)系在拉普拉斯變換中令σ

=0則得到傅里葉變換，即有下列關(guān)系式成立只有或滿足絕對可積條件時(shí)，方有上述關(guān)系式成立。

當(dāng)X(s)或Xu(s)的收斂域包含s平面虛軸時(shí)，方有上述關(guān)系成立。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/1417/1205.1拉普拉斯變換系統(tǒng)響應(yīng)求解的信號建模和單邊信號拉普拉斯變換實(shí)際應(yīng)用中通常需要考察的是“從某個(gè)時(shí)刻開始系統(tǒng)加入激勵(lì)或切換至某個(gè)激勵(lì)后的系統(tǒng)響應(yīng)”，不失一般性，可將此時(shí)刻設(shè)定為t=0。這一過程可以用下圖進(jìn)行描述。系統(tǒng)激勵(lì)用單邊信號xu(t)=x(t)u(t)建模，t≤0-時(shí)刻外界對系統(tǒng)的作用轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能；系統(tǒng)輸出也用單邊信號yu(t)=y(t)u(t)建模，因?yàn)楦信d趣的是t=0時(shí)刻以后的系統(tǒng)輸出。因此，實(shí)際應(yīng)用中系統(tǒng)響應(yīng)求解涉及的輸入和輸出信號常常是單邊信號，當(dāng)希望用域分析方法求解時(shí)，對應(yīng)的是單邊信號的拉普拉斯變換。

5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.4圖5.5典型系統(tǒng)響應(yīng)求解的輸入輸出信號建模2025/1/1418/1205.1拉普拉斯變換對于上述系統(tǒng)響應(yīng)求解的信號模型，還需注意到以下概念。取值xu(0-)=0,xu(0+)=x(0+)是明確的。當(dāng)系統(tǒng)本身用微分方程描述時(shí)，根據(jù)上圖模型顯然有對于而言，由于系統(tǒng)在t≤0-時(shí)可能有外界作用，因此不能有類似的零狀態(tài)假定，一般情況下只能假定在輸入的激勵(lì)下，系統(tǒng)輸出在t=0-時(shí)刻可能會(huì)發(fā)生跳變，即yu(0-)≠

yu(0+)

。

通過Yu(s)確定yu(∞)也是應(yīng)用中的需求，因?yàn)橐粋€(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)需有|yu(∞)|<∞成立。5.15.25.35.45.1.15.1.25.1.35.1.42025/1/1419/1205.1拉普拉斯變換5.1.2拉普拉斯變換的性質(zhì)本節(jié)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是單邊信號拉普拉斯變換Xu(s)的性質(zhì)性質(zhì)1.線性性質(zhì)

性質(zhì)2.時(shí)移性質(zhì)注意x

(t-t0)u(t-t0)和x

(t-t0)u(t)的區(qū)別：x

(t-t0)u(t-t0)的平移不會(huì)引入新的非零樣值；x

(t-t0)u(t)平移將引入新的非零樣值5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1420/1205.1拉普拉斯變換【證明】由單邊信號拉普拉斯變換的定義知

【證畢】

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1421/1205.1拉普拉斯變換性質(zhì)3.尺度變換性質(zhì)【證明】由拉普拉斯變換定義有【證畢】【例5-9】設(shè)，求xu

(at-t0)

(a>0,t0>0)的單邊信號拉普拉斯變換?！窘狻亢头謩e滿足時(shí)移和尺度變換性質(zhì)的條件，直接應(yīng)用性質(zhì)有

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1422/1205.1拉普拉斯變換性質(zhì)4.時(shí)域微分性質(zhì)

【證明】(1)證明第1式。單邊信號拉普拉斯逆變換的定義為上式兩邊對t求導(dǎo)，并交換等式右邊求導(dǎo)和積分的順序得與單邊信號拉普拉斯逆變換的定義比較可知

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1423/1205.1拉普拉斯變換(2)證明第2式。根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義多次應(yīng)用該性質(zhì)可以獲得高階導(dǎo)數(shù)單邊信號所對應(yīng)的域函數(shù)，即

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1424/1205.1拉普拉斯變換【例5-10】一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)用下列微分方程描述，x(t)/y(t)為其輸入/輸出。試?yán)脮r(shí)域微分性質(zhì)確定該系統(tǒng)輸入輸出的域描述?！窘狻坷脮r(shí)域微分性質(zhì)對方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換一般認(rèn)為0-時(shí)刻的系統(tǒng)激勵(lì)為0，即x(0-)=0，上式化簡為整理得由上式看到，系統(tǒng)在s域中的輸入輸出關(guān)系是一個(gè)代數(shù)方程，并且方程中包含了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，所以單邊信號拉普拉斯變換為響應(yīng)求解帶來了很大便利。5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1425/1205.1拉普拉斯變換【例5-11】求沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)δ?(t)的單邊信號拉普拉斯變換?！窘狻坑捎讦?0-)=0，由時(shí)域微分性質(zhì)易知，

不難推知【例5-12】如圖所示x1(t)

=e-atu(t)，x2(t)

