2022年備考浙教版中考數(shù)學(xué)題型專項訓(xùn)練 圖形的變換解答題專練附答案

備考浙教版中考數(shù)學(xué)題型專項訓(xùn)練圖形的變換解答題專練

一、綜合題

1.已知E1ABC中，AB=AC,DBAC=a（a<90°）,CDEiAB于點D,點E是AC邊上一動點（不與

點C重合），EFDBC于點F,EF與CD交于點G.

圖3

（1）當(dāng)E點與A點重合時，如圖1,若a=45。，猜想CF與EG的數(shù)量關(guān)系.

（2）當(dāng)E點與A點不重合時,

①若a=45。，如圖2,第（1）題中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立,

請說明理由：

②若a*5。，如圖3,請直接寫出胎的值（用含有a的三角函數(shù)表示）.

2.已知直角三角形ABC中，NC=90°,ZC=6，AB=10,動點P從點A出發(fā)，以每秒3個單

位的速度沿折線油一3C向終點C運(yùn)動，且不與上”。的頂點重合，點D為邊AB的中點，當(dāng)點P

不與點D重合時，過點P作線段PD的垂線與的一邊交于點Q,構(gòu)造會磔*,設(shè)點P的運(yùn)動

時間為t（f>0）.

（1）線段BC的長為.

（2）點P在線段AB上運(yùn)動時，用t表示線段PD的長.

（3）點P在線段AB上運(yùn)動，當(dāng)上功。是以DQ為腰的等腰三角形時，求t的值.

（4）當(dāng)點P經(jīng)過點D后，作點Q關(guān)于PD的對稱點為。'，當(dāng)NQZQ=24時，直接寫出t的

值.

3.如圖，DABC與DDEF都是等腰直角三角形，AC=BC,DE=DF.邊AB,EF的中點重合于點

O,連接BF,CD.

（1）如圖①，當(dāng)FEZ1AB時，易證BF=CD（不需證明）；

當(dāng)DDEF繞點0旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時，猜想BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)□ABC與「DEF均為等邊三角形時，其他條件不變，如圖③，猜想BF與CD之間的數(shù)量

關(guān)系，直接寫出你的猜想，不需證明.

4.數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)后，開始進(jìn)一步的探索.他們將平行四邊形沿著它的一條

對角線翻折，發(fā)現(xiàn)其中還有很多結(jié)論：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB*BC，將沿

AC翻折至上”（,連接WQ.

（1）【發(fā)現(xiàn)與證明】發(fā)現(xiàn)！ABC與平行四邊形ABCD重疊部分的圖形始終是—；

A,等腰三角形；B.等邊三角形；C.直角三角形

⑵【應(yīng)用與探究】求證：4c.

如圖②，在平行四邊形ABCD中，己知々=30°,將和4C沿AC翻折至連接

BfD若加="，乙西力=75。,則N/CB=°,BC=.

5.如圖1,在EIABCD中，AB=Jf,AD=2,DABD與DABD關(guān)于BD對稱，AB交邊CD于點E.

（1）求證：CIA'DECJCICBE.

（2）延長AC到點F,使得AC=CF,連結(jié)BF.

①若BFDAH求AC的長.

②如圖2,若UFuIABD,記四邊形ABED的面積為S”BCE的面積為Sz,求Si—S2的值.

（直接寫出答案即可）

6.矩形血CD中，AC.皿交于點O，BC=k^AB（k為常數(shù)）.作4OF=90。，OEOF

分別與48、3c邊相交于點E、F,連接班，

（2）類比探究：如圖2,上金1,探究線段OE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

（3）拓展運(yùn)用：如圖3,在（2）的條件下，若FO=R，*=58=2〃，求班的長.

7.己知：正方形Z3CD中，ZMAN=45°,將NMW繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、

DC（或它們的延長線）于點M、N.

圖1圖2

（1）如圖1,當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=ZW時，有.當(dāng)繞點A旋

轉(zhuǎn)到BMyDN時、如圖2,請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，

請說明理由；

（2）當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段3",ZW和之間有怎樣的等量關(guān)系？

請寫出你的猜想，并證明.

