【全程復習方略】2022屆高考數(shù)學(文科人教A版)大一輪課時作業(yè)：5.4-數(shù)列求和-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(三十一)數(shù)列求和(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設數(shù)列{(-1)n}的前n項和為Sn,則對任意正整數(shù)n,Sn=()【解析】選D.由于數(shù)列{(-1)n}是首項與公比均為-1的等比數(shù)列,所以Sn=(-1)-(-1)【加固訓練】若數(shù)列{an}的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10=()A.15 B.12 C.-12 D.-15【解析】選A.由于an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.(2021·青島模擬)已知Sn=12+1+13+2+12+3()A.11 B.99 C.120 D.121【解析】選C.由于1n+1+n=n+1-nn+1-n=n+1-n,所以Sm=2-1+3-2+…+3.設f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),則f(n)等于()A.27(8n-1) B.27(8nC.27(8n+3-1) D.27(8n【解析】選D.由題意知f(n)可看作以2為首項,23為公比的等比數(shù)列的前n+4項和,所以f(n)=2[1-(23)n+44.(2021·銅陵模擬)若函數(shù)g(x)=xm+ax的導函數(shù)為g′(x)=2x+1,則數(shù)列1g(n)(n∈N*)的前n項和是A.nn-1 B.n+2n+1 C.nn+1【解析】選C.由題意得g′(x)=mxm-1+a,又g′(x)=2x+1,所以m=2,a=1,g(x)=x2+x,1g(n)=1n(n+1)=1n故所求的前n項和為1-12+12-13+13-5.數(shù)列{an}的通項公式an=ncosnπ2,其前n項和為Sn,則S2022A.2022 B.1008 C.504 D.0【解析】選B.由于an=ncosnπ所以當n為奇數(shù)時,an=0,當n為偶數(shù)時,an=n,n=4m,-n,n=4m-2,其中m∈N所以S2022=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2022=a2+a4+a6+a8+…+a2022=-2+4-6+8-10+12-14+…+2022=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-2022+2022)=2×504=1008.故選B.【加固訓練】(2021·合肥模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則S2022=()A.22022-1 B.3×21008-3C.3×21008-1 D.3×22022-2【解析】選B.依題意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有an+1·an+2an·an+1=2,即an+2an=2,數(shù)列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1為首項、2為公比的等比數(shù)列;數(shù)列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2為首項、2為公比的等比數(shù)列,于是有S2022=(a1+a3+a5+…+a2021)+(a2+a4+a6+二、填空題(每小題5分,共15分)6.設f(x)=13x+3,利用課本中推導等差數(shù)列前n項和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+【解析】抓住求和式子與函數(shù)f(x)=13x+3的特征,我們對自變量進行配對,當自變量之和為1時,爭辯函數(shù)值之和,即f(x)+f(1-x)=13x+3+131-x+3QUOTE131-x+答案:137.設數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-10(n∈N*),則|a1|+|a2|+…+|a15|=.【解析】由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8為首項,2為公差的等差數(shù)列,又由an=2n-10≥0得n≥5,所以當n<5時,an<0,當n≥5時,an≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.答案:130【加固訓練】(2021·鄭州模擬)若數(shù)列{an}是1,1+12,11+12+14+…+12n-1,…,則數(shù)列{an}的前n項和S【解析】an=1+12+14+…+1=21-所以Sn=21=2(=2n-1=2n-2+12答案:2n-2+18.(2021·廈門模擬)設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),且對任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=12,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是【解析】由已知可得a1=f(1)=12,a2=f(2)=[f(1)]2=1a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=123,…,an=f(n)=[f(1)]n=所以Sn=12+122+12=121-12n1-1所以12≤Sn答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2021·洛陽模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn.(1)求an及Sn.(2)令bn=1an2-1(n∈N*),求數(shù)列{b【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,則由已知得解得所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+n(n-1)2×2=n(2)由(1)知an=2n+1,即數(shù)列{bn}的前n項和Tn=n4(n+1)【誤區(qū)警示】(1)在解答本題時有兩點簡潔造成失分:①利用方程的思想聯(lián)立求解在計算上簡潔毀滅失誤,不能精確求出首項a1和公差d;②在求解數(shù)列{bn}的前n項和時,不能嫻熟精確地利用裂項方法.(2)解決等差數(shù)列問題時,還有以下幾點簡潔造成失分,在備考時要高度關注:①對通項公式與前n項和公式記憶錯誤;②基本公式中的項數(shù)或奇偶項的確定不正確;③推斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列時,易忽視驗證第一項.