=e-atu(t)-u(-t)，求和的單邊信號拉普拉斯變換。

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.4圖5.8信號示意圖2025/1/1426/1205.1拉普拉斯變換【解】由圖示函數(shù)曲線知x1,u(t)=x1(t)u(t)=x2(t)u(t)=x2,u(t)，其單邊信號拉普拉斯變換為下面用兩種方法求解和的單邊信號拉普拉斯變換。

方法一利用時(shí)域微分性質(zhì)求解。由圖5.8知x1(0-)=0,x2(0-)=-15.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1427/1205.1拉普拉斯變換

方法二對和求導(dǎo)后再求其單邊信號拉普拉斯變換。由函數(shù)波形易知[-u(-t)]?=

δ(t)，因此x2(t)的導(dǎo)數(shù)為對上兩式求單邊信號的拉普拉斯變換，并注意到則有

可見兩種方法的計(jì)算結(jié)果相同。5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1428/1205.1拉普拉斯變換性質(zhì)5.時(shí)域積分性質(zhì)【證明】根據(jù)單邊信號拉普拉斯變換的定義有5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1429/1205.1拉普拉斯變換將積分分段兩邊取單邊信號拉普拉斯變換【證畢】

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1430/1205.1拉普拉斯變換【例5-13】利用時(shí)域積分性質(zhì)求tku(t)的單邊信號拉普拉斯變換。【解】由下列積分關(guān)系兩邊取拉普拉斯變換，并注意到和，則有即 不難驗(yàn)證有下列次積分關(guān)系成立

重復(fù)一次積分的計(jì)算過程可推得5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1431/1205.1拉普拉斯變換性質(zhì)6.時(shí)域卷積性質(zhì)【證明】根據(jù)單邊信號拉普拉斯變換的定義有5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1432/1205.1拉普拉斯變換【例5-18】利用時(shí)域卷積性質(zhì)證明時(shí)域積分性質(zhì)。【解】先證明下列卷積積分關(guān)系

即上式兩邊取拉普拉斯變換得

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1433/1205.1拉普拉斯變換性質(zhì)7.s域平移性質(zhì)

【例5-17】求單邊正弦信號cos(ω0t)u(t)和sin(ω0t)u(t)的拉普拉斯變換。

【解】求cos(ω0t)u(t)的單邊信號拉普拉斯變換。即，類似可求得5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1434/1205.1拉普拉斯變換【例5-18】求e-atcos(ω0t)u(t)和e-atsin(ω0t)u(t)的拉普拉斯變換。

【解】由例5-17結(jié)果和s域平移性質(zhì)可得5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1435/1205.1拉普拉斯變換性質(zhì)8.s域微分性質(zhì)【例5-19】求tcos(ω0t)u(t)和tsin(ω0t)u(t)的單邊拉普拉斯變換。

【解】由例5-17結(jié)果和s域微分性質(zhì)可知因此類似可以求得

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1436/1205.1拉普拉斯變換性質(zhì)9.初值定理

設(shè)xu(t)在t=0時(shí)刻不含δ

(t)或其導(dǎo)數(shù)，則有當(dāng)含有δ

(t)或其導(dǎo)函數(shù)時(shí)，。

【證明】利用時(shí)域微分性質(zhì)5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1437/1205.1拉普拉斯變換即上式兩邊令s→∞取極限，并考慮到則有實(shí)際應(yīng)用中的Xu(s)一般為的有理分式。當(dāng)要求不含δ

(t)或其導(dǎo)數(shù)時(shí)，即要求Xu(s)為真分式。如果不為真分式，采用多項(xiàng)式長除法將其化為真分式。5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1438/1205.1拉普拉斯變換【例5-20】已知，求其初值x(0+)。

【解】由于Xu(s)不是真分式，采用長除法可得則5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1439/1205.1拉普拉斯變換

性質(zhì)10.終值定理若存在，則【證明】利用時(shí)域微分性質(zhì)

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1440/1205.1拉普拉斯變換雙邊信號拉普拉斯變換可以看作是傅里葉變換的直接推廣，其性質(zhì)也和傅里葉變換的性質(zhì)類似（jω將替換為s），這里不在具體介紹。詳見教材及本章附表5.2。5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1441/1205.1拉普拉斯變換5.1.3拉普拉斯逆變換求解有理函數(shù)Xu(s)的一般形式可表示為

其中zi

(i=1,…,M)是分子多項(xiàng)式方程Bu(s)=0的根，稱為的零點(diǎn)；pi(i=1,…,N)是分母多項(xiàng)式方程Au(s)=0的根，稱為的極點(diǎn)。后面將會(huì)看到零極點(diǎn)在s平面上的分布提供了信號與系統(tǒng)的很多重要性質(zhì)。拉普拉斯逆變換的部分分式展開正是指像函數(shù)按照極點(diǎn)的展開。

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1442/1205.1拉普拉斯變換單邊信號的拉普拉斯逆變換假定Xu(s)為真分式（即M<N）所有極點(diǎn)為一階實(shí)數(shù)極點(diǎn)這種情況下Xu(s)展開后有

N項(xiàng)，可寫為上式兩邊同乘(s-pi)，有令s=pi后上式右端只剩Ki一項(xiàng)非零，因此由單邊指數(shù)衰減信號的拉普拉斯變換式可知5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1443/1205.1拉普拉斯變換【例5-21】求的拉普拉斯逆變換?！窘狻糠帜高M(jìn)行因式分解后可將展開式設(shè)為

