導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、邊際分析定義5設(shè)函數(shù)y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),則稱其導(dǎo)函數(shù)f′(x)為y=f(x)的邊際函數(shù).f′(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f′(x0)稱為y=f(x)在點(diǎn)x0處的邊際函數(shù)值.

根據(jù)微分的定義，當(dāng)Δx很小時(shí)，有下面的近似公式Δy=f(x+Δx)－f(x)≈f′(x)Δx,

特別地，當(dāng)Δx=1時(shí)，有f(x+1)－f(x)≈f′(x)·1=f′(x)，也就是說，當(dāng)自變量增加1個(gè)單位時(shí)，函數(shù)的增量近似地等于其導(dǎo)數(shù)值.

一、邊際分析所以，邊際函數(shù)值f′(x0)的經(jīng)濟(jì)意義為：在點(diǎn)x=x0處，當(dāng)自變量x改變1個(gè)單位時(shí)，因變量y將近似地改變f′(x0)個(gè)單位.解釋邊際函數(shù)值的具體意義時(shí),通常略去“近似”二字.

將邊際函數(shù)的概念具體到不同的經(jīng)濟(jì)函數(shù),則常用的有邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn).

一、邊際分析邊際成本1.某商品的成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入(勞力、原料、設(shè)備等)的價(jià)格或費(fèi)用總額，可分為固定成本和變動(dòng)成本兩部分.固定成本是指在一定時(shí)期內(nèi)不隨產(chǎn)量Q變化的那部分成本，如廠房、設(shè)備費(fèi)等，記為C0；變動(dòng)成本是指隨產(chǎn)量Q變化而變化的那部分成本，如原材料費(fèi)等，記為C1(Q).于是總成本函數(shù)的一般形式是C(Q)=C0+C1(Q).

當(dāng)產(chǎn)量Q=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的成本函數(shù)值C(0)就是產(chǎn)品的固定成本值.一、邊際分析稱(Q)=C(Q)Q為單位成本函數(shù)或平均成本函數(shù).

成本函數(shù)C=C(Q)(Q是產(chǎn)量)的導(dǎo)數(shù)C′(Q)稱為邊際成本函數(shù).

由邊際函數(shù)的定義知,邊際成本函數(shù)值C′(Q0)的經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)產(chǎn)量為Q0時(shí),多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品增加的成本為C′(Q0).

一、邊際分析【例53】已知某商品的總成本函數(shù)為C(Q)=0.5Q2+10Q+400(元),求:

(1)當(dāng)Q=20件時(shí)的總成本和平均成本.

(2)當(dāng)Q=20件時(shí)的邊際成本,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.

解(1)當(dāng)Q=20件時(shí)的總成本為一、邊際分析邊際收益2.總收益是指生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入，是銷售量的函數(shù).當(dāng)產(chǎn)品銷量為Q，價(jià)格為P時(shí)，收益函數(shù)的一般形式是R(Q)=P·Q.

收益函數(shù)R=R(Q)的導(dǎo)數(shù)R′(Q)稱為邊際收益函數(shù)；稱

為平均收益.

邊際收益函數(shù)值R′Q0的經(jīng)濟(jì)意義是：在銷售量為Q0的基礎(chǔ)上，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的收益.

一、邊際分析【例54】設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=1000－2P(元/件),求銷售量為300件時(shí)的總收益、平均收益與邊際收益，并說明邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義.解由需求函數(shù)可得P=500－0.5Q,故產(chǎn)品的收益函數(shù)為R(Q)=QP=Q(500－0.5Q)=500Q－0.5Q2,當(dāng)Q=300時(shí),總收益為一、邊際分析一、邊際分析需求函數(shù)表示的就是商品需求量和價(jià)格這兩個(gè)經(jīng)濟(jì)量之間的數(shù)量關(guān)系Q=Q(P)，其中Q表示需求量，P表示價(jià)格.注一、邊際分析邊際利潤(rùn)3.如果產(chǎn)銷平衡，即產(chǎn)量為Q，銷量也為Q時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)的一般形式是L(Q)=R(Q)－C(Q).

利潤(rùn)函數(shù)L=L(Q)的導(dǎo)數(shù)L′(Q)稱為邊際利潤(rùn)函數(shù).邊際利潤(rùn)函數(shù)值L′Q0的經(jīng)濟(jì)意義是：在產(chǎn)量為Q0的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤(rùn).

利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(Q)=R(Q)－C(Q),則邊際利潤(rùn)函數(shù)L′(Q)=R′(Q)－C′(Q).一、邊際分析【例55】某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(Q)=60+50Q+0.5Q2(元),總收益為R(Q)=120Q－0.5Q2(元),求Q=10件時(shí)的邊際利潤(rùn),并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.解利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(Q)=R(Q)－C(Q)=120Q－0.5Q2－60+50Q+0.5Q2=－60+70Q－Q2,所以邊際利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)′Q=70－2Q,當(dāng)Q=10時(shí)的邊際利潤(rùn)為L(zhǎng)′10=70－2×10=50(元),其經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)產(chǎn)量為10件時(shí),再多生產(chǎn)一件產(chǎn)品所增加的利潤(rùn)為50元.二、彈性分析函數(shù)的彈性1.在邊際分析中知道,邊際函數(shù)指的是函數(shù)的變化率,這個(gè)變化率是絕對(duì)的,函數(shù)的增量也是絕對(duì)的,然而用絕對(duì)增量和絕對(duì)變化率的概念并不能更深入地分析經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的問題.例如，甲商品原價(jià)1000元,乙商品原價(jià)10元,現(xiàn)對(duì)兩種商品都漲價(jià)1元.兩種商品的絕對(duì)增量都是1元,但是哪種商品漲價(jià)的幅度更大呢？哪種商品漲價(jià)對(duì)市場(chǎng)的需求影響大呢？很顯然，當(dāng)用絕對(duì)增量去和原價(jià)進(jìn)行比較后，發(fā)現(xiàn)甲商品的漲幅為0.1%，而乙商品的漲幅為10%，一般來說可推測(cè)甲商品的漲價(jià)對(duì)它的市場(chǎng)需求影響不大.因此,還有必要來研究函數(shù)的相對(duì)增量和相對(duì)變化率.