8.閱讀資料：如圖1,在平面之間坐標(biāo)系初中，/,力兩點的坐標(biāo)分別為/（不））,

取孫y2），由勾股定理得局工=|?f「+|力-乂「,所以/，刃兩點間的距離為

陛=］（馬一凝）2十（力一乂）2.我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖2,在

平面直角坐標(biāo)系至中，/（H力為圓上任意一點，則/到原點的距離的平方為

O^2=|x-C|J+|y-0f,當(dāng)00的半徑為「時，0。的方程可寫為：，+/=/.

問題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P（Gb）,半徑為r,那么OP的方程可以寫為

（工-。）'+（）-5）'=/.

綜合應(yīng)用：如圖3,OP與x軸相切于原點。，P點坐標(biāo)為（0小），/是OP上一點，連接04，

（2）是否存在到四點。，P，4,E距離都相等的點Q?若存在，求。點坐標(biāo)，并寫出以Q為

圓心：以。。為半徑的OO的方程；若不存在，說明理由.

9.如圖1,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A（-1,0）、B（3,0）.

(2)設(shè)拋物線的頂點為D,與y軸相交與點C,連接AC、CD、BC、BD,請你判斷□ACO與

口DBC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖2,連接AD,與BC相交于點E,點G是拋物線上一動點，在對稱軸上是否存在點

F,使得EFG=90°,且tan!FEG=!如果存在，請求出點F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

2

10.在l」ABC中，AB=AC,CBAC^^0,點D在射線BC上(小與點B、點C重合)，將線段AD

繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,作射線BA與射線CE,兩射線交于點F.

(1)若點D在線段BC上，如圖1,請直接寫出CD與EF的關(guān)系.

(2)若點D在線段BC的延長線上，如圖2,(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

(3)在(2)的條件下，連接DE,G為DE的中點，連接GF,若tanDAEC=g,AB=JJ,求

GF的長.

11.如圖，AD是DABC的角平分線，AB1BC，以AC上一點O為圓心，作過點A和點D的

□O,與AC交于另一點E,連接DE

(1)求證：BC是口0的切線;

(2)若/5.4E=12,smZAED=—,求口0的半徑

2

12.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O,已知OA=OC,OB=OD,過點O作

EFBD,分別交AB、DC于點E,F,連接DE,BF,AF.

(2)設(shè)AD||EF,AD+AB=12,BD=4^3,求AF的長.

13.如圖1,在超A3c中，Nd3c=90°，AB是c>0的直徑，。。交AC于點D,過點D的直線

交BC于點E,交AB的延長線于點P,PD是0。的切線.

(1)求證：ZA=ZPDB；

(2)若切=JJ,ZP=ZPDB，求圖中陰影部分的周長和面積；

(3)如圖2,AM=SM>連接DM,交AB于點N,若=g,求MN:MD的值.

圖2

14.如圖，匚ABC內(nèi)接于匚O（□ACB>90。），連接OA,OC.記DBAC=a,11BCO=P，DBAO=

Y-

（1）探究a與0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）設(shè)0C與AB交于點D,00半徑為1,

①若。=丫+45。，AD=2OD,求由線段BD,CD,弧BC圍成的圖形面積S.

②若a+2y=90。，設(shè)sina=k,用含k的代數(shù)式表示線段OD的長.

15.如圖1,某學(xué)校開展“交通安全日”活動.在活動中，交警叔叔向同學(xué)們展示了大貨車盲區(qū)的分布

情況，并提醒大家：坐在駕駛室的司機(jī)根本看不到在盲區(qū)中的同學(xué)們，所以一定要遠(yuǎn)離大貨車的盲

區(qū)，保護(hù)自身安全.小剛所在的學(xué)習(xí)小組為了更好的分析大貨車盲區(qū)的問題，將圖1用平面圖形進(jìn)

行表示，并標(biāo)注了測量出的數(shù)據(jù)，如圖2.在圖2中大貨車的形狀為矩形，而盲區(qū)1為梯形，盲區(qū)

2、盲區(qū)3為直角三角形，盲區(qū)4為正方形.

圖1圖2

請你幫助小剛的學(xué)習(xí)小組解決下面的問題:

（1）盲區(qū)1的面積約是m2：盲區(qū)2的面積約是m2：（近汨.4,

sin25°-0.4,cos25°=O.9,tan25°^0.5,結(jié)果保留整數(shù)）

（2）如果以大貨車的中心A點為圓心，覆蓋所有盲區(qū)的半徑最小的圓為大貨車的危險區(qū)域，請

在圖2中畫出大貨車的危險區(qū)域.