將K1,K2代入Xu(s)，可得其拉普拉斯逆變換為

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1444/1205.1拉普拉斯變換2)含有一階共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)

Xu(s)的分子分母一般為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，當(dāng)出現(xiàn)復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，一定是共軛成對出現(xiàn)。因此，相對簡便的逆變換求解方法是利用單邊正弦信號和單邊余弦信號的拉普拉斯變換式（例5-17和例5-18結(jié)論）進(jìn)行求解?！纠?-22】求的拉普拉斯逆變換。

【解】可以看到Xu(s)有一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和一對共軛極點(diǎn)。展開式可設(shè)為5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1445/1205.1拉普拉斯變換為了確定K2和K3，將K1代入展開式中有將上式右端兩項(xiàng)合并，并通過比較等式兩端分子多項(xiàng)式的系數(shù)，可以得到確定K2和K3的方程，并求得K2=-2/3,K3=1/3

。因此有由相應(yīng)的典型信號變換公式可知xu(t)為

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1446/1205.1拉普拉斯變換3)含有重極點(diǎn)當(dāng)Xu(s)含有m階重極點(diǎn)p1，則該極點(diǎn)對應(yīng)于的展開式為其中各向系數(shù)可由下列式子確定5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1447/1205.1拉普拉斯變換【例5-23】求的拉普拉斯逆變換。【解】Xu(s)含有重極點(diǎn)，其展開式可以設(shè)為5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1448/1205.1拉普拉斯變換因此由于上式兩邊取逆變換，得對于一般高階極點(diǎn)的分式項(xiàng)，在例5-13結(jié)論的基礎(chǔ)上，利用s域頻移性質(zhì)，可得5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1449/1205.1拉普拉斯變換4)Xu(s)為假分式（M≥N）當(dāng)Xu(s)為假分式時(shí)，首先采用長除法將Xu(s)化為多項(xiàng)式和真分式之和，對真分式部分進(jìn)行部分分式展開。

【例5-24】求的拉普拉斯逆變換?！窘狻渴紫扔瞄L除法分解出真分式因此5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1450/1205.1拉普拉斯變換所求拉普拉斯逆變換為

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1451/1205.1拉普拉斯變換*5)Xu(s)為非有理函數(shù)

如果Xu(s)為非有理函數(shù)，有的情況下可以通過變形和巧妙應(yīng)用拉普拉斯變換的性質(zhì)進(jìn)行逆變換的求解。

【例5-25】求Xu(s)=ln(s+a)的拉普拉斯逆變換?！窘狻坑^察可知的導(dǎo)函數(shù)為有理分式，即兩邊進(jìn)行拉普拉斯逆變換，并利用s域微分性質(zhì)有因此

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1452/1205.1拉普拉斯變換從極點(diǎn)分布理解收斂域特征和拉普拉斯變換唯一性1)右邊單邊信號所謂極點(diǎn)就是像函數(shù)在該點(diǎn)的取值為無窮大，因此極點(diǎn)一定不會(huì)處于收斂域內(nèi)。右邊單邊信號拉普拉斯變換的收斂域是收斂軸的右半平面。結(jié)合這兩點(diǎn)，不難得出一個(gè)重要概念：右邊單邊信號拉普拉斯變換的收斂域一定是以最右端極點(diǎn)為分界線，如圖5.10所示。5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.4圖5.10例5-21和例5-22的極點(diǎn)分布和收斂域2025/1/1453/1205.1拉普拉斯變換【例5-26】試求的收斂域和逆變換?！窘狻繉u(s)分母進(jìn)行因式分解得逆變換為最右端極點(diǎn)為p=1，因此收斂域?yàn)棣?/p>

>1，極點(diǎn)分布和收斂域如下圖所示。5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1454/1205.1拉普拉斯變換2)左邊單邊信號左邊單邊信號的收斂域是收斂軸的左半平面，因此有結(jié)論：左邊單邊信號拉普拉斯變換的收斂域一定是以最左端極點(diǎn)為分界線。

【例5-27】假設(shè)一左邊單邊信號的拉普拉斯變換為，試確定其收斂域和逆變換?！窘狻吭撟筮厗芜呅盘柕南窈瘮?shù)與上例具有相同的表達(dá)式，即最左端極點(diǎn)為p=-2，因此其收斂域?yàn)棣?/p>

<-2。左邊單邊指數(shù)信號的拉普拉斯變換為

因此逆變換為

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1455/1205.1拉普拉斯變換3)雙邊信號雙邊信號拉普拉斯變換收斂域的典型特征是帶狀區(qū)域。這種區(qū)域通常為一些左半平面和右半平面的交集，這些左半平面和右半平面分別對應(yīng)左邊單邊信號和右邊單邊信號。因此，雙邊信號可以寫為這些單邊信號的和。雙邊信號的X(s)，其收斂域可能不止一種情況，對應(yīng)的逆變換也不止一種，如下圖所示5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.4圖5.12雙邊信號變換帶狀收斂域的兩種可能性2025/1/1456/1205.1拉普拉斯變換