二、彈性分析定義6二、彈性分析二、彈性分析【例56】二、彈性分析需求彈性2.定義7設(shè)商品的需求函數(shù)為Q=Q(P),則該商品在價(jià)格為P時(shí)的需求彈性為一般來說,由于需求函數(shù)是單調(diào)遞減的函數(shù),則Q′(P)一般為負(fù)值,所以需求彈性η也為負(fù)值.需求彈性反映了產(chǎn)品的需求量對(duì)價(jià)格變動(dòng)反映的強(qiáng)烈程度，其經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)某商品價(jià)格為P時(shí)，價(jià)格上漲(下降)1%時(shí)，需求量近似減少(增加)η%.在具體的經(jīng)濟(jì)問題解釋時(shí)，通常略去“近似”二字.

二、彈性分析設(shè)商品的需求函數(shù)為Q=Q(P),則收益函數(shù)為R(P)=P·Q=P·Q(P),所以其關(guān)于價(jià)格的邊際收益函數(shù)為由此可知：(1)當(dāng)η<1時(shí),即當(dāng)需求的變化幅度小于價(jià)格變化的幅度時(shí),R′(P)>0,即R(P)單調(diào)增加,即當(dāng)價(jià)格上漲時(shí),總收益增加;價(jià)格下跌時(shí),總收益減少.經(jīng)濟(jì)學(xué)中,這種商品稱為缺乏彈性商品.

(2)當(dāng)η>1時(shí),即當(dāng)需求的變化幅度大于價(jià)格變化的幅度時(shí),R′(P)<0,即R(P)單調(diào)減少,即當(dāng)價(jià)格上漲時(shí),總收益減少;價(jià)格下跌時(shí),總收益增加.經(jīng)濟(jì)學(xué)中,這種商品稱為富有彈性商品.二、彈性分析(3)當(dāng)η=1時(shí),即當(dāng)需求的變化幅度等于價(jià)格變化的幅度時(shí),R′(P)=0,即R(P)取得最大值.經(jīng)濟(jì)學(xué)中,這種商品稱為單位彈性商品.二、彈性分析【例57】設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q(P)=150－2P2.(1)求需求彈性函數(shù)ηP.(2)求當(dāng)P=3時(shí)的需求彈性,并說明其經(jīng)濟(jì)意義.(3)當(dāng)P=3時(shí),若價(jià)格上漲1%,總收益變化百分之幾?是增加還是減少?(4)當(dāng)P=6時(shí),若價(jià)格上漲1%,總收益變化百分之幾?是增加還是減少?二、彈性分析二、彈性分析其經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)P=3時(shí),若價(jià)格上漲1%,總收益增加0.73%;價(jià)格下降1%,總收益減少0.73%.

(4)當(dāng)P=6時(shí),需求彈性為因?yàn)棣?6)>1,所以價(jià)格上漲,總收益減少.總收益對(duì)價(jià)格的彈性函數(shù)值其經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)P=6時(shí),若價(jià)格上漲1%,總收益減少0.85%;價(jià)格下降1%,總收益增加0.85%.三、最優(yōu)化問題

在經(jīng)濟(jì)生活中，為了達(dá)到經(jīng)濟(jì)效益的最大化，經(jīng)常會(huì)碰到如何組織生產(chǎn)，使得投入最少、成本最低、利潤(rùn)最大等問題.下面舉一些例子進(jìn)行探討.

三、最優(yōu)化問題利潤(rùn)最大化問題1.設(shè)某商品的收益函數(shù)為R(Q),總成本函數(shù)為C(Q),則利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(Q)=R(Q)－C(Q),

為了求最大利潤(rùn)，求其一階導(dǎo)數(shù)L′(Q)=R′(Q)－C′(Q)，令L′(Q)=0，得R′(Q)=C′(Q).

所以當(dāng)R′(Q)=C′(Q)時(shí),即當(dāng)邊際收益等于邊際成本時(shí),可以實(shí)現(xiàn)最大利潤(rùn).三、最優(yōu)化問題【例58】設(shè)某廠生產(chǎn)某種機(jī)器的總成本函數(shù)為C(Q)=3Q+150(萬(wàn)元),收益函數(shù)為R(Q)=9Q－0.02Q2(萬(wàn)元),問生產(chǎn)并銷售多少臺(tái)機(jī)器時(shí),利潤(rùn)達(dá)到最大?解利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(Q)=R(Q)－C(Q)=－0.02Q2+6Q－150,邊際利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)′(Q)=－0.04Q+6,令L′(Q)=0,得唯一駐點(diǎn)Q=150,由于利潤(rùn)必存在最值，所以只要生產(chǎn)并銷售150臺(tái)機(jī)器,就可以獲得最大利潤(rùn).三、最優(yōu)化問題平均成本最小化問題2.三、最優(yōu)化問題經(jīng)濟(jì)批量問題3.某批發(fā)零售公司要進(jìn)行進(jìn)貨銷售業(yè)務(wù),在總需求量一定的條件下,存在訂貨費(fèi)用與存貨成本費(fèi)用的問題.訂購(gòu)批量大,訂購(gòu)次數(shù)少,則