16.如圖，匚O的弦AC與BD互相垂直于點E,OA交ED于點F.

AA

(1)(2)(3)

(1)如圖(1),求證：DBAC=DOAD；

(2)如圖(2),當(dāng)AC=CD時，求證：AB=BF；

(3)如圖(3),在（2）的條件下，點P,Q在CD上，點P為CQ中點，"POQ=DOFD,DF=

EC,DQ=6,求AB的長.

17.在Q/BCD中，/助D=a，以點D為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧，分別交邊AD、CD于點

M、N,再分別以M、N為圓心，大丁之照"的K為半徑畫弧，兩弧交丁點K,作射線DK,交對角

線AC于點G,交射線AB于點E,將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)go得線段EP.

（1）如圖1,當(dāng)@=12配時，連接AP,線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖2,當(dāng)a=9（尸時，過點B作即_L即丁點F,連接AF,請求出：1FAC的度數(shù)，以及

AF,AB,AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）當(dāng)。=12（戶時，連接AP,若站=!初，請直接寫出線段AP與線段DG的比值.

18.定義：四邊形ABCD中，AB=AC,□BDC=^!1BAC,則稱四邊形ABCD為半角四邊形，邊BC

2

稱為半對邊.

（1）如圖①，若四邊形ABCD為半角四邊形，且BC為半對邊，設(shè)匚DBC=a,用含有a的代數(shù)

式表示DACD；

（2）如圖②，等腰」ABC,AB=AC,點D為其內(nèi)部一點，LABD="ACD,連結(jié)AD,作I1ACD

的外接圓HO,BD的延長線交于點E,連結(jié)EA,EC,求證：四邊形ABCE為半角四邊形：

（3）如圖③，在（2）的條件下，延長BA交口0于點F,連結(jié)EF,EFDBC.

①求證：BC=CE；

②若AD=3,BC=6JJ,求四邊形ADEF的面積.

19.如圖

（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖①，在匚ABC中，ADDBC于點D,若BD=3,CD=1,求AB2-AC?的值;

（2）【嘗試應(yīng)用】如圖②，點C在一ABD的邊BD上，滿足AB=AC,求證：AD2-

AC2=BDCD：

（3）【拓展提高】如圖③，已知點D為RtnABC斜邊上一點，過點D作AB的垂線，交AC于

點E,點G在CE的中垂線上，連結(jié)AG,若CG=^BD,求證：求證：AG=』（AD+AB）.

20.如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中□C=90。，口8=匚￡=30。.

（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定DABC,使DDEC繞點C旋轉(zhuǎn).當(dāng)點D怡好落在BC邊上時，填空:

①線段DE與AC的位置關(guān)系是:

②設(shè)：ZBDC的面積為Si,匚AEC的面積為S2.則S1與Sz的數(shù)量關(guān)系是.

(2)猜想論證

當(dāng)DDEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想(1)中5與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗

試分別作出了DBDC和DAEC中BC,CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

21.如圖

(1)如圖1,為等腰直角三角形，ZABC=ZADB=ZBEC=9(f,求證：

AADB^BEC

(2)如圖2,在(1)的條件下，連結(jié)ZE，AE=AC=1Q，求。應(yīng)的長.

(3)如圖3,在中，D,打分別在直角邊45,3c上，AD=2DB=2CE，

2ZBAC+ZBED=1359，求的加C

22.如圖，ABC和-ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，□BAC=DDAE=90°.

(1)如圖1,連接BE,CD,BE的延長線交AC于點匕交CD于點P,求證：BPHCD；

(2)如圖2,把匚ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D落在AB上時，連接BE,CD,CD的延長線

交BE于點P,若BC=6近,AD=3,求UPDE的面積.

23.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,點E在直線AB上，連結(jié)DE,過點A作AFCZDE交直

線BC于點F,以AE、AF為鄰邊作平行四邊形AEGF.直線DG交直線AB于點H.

(1)當(dāng)點E在線段AB上時，求證：匚ABFDDDAE.

(2)當(dāng)AE=2時，求EH的長.

(3)在點E的運(yùn)動過程中，是否存在某一位置，使得DEGH為等腰三角形.若存在，求AE的長.