【例5-28】假設(shè)一雙邊信號的拉普拉斯變換為，試確定其收斂域和逆變換?！窘狻咳绻諗坑蚴菆D5.12(a)，必然是{σ<1}∩{σ>-1}∩{σ>-2}，對應(yīng)的p1=1是左邊單邊信號的極點(diǎn)，p2=-1和p2=-2一定是右邊單邊信號的極點(diǎn)。參照前兩例的求解過程可知如果假定收斂域是圖5.12(b)，必然是{σ<1}∩{σ<-1}∩{σ>-2}，那么p1=1和p2=-1一定是左邊單邊信號極點(diǎn)，p2=-2是右邊單邊信號極點(diǎn)。因此其逆變換為5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1457/1205.1拉普拉斯變換

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.4*3.雙邊信號拉普拉斯逆變換求解由前面的例子可以看到，雙邊信號的拉普拉斯變換，其象函數(shù)X(s)和收斂域共同決定原函數(shù)x(t)。雙邊信號拉普拉斯逆變換的求解步驟如下：(1)將像函數(shù)進(jìn)行部分分式展開。(2)根據(jù)收斂域分清左邊單邊信號極點(diǎn)和右邊單邊信號極點(diǎn)。(3)分別求左邊信號極點(diǎn)和右邊信號極點(diǎn)的逆變換。

2025/1/1458/1205.1拉普拉斯變換5.1.4單邊周期信號的拉普拉斯變換正變換求解參見圖5.13，單邊信號可以表示為

兩邊取拉普拉斯變換有上式表明，如果要求解單邊周期信號的拉普拉斯變換，只要求出單個(gè)周期波形的拉普拉斯變換后除以因子(1-e-Ts)即可。

5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.4圖5.13單邊周期信號2025/1/1459/1205.1拉普拉斯變換【例5-29】求圖5.14所示單邊周期方波信號的拉普拉斯變換?！窘狻坑蓤D可知x0(t)=

u(t)-

u(t-1)，所以。由于周期T=2，由前面結(jié)論可得5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.4圖5.14單邊周期信號2025/1/1460/1205.1拉普拉斯變換逆變換求解當(dāng)像函數(shù)分母顯式或隱式含有因子(1-e-Ts)時(shí)，則表明其對應(yīng)的時(shí)域信號是單邊周期信號。由例5-29可推知其逆變換求解過程如下。(1)暫不考慮分母中的(1-e-Ts)因子。(2)用部分分式展開法或利用性質(zhì)求剩余像函數(shù)X0(s)的逆變換x0(t)。(3)將x0(t)進(jìn)行單邊周期延拓。5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1461/1205.1拉普拉斯變換【例5-30】求單邊信號拉普拉斯變換的逆變換?！窘狻糠帜赋霈F(xiàn)形如(1+e-Ts)因子，是隱式含有周期信號因子。分子分母同乘(1-e-Ts)得所以逆變換得進(jìn)行周期為2T的單邊周期延拓得顯然這是一個(gè)單邊周期方波信號。5.1.15.1.25.1.35.1.45.15.25.35.42025/1/1462/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解5.2.1微分方程描述系統(tǒng)的響應(yīng)求解由于系統(tǒng)響應(yīng)求解僅需單邊信號拉普拉斯變換。為符號簡潔，在本節(jié)討論響應(yīng)求解過程中均指單邊信號及其像函數(shù)，下標(biāo)u均省略。

基本思路：利用時(shí)域微分性質(zhì)式將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)閟域代數(shù)方程，進(jìn)而在s域中求解?；静襟E為：1)將系統(tǒng)微分方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得到s域代數(shù)方程；

2)求解代數(shù)方程，得到Y(jié)(s)；

3)求Y(s)的逆變換，得到系統(tǒng)響應(yīng)y(t)。

5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1463/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解沖激響應(yīng)求解【例5-31】求下列連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)?！窘狻繘_激響應(yīng)是系統(tǒng)在零狀態(tài)下由激勵(lì)系統(tǒng)后的輸出。零狀態(tài)意味著原方程兩邊進(jìn)行單邊信號拉普拉斯變換得部分分式展開得求逆變換即得到單位沖激響應(yīng)5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1464/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解零狀態(tài)響應(yīng)求解【例5-32】系統(tǒng)微分方程同上例，即求當(dāng)x(t)=e-2tu(t)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。【解】對x(t)=e-2tu(t)進(jìn)行單邊信號拉普拉斯變換得。由于同樣是零狀態(tài)，所以微分方程兩邊拉普拉斯變換結(jié)果與上例相同，即求逆變換得零狀態(tài)響應(yīng)為【例畢】5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1465/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解零輸入響應(yīng)求解【例5-33】系統(tǒng)微分方程同前兩例，即求當(dāng)y(0-)=1,y'(0-)=2時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。【解】因?yàn)槭橇爿斎?，所以微分方程變?yōu)辇R次方程，即兩邊進(jìn)行單邊信號拉普拉斯變換，并注意代入0-時(shí)刻初始狀態(tài)值，有整理得求逆變換得零輸入響應(yīng)為

5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1466/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解完全響應(yīng)求解完全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)【例5-34】系統(tǒng)微分方程為