【加固訓練】(2021·漳州模擬)在數(shù)列{an}和{bn}中,已知a1=2,a2=6,an+2an=3an+12(n∈N*),bn=(1)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項公式.(3)若pn=1log3an+12,S【解析】(1)由于an+2an=3an+12(n∈N所以bn+1bn=an+2a所以數(shù)列{bn}是以3為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)可得到bn=b1qn-1=a2a1qn-1=62×3所以bn=an+1an所以a2a1a3a2a4a3……anan-1所以a2a1×a3a2×a4a3×…×anan-1所以ana1=31+2+3+…+(n-1)又由于a1=2,所以an=a1×3n2-n2(3)由(2)得:an=2×3n所以pn=1log3a=2n(n+1)=2n-所以Sn=p1+p2+p3+…+pn=21-22+22-23+2310.(2022·安徽高考)數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(1)證明:數(shù)列{ann(2)設bn=3n·an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn【解析】(1)由已知可得所以{ann(2)由(1)得an所以an=n2,從而bn=n·3n,Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,①3Sn=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②①-②可得-2Sn=31+32+33+…+3n-n·3n+1=3·(1-3n)1-3-n【加固訓練】已知數(shù)列{an}是首項為a1=14,公比為q=14的等比數(shù)列,設bn+2=3log14an(n∈N*),數(shù)列{cn}滿足cn=an(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.【解析】(1)由題意,知an=14n(n∈N又bn=3log14a故bn=3n-2(n∈N*).(2)由(1),知an=14bn=3n-2(n∈N*),所以cn=(3n-2)×14n(n∈N所以Sn=1×14+4×142+7×143+…+(3n-5)×于是14Sn=1×142+4×143+7×144+…兩式相減,得34Sn=14+3142+143+=12-(3n+2)×1所以Sn=23-3n+23×14n(20分鐘40分)1.(5分)(2021·重慶模擬)已知數(shù)列{an}:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,那么數(shù)列{bn}=A.nn+1 B.4nn+1 C.3【解析】選B.an=1+2+3+…+nn+1=n2,所以bn=QUOTE1anan+1=4n(n+1)=4(2.(5分)已知數(shù)列2008,2009,1,-2008,-2009,…,這個數(shù)列的特點是從其次項起,每一項都等于它的前后兩項之和,則這個數(shù)列的前2021項之和S2021等于()A.2008 B.2010 C.1 D.0【解析】選C.由已知得an=an-1+an+1(n≥2),所以an+1=an-an-1.故數(shù)列的前8項依次為2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列,周期為6,且S6=0.由于2021=6×335+5,所以S2021=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.【加固訓練】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),記Sn為{an}的前n項和,則S2021=.【解析】由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,該數(shù)列是周期為4的數(shù)列,a2021=a1=1,a2022=a2=-2,a2021=a3=-1,所以S2021=503(a1+a2+a3+a4)+a2021+a2022+a2021=503×(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】數(shù)列求和的思路(1)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式是求和的基礎.一般數(shù)列的求和問題往往通過變形整理,轉化為這兩類特殊數(shù)列的和的問題.例如,一類特殊數(shù)列的求和通過倒序相加法或錯位相減法變形后,就可以轉化為這兩類數(shù)列的求和問題.(2)觀看數(shù)列的特點是變形的基礎.給定的數(shù)列有其自身的特點和規(guī)律,依據(jù)數(shù)列的特點和規(guī)律選擇合適的方法變形是解題的突破口.3.(5分)(2021·泉州模擬)已知a,b∈N*,f(a+b)=f(a)·f(b),f(1)=2,則∑i=12014f(i+1)【解析】由于f(a+b)=f(a)·f(b),令b=1,得f(a+1)=f(a)f(1),所以f(a+1)故f(2)f(1)+f(3)f(2)+f=2×2022=4028.答案:40284.(12分)(2022·新課標全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明{an+12}是等比數(shù)列,并求{an}(2)證明:1a1+1a2+…+【解題提示】(1)將an+1=3an+1進行配湊,得“an+1+12”與“an+12”的關系,得證,然后求得{a(2)求得{1an【解析】(1)由于a1=1,an+1=3an+1,n∈N*.所以an+1+12=3an+1+12=3(an+1所以{an+12}是首項為a1+12=所以an+12=3n2,所以an(2)1an=1a1【加固訓練】等差數(shù)列{an}的首項a1=3,且公差d≠0,其前n項和為Sn,且a1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4項.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式.(2)證明:13≤1S1+1S2+…【解析】(1)設等比數(shù)列的公比為q,由于a1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以an=3+2(n-1)=2n+1.等比數(shù)列{bn}的公比為b3b2=a4a所以bn=3n-1.(2)由(1)知Sn=n2+2n.所以1Sn=1n(n+2)所以1S1+1S2=1=1=34-121由于1n+1+1n+2≤12+1所以34-121所以13≤1S1+1S2+…5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn滿足Sn=2an-2.(1)求{an}的通項.(2)若{bn}滿足b1=1,bn+1n+1-bnn【解析】(1)由于Sn=2an-2,①所以n≥2時,Sn-1=2an-1-2,②所以由①-②得,an=2an-2an-1(n≥2),所以an=2an-1.又當n=1時,①式可化為a1=2a1-2