24.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

例2如圖①，在△ABC中,D、E分別是邊BC、AB的中點，AD、CE相

GE_GD_\

交于點G.求證:

'CE~~AD~i

證明連結(jié)ED.

結(jié)論應(yīng)用：在DABCD中，對角線AC、BD、交于點O,E為邊BC的中點，AE、BD交于點F.

(1)如圖②，若口/BCD為正方形，且電=6,則。尸的長為.

(2)如圖③，連結(jié)。五交ZC于點G，若四邊形。優(yōu)G的面積為：，則口/BCD的面積為

25.如圖，O。是的外接圓，點。在數(shù)上，連結(jié)加，DCDA，過點C作①)的平行線

交AD廣點距

圖2圖3

(1)如圖1,求證：^AB8ACDE：

(2)如圖2,若/切D=/C3=30°,AB=6,皿＞=4，求。應(yīng)；

(3)如圖3,I為&4C的內(nèi)心，若I在線段上，45=10,當(dāng)西最大

時，求出O0的半徑.

26.如圖

(1)如圖①，在DABC中，AB=AC=2,匚A=120。，貝IJSABC=:

(2)如圖②，在DABC中，AB的垂直平分線交BC于D,交AB于點M,AC的垂直平分線交

BC于E,交AC于N,□DAE=20°,BC=6,求DBAC的度數(shù)及DADE的周長；

(3)如圖③，某農(nóng)場主欲規(guī)劃出一個如圖所示的矩形田地ABCD,其中BC=0.4km,點P在邊

AD上，E、F為BC邊上兩點(包括端點)，在DPEF區(qū)域種植甲種農(nóng)作物，其余區(qū)域種植乙種農(nóng)作

物，并沿DPEF的三邊鋪設(shè)圍欄，圍欄總長為0.6km(即口PEF的周長為0.6km),圍欄PE與PF的

夾角為60。(即匚EPF=60。)，為了盡可能多的種植農(nóng)作物要求矩形ABCD的面積盡可能的大，請問

能否沒計出一個面積盡可能大又滿足要求的矩形ABCD田地？若能，求出矩形ABCD面積的最大

值；若不能，請說明理由.

27.如圖

（1）問題提出：如圖1,在C1ABC中，D為BC上一點，旦滿足/Q=3D=DC,則匚ABC形狀

為.（請?zhí)顚懶蛱枺孩兮g角三角形：②直角三角形；③銳角三角形）

⑵問題探究：如圖2,四邊形ABCD為OO的內(nèi)接四邊形，N&4D=60°，ZABC=90P連

接AC、BD,若也）=6,則對角線AC的長度為多少？

（3）問題解決：如圖3,在四邊形ABCD中，ZX=ZC=60°,4DC=90°,BC=CD,以

C為圓心，CBK為半徑畫防，M為魅上的?動點，過點M作如J.&,MFLAD,連接

EF.已知20=20,探究：線段EF是否存在最小長度？若存在，請求出EF的最小長度；若不存

在，請說明理由.

28.將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按照如圖①的方式疊放在一起（【」A=30。，

」ABC=60°,E=1）EDC=45°）,且三角板ACB的位置保持不動.

圖1圖2備用圖

（1）將三角板DCE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②，若DACE=60、求DDCB的度數(shù).

（2）將三角板DCE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EDHAB時，求口BCE的度數(shù)（請先在

備用圖上補(bǔ)全相應(yīng)的圖形）.

（3）當(dāng)0。v口BCEvl8（）。且點E在直線BC的上方時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？

若存在，請直接寫出二BCE所有可能的值；若不存在，請說明理由.

29.我們把三角形三邊上的高產(chǎn)生的三個垂足組成的三角形稱為該三角形的垂足三角形.

c

AB=AC=8,BC=6,DDEF是匚ABC的垂足三角形，求DE的長.

(2)如圖2,圓內(nèi)接三角形ABC中，AB=AC=x,BC=6,DABC的垂足三角形DEF的周長為

y-

①求y與x的關(guān)系式；

②若DDEF的周長為曾時，求口0的半徑.

30.如圖，在矩形ABCD中，BC=1,AB=2,過對角線BD上一點P作AB的垂線交AB于點F,

交CD于點E,過點E作EG0BD交BC于點G,連接FG交BD于點H,連接DF.