假定系統(tǒng)初始狀態(tài)值y(0-)=1,y'(0-)=2

，求x(t)=e-2tu(t)時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)?！窘狻吭诜橇愠跏紶顟B(tài)下對原方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并整理得其中第一項(xiàng)僅與系統(tǒng)輸入有關(guān)，與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，所以為零狀態(tài)響應(yīng)分量；第二項(xiàng)僅與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)，與系統(tǒng)輸入無關(guān)，所以為零輸入響應(yīng)分量。

5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1467/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解代入X(s)和初始狀態(tài)值后得兩項(xiàng)分別進(jìn)行部分分式展開和逆變換可得（參見上兩例）

上述兩項(xiàng)求和即得系統(tǒng)全響應(yīng)為【例畢】5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1468/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解5.2.2電路的s域分析對于電路求解問題，可以先建立相應(yīng)的微分方程，然后利用上面介紹的拉普拉斯變換方法求解該微分方程。但是當(dāng)電路稍復(fù)雜時(shí)，可以先建立元件的域模型，然后在s域建立方程

理想RLC元件的s域等效模型RLC元件的伏安特性關(guān)系為

5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.4圖5.16RLC時(shí)域模型2025/1/1469/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解兩邊取單邊信號拉普拉斯變換并考慮到時(shí)域微分性質(zhì)，可得s域等效器件模型

當(dāng)電路的初始狀態(tài)為零時(shí)，只要令相應(yīng)的電壓源為短路、電流源為開路即可，如圖5.19所示。5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1470/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解電路的s域模型和求解【例5-35】在圖5.20(a)中，激勵(lì)信號及起始條件為e(t)=2δ

(t)+5(cost)u(t)

uc(0-)=1V,iL(0-)=1A求電容電壓的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.4圖5.20(a)時(shí)域電路(b)s域模型2025/1/1471/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解【解】根據(jù)器件的s域模型可得s域的電路模型如圖5.20(b)所示，其中由電路分析中的節(jié)點(diǎn)電壓法可列方程組化簡得5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1472/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，令uc(0-)=iL(0-)=0并代入數(shù)值，方程組化為解得

逆變換得

5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1473/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解求零輸入響應(yīng)時(shí)，在方程組中令E(s)=0并代入初始狀態(tài)數(shù)值得解得逆變換得因此，全響應(yīng)為5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1474/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解5.2.3自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)分量和強(qiáng)迫響應(yīng)分量的概念源于系統(tǒng)響應(yīng)的微分方程經(jīng)典解法。線性微分方程的完全解由兩部分構(gòu)成：齊次微分方程的通解和非齊次方程的特解。在系統(tǒng)響應(yīng)求解中分別稱為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，即完全響應(yīng)=自由響應(yīng)（通解）+強(qiáng)迫響應(yīng)（特解）上述兩個(gè)響應(yīng)分量在s域中的構(gòu)成，可按s域系統(tǒng)響應(yīng)的部分分式定義。

其中是系統(tǒng)H(s)的極點(diǎn)，是輸入X(s)的極點(diǎn)。上式表明：所有H(s)的極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)為自由響應(yīng)；所有X(s)的極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)為強(qiáng)迫響應(yīng)。

5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1475/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可以分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即

完全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+暫態(tài)響應(yīng)

隨著而t→∞趨于零的響應(yīng)分量稱為暫態(tài)響應(yīng)，其余部分為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

【例5-36】在圖5.21(a)電路中系統(tǒng)初始儲(chǔ)能為0，試分別求解當(dāng)vs(t)=5e-3t

u(t)和vs(t)=5cos2t

u(t)時(shí)的vc(t)。

5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.4圖5.21(a)時(shí)域電路(b)s域等效電路2025/1/1476/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解【解】因無初始儲(chǔ)能，s域電路模型如圖5.21(b)所示。由s域電路和分壓關(guān)系可得當(dāng)vs(t)=5e-3t

u(t)時(shí)，，

此時(shí)輸出為逆變換得5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1477/1205.2系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解當(dāng)時(shí)vs(t)=5cos2t

u(t)，，從而可求得此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)為5.2.15.2.25.2.35.15.25.35.42025/1/1478/1205.3系統(tǒng)的s域分析5.3.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的拉普拉斯變換H(s)稱為該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)必須具有因果性，其沖激響應(yīng)是單邊信號，即hu(t)=h(t)u(t)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換得

Hu(s)=L{hu(t)}=L{h(t)u(t)}

Hu(s)即為因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

非因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)非因果系統(tǒng)在理論上是存在的，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是一個(gè)雙邊信號。雙邊沖激響應(yīng)h(t)的拉普拉斯變換為非因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，即H(s)=L{h(t)}5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1479/1205.3系統(tǒng)的s域分析系統(tǒng)函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)系統(tǒng)函數(shù)一般為有理分式，即當(dāng)H(s)的收斂域包含ω軸時(shí)，系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)可由H(s)確定，即

5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1480/1205.3系統(tǒng)的s域分析Hu(s)極點(diǎn)位置與hu(t)波形之間的關(guān)系

