《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修2)教師用書：4.2圓的一般方程-講義

第2課時圓的一般方程1.在把握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,把握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件,由圓的一般方程確定圓的圓心和半徑.2.能通過配方等手段將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,會用待定系數(shù)法求圓的方程.3.培育同學(xué)發(fā)覺問題、解決問題的力氣.重點:圓的一般方程的代數(shù)特征;一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化;依據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.難點:點的軌跡方程的求法.同學(xué)們,我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)了圓的定義和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.我們把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2,開放后得到了x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)下這個方程的特點.

問題1:對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得(x+)2+(y+)2=.

(1)當(dāng)D2+E2-4F>0時,與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作比較,可看出方程表示以(-,-)為圓心,

(2)當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程只有一個解,x=-,y=-,它表示一個點(-,(3)當(dāng)D2+E2-4F<0時,方程沒有實數(shù)解,它不表示任何圖形.因此,當(dāng)D2+E2-4F>0時,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個圓,叫作圓的一般方程的特點:x2和y2的系數(shù)相同,沒有xy這樣的二次項,圓的一般方程中有三個待定系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個系數(shù),圓的方程就明確了;圓的一般方程是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的一般方程也指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征明顯.

問題2:設(shè)點M(x0,y0),依據(jù)圓的一般方程得到坐標(biāo)平面內(nèi)的點和圓的關(guān)系如下:(1)點在圓外?

++Dx0+Ey0+F>0;(2)點在圓上?

++Dx0+Ey0+F=0;(3)點在圓內(nèi)?

+

+Dx0+Ey0+F<0.

問題3:用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟是:(1)設(shè)出圓的一般方程;(2)依據(jù)題意列出關(guān)于D、E、F的方程組;(3)解出D、E、F,代入一般方程.

問題4:求軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序數(shù)對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo);(2)寫出適合條件的點M的集合;

(3)列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上.總結(jié)為:建系→設(shè)標(biāo)→列式→化簡→結(jié)果.(1)有關(guān)圓的弦長的求法:已知直線的斜率為k,直線與圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,點C到直線的距離為d,圓的半徑為r.(法一)代數(shù)法:弦長|AB|=|x2-x1|=·;(法二)幾何法:弦長|AB|=2.(2)有關(guān)弦的中點問題:圓心與弦的中點連線和已知弦所在直線垂直,利用這條性質(zhì)可確定某些等量關(guān)系.1.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圓的條件是()A.<m<1B.m>1C.m< D.m<1【解析】圓的方程條件為42+22-4×5m>0?m<1【答案】D2.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為().A.(3,0),8 B.(0,-3),8C.(0,3),2 D.(3,0),2【解析】方程可變形為:x2+(y-3)2=8.【答案】C3.圓的方程為x2+y2-8x=0,則圓心為,半徑為.