(1)求二的值?

BG

(2)當(dāng)四邊形DFGE有一組鄰邊相等時，求BG的長.

(3)點B關(guān)于FG的對稱點記為B\若B落在匚EFG內(nèi)部(不包含邊界)，求DP長度的取值范

圍.

答案解析部分

1.【答案】（1）解：CF^EG

2

?；NCAD=45°,ZADC=9（f

???ZDCA=45°

:.AD=CD

在和ACD3中

ZB=ZB

ZADG=ZCDB

AD=8

:.AADG^CDB（AAS）

：.AG=BC

?：AB=AC

：.CF=^BC=-AG即CF=LEG

222

（2）解：①成立

證明：如圖，過點E作EMDAB交BC于點M,交CD于點N

圖2

*：CDLAB,4=45。

???ZDCA=ZA=45。

又EM匚AB,??.NCE"=4=45°

:?CN=EN

EF1MC

???ZNMC=ZCGF=ZNGE

???“GE^NMC

AEG=MC

：ZB=ZACBZB=ZEMC

:.ZACB=ZEMC

：.FC=MF=^-MC=^EG

2.【答案】(1)8

(2)解：???點D為邊AB的中點，AB=10

???AD=BD」AB=5

2

?.?動點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向R運(yùn)動,

.AD5

)?----=—

33

當(dāng)點P在AD上運(yùn)動時，點P不與點A與點D重合時，即0<?<暫時,

PD=AD—AP=5—3t,

當(dāng)點P在DB上運(yùn)動時，點P不與點B與點D重合時，即:Vf<乎時,

33

PD=AP-AD=3t-5,

s-3#fo<r<j

???依=,

(3)解：當(dāng)0<?<?時

3

①當(dāng)，2=QD時，如圖①:

O、

圖①

VAQ=QDtQPLAD

??AP=PD=3t?&=5，

6

②當(dāng)4D=0D時，如圖②:

圖②

：AD=QD

:.QD=5=AD=DB

???Q與C重合

：QPLAD

：.AP=3t

APAC63.

=-=cosA

AQAB105

AQ=5tt

AQ=AC=6

?3=6,

?"號

當(dāng)除f<2時，不存在可能性；

33

所以綜上，或f=）.

65

-、，5435421

（4）才==或亍==或￡=丁

284

3.【答案】（1）解：猜想臚=CD,理由如下:

如圖②，連接。C、OD

A

圖②

?：A3C與AOEF都是等腰直角三角形，/C=6C，DE=DF邊AB，班的中點重合于點

o,

：.OCLAB,OC^^AB=OB,ODLEF,OD^EF^OF,

22

VZBOF=ZBOC+ZCOF=900-I-ZCOF，ZCOD=ZDOF+ZCOF=琳+ZCOF,

：.ZBOF=ZCOD

在他。F與AC8中，

OB=OC

ZBQF=ZCOD,

bOF=OD

尸邕ACQD(￡4S),

J.BF=CD,

叵CD

(2)BF=

3

4.【答案】（1）A

3+后

(2)45；

2

5.【答案】(1)證明：在oABCD中，AD=BC,CA=nC

:□ABD與DABD關(guān)于BD對稱

???AD=AD,□A=OC,

.??A'D=BC,OA^QC

XVQA'ED=aCEB

/.□ABDUDABD(AAS).

(2)解：①若BFCZA'F,DF=90o,

???ZIA'BD和DABD關(guān)于BC對稱,

???AB=AB=Vf,

設(shè)AC=CF=x,則A下=2x,

在Rt匚BCF和RtDA'BF中

BF^BC^CF^A'B^AT2,

A22-x2=7-4x2

解之：x=l(x>0),

???A，C=1.

②由(1)可知DA'DE匚DCBE,

???A，E=CE,DE=BE,

:.□BAT=QA,CE=^(18O°-QAZEC),

2

□ABD=aBDE=i(180°-nBED),

2

,.,□AZEC=DBED,

:.□BA,F=nA'BD=DA,CE=［：BDE,

.,.BDnFAf,

,.,□F=JAfBD,

.,.□F=^A,CE=-BAT,

???BF-BA『J7，DCCBF,

VA'C=CF,

ABCIJAT,

ABCnBD,

ADBC,

ABDOAD,

在REABD中，

BD=J5-3=，(句-2,=",

,

S▲謝=^jiDfiD=yx2x-^=心

VDA/CE=nF,EICAEMFAB

???□CA，E"FAB

.A'EA*C1

*7J=TF=2

AZE=BE,

???CE=DE,

ASBCE=SBDE,

Si-S2=SABD+SBDE-SBCE=SABD=JJ,

6.【答案】(1)1

(2)解：結(jié)論：當(dāng)厚1時，OE=k?OF.