Hu(s)進(jìn)行部分分式展開得上式中極點(diǎn)位置和階數(shù)的不同，所對應(yīng)的時(shí)域信號將有不同的形式(1)若極點(diǎn)位于左半s平面（不包括虛軸），hu(t)中與該極點(diǎn)對應(yīng)的信號分量具有指數(shù)衰減特征。(2)若極點(diǎn)位于右半s平面（不包括虛軸），hu(t)中與該極點(diǎn)對應(yīng)的信號分量具有指數(shù)增長特征。(3)若極點(diǎn)位于虛軸上且為單階極點(diǎn)，hu(t)中與該極點(diǎn)對應(yīng)的信號分量具有恒幅特征；若極點(diǎn)位于虛軸上但為多重極點(diǎn)，hu(t)中與該極點(diǎn)對應(yīng)的信號分量具有冪函數(shù)增幅特征。(4)實(shí)數(shù)極點(diǎn)不產(chǎn)生振蕩；共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)產(chǎn)生振蕩。

5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1481/1205.3系統(tǒng)的s域分析【例5-37】考察,的零點(diǎn)對沖激響應(yīng)的影響?！窘狻坷貌糠址质秸归_法可以求得對應(yīng)的沖激響應(yīng)分別為

可見，零點(diǎn)的不同位置對沖激響應(yīng)的變化規(guī)律不產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性影響。詳見教材表5.15.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1482/1205.3系統(tǒng)的s域分析因果穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)分布因果系統(tǒng)未必是穩(wěn)定系統(tǒng)，穩(wěn)定系統(tǒng)也未必是因果系統(tǒng)，但只有因果穩(wěn)定系統(tǒng)才能實(shí)際使用（物理可實(shí)現(xiàn)）。根據(jù)前面的討論可得下列結(jié)論。因果穩(wěn)定系統(tǒng)：Hu(s)的所有極點(diǎn)位于s左半平面。因果不穩(wěn)定系統(tǒng)：Hu(s)含有s右半平面極點(diǎn)或虛軸上的高階極點(diǎn)。臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：Hu(s)在虛軸上有一階極點(diǎn)但無高階極點(diǎn)，無右半s平面極點(diǎn)。

5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1483/1205.3系統(tǒng)的s域分析【例5-38】臨界穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，考察系統(tǒng)分別在u(t)和sinω0t

u(t)激勵(lì)下的輸出?！窘狻坑沙Ｒ娦盘柪献儞Q對知在u(t)激勵(lì)下的輸出：在sinω0t

u(t)激勵(lì)下的輸出：可見，如果Y(s)不產(chǎn)生ω軸上的多重極點(diǎn)，臨界系統(tǒng)輸出也可是恒幅的。5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1484/1205.3系統(tǒng)的s域分析【例5-39】圖5.22是一個(gè)典型的負(fù)反饋系統(tǒng)，前向支路和反饋支路的系統(tǒng)函數(shù)分別為試確定K值范圍，以保障整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！窘狻渴紫刃枰⒁獾角跋蛑稨1(s)含有一個(gè)右半s平面的極點(diǎn)s=1，因此前向支路是一個(gè)不穩(wěn)定的子系統(tǒng)。增加負(fù)反饋支路的目的是希望整個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。

5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.4圖5.22負(fù)反饋系統(tǒng)示意圖2025/1/1485/1205.3系統(tǒng)的s域分析在加法器輸出端和整個(gè)系統(tǒng)輸出端建立s域方程消去E(s)，將具體的子系統(tǒng)代入得可得由求根公式可以得系統(tǒng)兩個(gè)極點(diǎn)的位置為為使系統(tǒng)穩(wěn)定，兩極點(diǎn)必須位于s左半平面，對應(yīng)地K>9/4（一對左半平面的共軛極點(diǎn)）或者2<K≤9/4（兩個(gè)左半平面的實(shí)數(shù)極點(diǎn)）。因此反饋支路增益K>2，則可保證系統(tǒng)穩(wěn)定。5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1486/1205.3系統(tǒng)的s域分析5.3.2系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性

H(s)/Hu(s)和H(ω)的關(guān)系當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含虛軸時(shí)有因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，其收斂域?yàn)榘撦S的右半s平面。頻率響應(yīng)函數(shù)的平面矢量計(jì)算這里討論直接由Hu(s)獲得系統(tǒng)幅頻特性曲線|H(ω)|和相頻特性曲線φ(ω)的方法。Hu(s)可用零極點(diǎn)表示為

5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1487/1205.3系統(tǒng)的s域分析

因子(jω

-

zk)和(jω

-

pi)分別是從零點(diǎn)和極點(diǎn)指向jω點(diǎn)的矢量，如圖5.23(a)所示，圖中A1是矢量(jω

–

p1)的模，θ1是矢量(jω

–

p1)的幅角?？紤]式(5-81)的所有零極點(diǎn)后，其平面上的矢量如圖5.23(b)所示，由圖可以看出頻率響應(yīng)函數(shù)的模和幅角可由每個(gè)矢量的模和幅角確定，即5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1488/1205.3系統(tǒng)的s域分析典型電路的頻率響應(yīng)特性1)一階RC和RL電路5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.4圖5.24典型一階電路2025/1/1489/1205.3系統(tǒng)的s域分析各電路的系統(tǒng)函數(shù)如下圖(a)一階RC低通：圖(b)一階RL低通：圖(c)一階RC高通：圖(d)一階RL高通：5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1490/1205.3系統(tǒng)的s域分析可以看到，一階低通只含有一個(gè)負(fù)實(shí)軸的極點(diǎn)，一階高通含有一個(gè)負(fù)實(shí)軸的極點(diǎn)和一個(gè)原點(diǎn)處的零點(diǎn)?？梢孕纬上铝袑?shí)用概念：(1)形如的一階系統(tǒng)一定是低通系統(tǒng)。(2)形如的一階系統(tǒng)一定是高通系統(tǒng)。5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.4圖5.25一階低通和高通s平面零極點(diǎn)矢量圖2025/1/1491/1205.3系統(tǒng)的s域分析2)二階RLC電路