【答案】(4,0)44.圓C通過不同的三點P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圓C在點P處的切線斜率為1,試求圓C的方程.【解析】設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則k、2為x2+Dx+F=0的兩根,∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k.又圓過點R(0,1),故1+E+F=0,∴E=-2k-1.故所求圓的方程為x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圓心坐標(biāo)為(,).∵圓C在點P處的切線斜率為1,∴kCP=-1=,∴k=-3.∴D=1,E=5,F=-6.∴所求圓C的方程為x2+y2+x+5y-6=0.圓的一般方程的概念辨析若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓,求實數(shù)a的取值范圍,并求出其中半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【方法指導(dǎo)】對于可化為x2+y2+Dx+Ey+F=0形式的二元二次方程,僅當(dāng)D2+E2-4F>0時,方程表示一個圓,【解析】(法一)當(dāng)a=0時,明顯不符合題意,當(dāng)a≠0時,方程可寫為x2+y2-x+y=0.∴D=-,E=,F=0,由D2+E2-4F=(a2-2a+2)>0知,當(dāng)a∈R且a又半徑r==2=2,∴當(dāng)a=2時,rmin=,此時圓的方程為x2+y2-2x+2y=0.(法二)原方程可化為[x-]2+(y+)2=.∵a2-2a+2>0,∴當(dāng)a≠0時,又r===≥,∴當(dāng)a=2時,rmin=,∴半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+1)2=2.【小結(jié)】解答此類問題要留意所給的方程是否為x2+y2+Dx+Ey+F=0這種形式,若不是,則要化成一般方程形式再求解.求圓的一般方程已知圓經(jīng)過三點:A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求圓的方程.【方法指導(dǎo)】設(shè)出圓的一般方程,把A、B、C坐標(biāo)代入方程,解方程組求出D、E、F的值.【解析】設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)代入,得?故所求圓的方程為x2+y2-2x+2y-23=0.【小結(jié)】若已知圓上三點往往要利用待定系數(shù)法求解,即設(shè)出圓的一般方程,把點的坐標(biāo)代入即可建立關(guān)于D、E、F的方程組.有關(guān)圓的軌跡問題等腰三角形的頂點是A(4,2),底邊一個端點是B(3,5),求另一個端點C的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么.【方法指導(dǎo)】定義法,由等腰三角形的性質(zhì)可得|CA|=|AB|為確定值,可利用圓的定義寫出動點C的軌跡方程.【解析】設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y),由題意得,|AC|=|AB|,即=,整理得(x-4)2+(y-2)2=10,即為點C的軌跡方程,所以點C的軌跡是圓.[問題]點C的軌跡是完整的圓嗎?[結(jié)論]上述誤會忽視了三角形三點不共線這一隱含條件.于是,正確解答如下:設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y),由題意得,|AC|=|AB|,即=,整理得(x-4)2+(y-2)2=10,由于A、B、C是三角形的三個頂點,三點不共線,而直線AB與圓的交點為(3,5)、(5,-1),所以點C的坐標(biāo)不能為(3,5)、(5,-1),故點C的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=10(除去點(3,5)、(5,-1)),它的軌跡是以A(4,2)為圓心,為半徑的圓,但除去(3,5)、(5,-1)兩點.【小結(jié)】求曲線的軌跡方程時留意以下幾點:(1)依據(jù)題目的條件選用適當(dāng)?shù)那筌壽E的方法;(2)要看清是求軌跡還是求軌跡方程,軌跡是軌跡方程所表達(dá)的曲線;(3)驗證軌跡上是否有應(yīng)去掉或漏掉的點.若曲線x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0關(guān)于直線y-x=0對稱的曲線仍是其本身,求實數(shù)a的值.【解析】由題意知,圓心C(-,)在直線y-x=0上,∴+=0,∴a2=,∴a=±.(注:F=-4<0,不需檢驗D2+E2-4F>圓心在直線y=x上,且過點A(-1,1)、B(3,-1),求圓的一般方程.【解析】設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意得解得D=E=-4,F=-2,故所求圓的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.已知定點A(4,0),點P是圓x2+y2=4上一動點,點Q是AP的中點,求點Q的軌跡方程.【解析】設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,y),點P的坐標(biāo)為(x0,y0),則即又點P在圓x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y)2=4,整理得(x-2)2+y2=1,即為點Q的軌跡方程.1.將圓x2+y2-2x-4y+1=0平分的直線是().A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0 D.x-y+3=0【解析】解題的突破口為弄清平分線的實質(zhì)是過圓心的直線,即圓心符合直線方程.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=4,所以圓心為(1,2),把點(1,2)代入A、B、C、D,不難得出選項C符合要求.【答案】C2.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切,則圓C的方程為().A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0【解析】設(shè)圓心C為(a,0),且a>0,則點C到直線3x+4y+4=0的距離為2,即=2?3a+4=±10?a=2或a=-(舍去),則圓C的方程為:(x-2)2+(y-0)2=22,即x2+y2-4x=0【答案】D3.假如圓的方程為x2+y2+kx+2y+k2=0,那么當(dāng)圓面積最大時,圓心為.

【解析】將方程配方,得(x+)2+(y+1)2=-k2+1.∴r2=1-k2≤1,rmax=1,此時k=0,且圓面積最大,∴所求圓心為(0,-1).【答案】(0,-1)4.已知圓x2+y2=r2,圓內(nèi)有定點P(a,b),圓周上有兩個動點A、B滿足PA⊥PB,求矩形APBQ頂點Q的軌跡方程.【解析】設(shè)AB的中點為R,坐標(biāo)為(x,y),欲求Q的軌跡方程,應(yīng)先求R的軌跡方程.在Rt△APB中,|AR|=|PR|.又由于R是弦AB的中點,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=r2-(x2+y2).又|AR|=|PR|=,所以有(x-a)2+(y-b)2=r2-(x2+y2),即2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.因此,點R在一個圓上,而當(dāng)R在此圓上運動時,Q點即在所求的軌跡上運動.設(shè)Q(x,y),R(x1,y1),由于R是