【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修2雙基限時(shí)練15

雙基限時(shí)練(十五)一、選擇題1．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(3)，高為3，則該棱錐的體積為()A．3 B．6C．9 D．18解析設(shè)棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，則(2eq\r(3))2＝32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，∴eq\f(a2,2)＝3，∴a2＝6，V錐＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)×6×3＝6.答案B2．已知一正四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．624 B．208C．131 D.eq\f(131,3)解析由圖可知，棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為4，下底面邊長(zhǎng)為10，高為4，所以棱臺(tái)的體積為V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h＝eq\f(1,3)×(16＋100＋40)×4＝eq\f(624,3)＝208.答案B3．直角梯形的一個(gè)內(nèi)角為45°，下底為上底長(zhǎng)的eq\f(3,2)倍，這個(gè)梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的全面積為(5＋eq\r(2))π，則旋轉(zhuǎn)體的體積為()A．2π B.eq\f(4＋\r(2),3)πC.eq\f(5＋\r(2),3)π D.eq\f(7,3)π解析設(shè)該直角梯形的上底長(zhǎng)為r，下底長(zhǎng)則為eq\f(3,2)r.該幾何體為圓柱與圓錐的組合體．S全＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2＋πr2＋eq\f(π,2)r×eq\f(\r(2),2)r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)π＋\f(\r(2),4)π))r2＝(5＋eq\r(2))π，∴r＝2，∴V＝V圓柱＋V圓錐＝eq\f(7,3)π.答案D4．在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去8個(gè)三棱錐后，剩下的多面體的體積是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析V＝1－8V錐＝1－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).答案D5．已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，依據(jù)圖中標(biāo)明的尺寸(單位：cm)可得這個(gè)幾何體的體積是()A.eq\f(4000,3)cm3 B.eq\f(8000,3)cm3C．2000cm3 D．4000解析由三視圖得幾何體S－ABCD，且面SCD⊥面ABCD，四邊形ABCD為正方形，作SE⊥CD于E，得SE⊥面ABCD，SE＝20cm∴VS－ABCD＝eq\f(1,3)SABCD·SE＝eq\f(8000,3)(cm3)．答案B6．圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm3的幾何體的三視圖，則該幾何體的高為()A．4 B．12C.eq\f(4,3) D．24解析由三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱錐S－ABC，其中SA⊥面ABC，AB⊥AC，∴V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×6×h＝5h，得h＝4.答案A二、填空題7．用一張圓弧長(zhǎng)為12π，半徑為10的扇形紙片制作一個(gè)圓錐體，則這個(gè)圓錐體的體積是________．解析由2πr＝12π，得r＝6，h＝eq\r(102－r2)＝8，∴V錐＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,3)π×62×8＝96π.答案96π8．正四棱臺(tái)的斜高與上、下底面邊長(zhǎng)之比為528，體積為14cm3解析設(shè)正四棱臺(tái)上底為2a，下底為8a，斜高為5a，則(5a)2＝h2＋9a2，∴h2＝16a2，∴h＝4a，又由棱臺(tái)的體積公式求得h＝2(cm)．答案29．在三棱錐P—ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PA＝x，PB＝y(tǒng)，PC＝1，若x＋y＝4，則此三棱錐體積的最大值是________．解析V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)xy＝eq\f(1,6)xy＝eq\f(1,6)x(4－x)＝eq\f(1,6)(4x－x2)＝eq\f(1,6)×[－(x－2)2＋4]，∴當(dāng)x＝2即x＝y(tǒng)時(shí)，Vmax＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)三、解答題10．將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD＝a，求三棱錐D—ABC的體積．解取AC的中點(diǎn)M，連接BM，DM，∵BD＝a，BM＝eq\f(\r(2),2)a，DM＝eq\f(\r(2),2)a，∴DM2＋BM2＝BD2.∴∠DMB＝90°，又AD＝DC，∴DM⊥AC.又AC∩BM＝M，∴DM⊥面ABC.∴V＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,3)×eq\f(a2,2)×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),12)a3.11．在下圖所示的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位：cm)．(1)在正視圖下面，依據(jù)畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)依據(jù)給出的尺寸，求該多面體的體積．解(1)俯視圖如下圖所示．(2)所求多面體的體積V＝V長(zhǎng)方體－V三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm3)．12．在正方體ABCD—A1B1C1D1(1)求三棱錐O—AB1D1的體積；(2)求O到平面AB1D1的距離．解(1)∵VO－AB1D1＝VA—B1D1O，S△B1D1O＝eq\f(1,2)B1D1·a＝eq\f(\r(2),2)a2，又AO⊥面BDD1B1，且AO＝eq\f(\r(2),2)a，∴VA—B1D1O＝VO—AB1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(a3,6).(2)∵AB1＝B1D1＝AD1＝eq\r(2)a，∴S△AB1D1＝eq\f(1,2)B1D1·AB1sin60°＝eq\f(\r(3),2)a2，設(shè)O到平面AB1D1的距離為h.由等積轉(zhuǎn)化得eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a2h＝eq\f(a3,6)，∴h＝eq\f(\r(3),3)a.思維探究13．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，M是AB的中點(diǎn)，將△ACM沿CM折起，使A，B間的距離為2eq\r(2)，求三棱錐A－BCM的體積．解由題意知在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2eq\r(3).又∵CM為中線，∴MA＝MB＝MC＝eq\f(1,2)AB＝2.∴在三棱錐A－BCM中，M在面ABC上的射影為△ABC的外心．又∵在折疊后的△ABC中，AC＝2，AB＝2eq\r(2)，BC＝2eq\r(3)，∴AC2＋AB2＝BC2，即折疊后