5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.4圖5.27RLC串聯(lián)諧振電路和并聯(lián)諧振電路2025/1/1492/1205.3系統(tǒng)的s域分析圖5.27(a)(b)所示的是經(jīng)典的串聯(lián)諧振電路和并聯(lián)諧振電路，圖中將電路總電流設(shè)為系統(tǒng)輸出，則其系統(tǒng)函數(shù)就是電路的總導(dǎo)納。因此有圖(a)串聯(lián)諧振：圖(b)并聯(lián)諧振：5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.42025/1/1493/1205.3系統(tǒng)的s域分析如果僅考慮的情形，零極點(diǎn)矢量圖如圖5.28所示。5.3.15.3.25.3.35.15.25.35.45.3.4圖5.28串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振電路s平面零極點(diǎn)矢量圖2025/1/1494/1205.3系統(tǒng)的s域分析5.3.3全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)的定義及其零極點(diǎn)分布特征如果一個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)有|H(ω)|

=K

(K為常量)，則該系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)。如果H(s)的所有極點(diǎn)位于左半平面，所有零點(diǎn)位于右半平面，并且零點(diǎn)與極點(diǎn)的分布關(guān)于虛軸鏡像對稱，|H(ω)|為常數(shù)，該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。

5.3.15.3.25.3.35.3.45.15.25.35.42025/1/1495/1205.3系統(tǒng)的s域分析2)最簡全通系統(tǒng)如果零極點(diǎn)是位于實(shí)軸上的單階節(jié)點(diǎn)，則構(gòu)成了一個(gè)最簡全通系統(tǒng)，如全通系統(tǒng)|H(ω)|

=K只意味著系統(tǒng)對輸入信號的所有頻率分量都具有相同的增益，但這并不意味著不產(chǎn)生信號的波形失真。無失真?zhèn)鬏斝枰到y(tǒng)具有線性相位特性，而按圖5.30構(gòu)造的全通系統(tǒng)不具有線性相位特性。與非全通系統(tǒng)相比，全通系統(tǒng)的相位變化量是最大的。

5.3.15.3.25.3.35.3.45.15.25.35.42025/1/1496/1205.3系統(tǒng)的s域分析最小相位系統(tǒng)如果系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)均位于左半s平面，全部零點(diǎn)位于左半s平面或虛軸上，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。圖5.33(a)給出了含有一個(gè)零點(diǎn)的一階最簡最小相位系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為5.3.15.3.25.3.35.3.45.15.25.35.4圖5.33最小相位系統(tǒng)例子2025/1/1497/1205.3系統(tǒng)的s域分析非最小相位系統(tǒng)的表示當(dāng)H(s)含有一個(gè)或多個(gè)右半s平面零點(diǎn)時(shí)，則為非最小相位系統(tǒng)。一個(gè)非最小相位系統(tǒng)函數(shù)可以表示成一個(gè)全通系統(tǒng)函數(shù)Hap(s)和一個(gè)最小相位系統(tǒng)函數(shù)Hmp(s)的乘積5.3.15.3.25.3.35.3.45.15.25.35.4圖5.34非最小相位系統(tǒng)表示為最小相位系統(tǒng)與全通系統(tǒng)2025/1/1498/1205.3系統(tǒng)的s域分析5.3.4物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性的含義當(dāng)要通過H(s)或H(ω)進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)時(shí)，一個(gè)首要問題是H(s)或H(ω)應(yīng)該滿足什么條件或具有什么樣的形式，系統(tǒng)才是物理可實(shí)現(xiàn)的。這里主要討論兩種意義下的物理可實(shí)現(xiàn)性：因果可實(shí)現(xiàn)性和理想器件模型下的電路可實(shí)現(xiàn)性。

所謂因果可實(shí)現(xiàn)性，即要求系統(tǒng)在零狀態(tài)下的非零值輸出在時(shí)間上不能早于系統(tǒng)的非零值輸入（因果性）。

實(shí)際設(shè)計(jì)的系統(tǒng)除了考慮系統(tǒng)的因果性，通常還需要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.3.15.3.25.3.35.3.45.15.25.35.42025/1/1499/1205.3系統(tǒng)的s域分析所謂電路可實(shí)現(xiàn)性，即要求或是可用電路元器件實(shí)現(xiàn)的。線性常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)是電路可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。對于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)而言，電路可實(shí)現(xiàn)是物理可實(shí)現(xiàn)的充分條件。

前面提到的理想傳輸系統(tǒng)和理想濾波器，“理想”二字同時(shí)強(qiáng)調(diào)頻率特性的理想化。例如，理想比例運(yùn)算器具有無限帶寬（即ω在整個(gè)[0,∞)區(qū)間內(nèi)取值時(shí)比例運(yùn)算器的增益保持不變）。但是，用實(shí)際器件實(shí)現(xiàn)的電路或系統(tǒng)，不可能具有無限帶寬。

5.3.15.3.25.3.35.3.45.15.25.35.42025/1/14100/1205.3系統(tǒng)的s域分析理想器件模型下的電路可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)如果H(s)為有理函數(shù)且所有極點(diǎn)位于左半s平面（包括虛軸），則H(s)是電路可實(shí)現(xiàn)的。 (1)上式中常數(shù)項(xiàng)可用比例運(yùn)算器或電阻元件實(shí)現(xiàn)。 (2)第2，3項(xiàng)可用理想電感或電容元件實(shí)現(xiàn)。 (3)第4項(xiàng)可以由一階RC或RL電路實(shí)現(xiàn)。 (4)第5項(xiàng)可以用RLC電路或者有源二階電路實(shí)現(xiàn)。 (5)在RLC串聯(lián)諧振電路中令R=0，則可實(shí)現(xiàn)最后一項(xiàng)。 (6)多重極點(diǎn)可以用單重極點(diǎn)電路級聯(lián)實(shí)現(xiàn)。

5.3.15.3.25.3.35.3.45.15.25.35.42025/1/14101/1205.3系統(tǒng)的s域分析因果可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)這里不考慮電路可實(shí)現(xiàn)性，僅考慮需滿足什么條件才能使其為因果系統(tǒng)。設(shè)則H(ω)為因果可實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是HR(ω)為HI(ω)的希爾伯特變換，即

5.3.15.3.25.3.35.3.45.15.25.35.42025/1/14102/1205.4模擬濾波器設(shè)計(jì)5.4.1巴特沃斯低通濾波器巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)假設(shè)H(s)只含極點(diǎn)，不含零點(diǎn)，并且所有極點(diǎn)等間隔分布在左半平面單位圓上。5.4.15.4.25.4.35.15.25.35.4圖5.35巴特沃斯低通濾波器的極點(diǎn)分布和對應(yīng)的H(ω)

2025/1/14103/1205.4模擬濾波器設(shè)計(jì)由于復(fù)數(shù)極點(diǎn)需要共軛成對出現(xiàn)，圖5.35中的極點(diǎn)將按照下列規(guī)則等分左半s平面單位圓：(1)因有n個(gè)極點(diǎn)等分左半平面的π

弧度，所以相鄰極點(diǎn)間的夾角為Δθ

=

π/n。(2)第二象限的極點(diǎn)分布：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第一個(gè)極點(diǎn)從負(fù)實(shí)軸開始，在單位圓上按照的間隔Δθ

=

π/n順時(shí)針排布（pi=ej(1-(i-1)/n)π

）。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)作類似排布，只是第一個(gè)極點(diǎn)是從Δθ

/2開始（pi=ej(1-(i-0.5)/n)π

）。(3)第三象限的極點(diǎn)分布：復(fù)數(shù)極點(diǎn)與第二象限極點(diǎn)共軛對稱。所以H(s)可以寫為

5.4.15.4.25.4.35.15.25.35.42025/1/14104/1205.4模擬濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的模平方函數(shù)如果以縱軸為鏡像對稱補(bǔ)齊右半s平面單位圓上的極點(diǎn)，那么這2n個(gè)極點(diǎn)恰好是多項(xiàng)式1+(-1)ns2n的2n個(gè)根。如果是pi的H(s)一個(gè)極點(diǎn)，則-pi必為H(-s)的極點(diǎn)。pi和-pi關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，如下圖所示。因此，整個(gè)單位圓上的2n個(gè)極點(diǎn)是H(s)H(-s)的所有極點(diǎn)，即對于巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有5.4.15.4.25.4.35.15.25.35.42025/1/14105/1205.4模擬濾波器設(shè)計(jì)因此，巴特沃斯低通濾波器的模平方函數(shù)為由上式可以看到當(dāng)ω=1時(shí)|H(ω)|=1/2，因此稱ω

=1為半功率點(diǎn)。一般將半功率點(diǎn)定義為低通濾波器的截止頻率ωc。5.4.15.4.25.4.35.15.25.35.42025/1/14106/1205.4模擬濾波器設(shè)計(jì)很顯然，上式是一個(gè)“歸一化”后的函數(shù)，即極點(diǎn)放置在單位圓上，對應(yīng)的低通濾波器截止頻率為ωc

=1。對于任意截止頻率，只要將這兩式分別作如下修改即可。5.4.15.4.25.4.35.15.25.35.4圖5.37巴特沃斯低通濾波器頻響特性2025/1/14107/1205.4模擬濾波器設(shè)計(jì)最后將巴特沃斯低通濾波器的特點(diǎn)歸納如下。(1)隨著濾波器階數(shù)n的增加，|H(ω)|的衰減會(huì)越來越陡峭，參見圖5.37(a)。當(dāng)需要比較陡峭的低通濾波特性時(shí)，巴特沃斯濾波器會(huì)需要較高的濾波器階數(shù)。(2)|H(ω)|通帶和阻帶內(nèi)均無波紋（|H(ω)|沒有振蕩），