理由：過點0作OMDAB于點M,ON匚BC于點N.

/.□OME=LONF=DONB=90°

VJMBN=90°

J四力形BMON是矩形

/.□MON=DEOF=90°

:.□MON-□EON=□EOF-□EON

即MOE=NOF

XVUOME=UONF

ADOMEDCONF

.OEOM

??蘇=而

VAO=OC,OMDBC

/.AM=MB

OM=1BC,同法可證ON=1AB

22

,-O-E=-O-M-=2--=-B-C=工

OFONAB

-L-ADR

?.OE=k?OF；

(3)解：如圖，過點0作0M匚AB于點M,0NZ1BC于點N.

?:k=/，BC=k*AB=>/5AB

???四邊形ABCD是矩形

/.□ABC=90°,OA=OC=OD=OB=2^

.\AB2+5AB2=96

/.AB=4

/.BC=^XB=4^

VCF=OF,OB=OC

.,.□FOC=DFCO=DOBC

XVnOCF=DBCO

.,.□COFODCBO

?OCFC

9"BC=OC

?2能FC

.?布=麗

:.CF=^~

AOF=CF=^^

5

???OE=6，

EF=y/oK1+OF2=

7.【答案】(1)解：BM+DN=MN成立.

證明：如圖，把DADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到匚ABE,

D

/.□D=DABE,AE=AN,AEN=90°

??,四邊形ABCD是正方形，

/.0D=0ABC=QABE=90°,

/.□ABE+aABC=180o

???E、B、M三點共線.

A□EAM=90°-DNAM=90o-45o=45°,

XVQNAM=45°,

J在口AEM與UANM中，

AE=AN

ZEAM=ZNAM

AM=AM

.,.□AEMDDANM(SAS),

???ME=MN,

ME=BE+BM=DN+BM,

.\DN+BM=MN；

(2)解：DN=MN+BM.在線段DN上截取DQ=BM,如圖,

.\AB=AD,□D=DABC=DABM=DBAD=90°

在Z]ADQ與HABM中，

(AD=AB

V\ZADQ=ZABM,

[DQ=BM

/.□ADQZDABM(SAS),

.,.□DAQ=QBAM,

VDBAQ+ZDAQ=90°,

:.□MAQ=QBAM+口BAQ=90°,

又???□MANFS。

/.OQAN=1MAN=45°.

在DAMN和DAQN中，

AQ=AM

?ZQAN=ZMAN

AN=AN

/.：1AMN2CAQN(SAS),

???MN=QN,

ADN-BM=MN.

8.【答案】(1)證明：???P0和PA都是OP的半徑，

:,PO=PA

/.□POA是等腰三角形.

,?PD1Q4,

〈BP是POB和DPAB的公共邊，

1,ZPOB二ZPAB

TOP與x軸相切于原點O，

AZPOB=90°

二血是OP的切線.

(2)解：存在，當(dāng)點Q在線段BP的中點時，點Q到四點。，P，/,方距離都相等.如下圖所

示，連接QO,QA,過點Q作QH11OB于H.

圖3

???Q是線段月P的中點，AP0B=ZPAB=9^,

^QO=QP=QA=QB

???當(dāng)點Q在線段BP的中點時，點Q到四點。，P，4,3距離都相等.

vZPOP=90°，PDLOA，

：.：JDPCXlJOBP=90o,POA+UDPO=90°.

.,.□OBP=DPOA.

3

,:tanZPOA=-,

4

3

4

點坐標(biāo)為（0/），

工OP=6.

：.0B=———=8

???點Q是線段BP的中點，

■.里?2

BP2

V□POB=90°,QHLOB,

J.QHWPO.

.邃=四=些，

OPOBBP2

二的=1。尸=3，HB=^OB=A

22

OH=0B—HB=4.

.?.點。的坐標(biāo)為（43）.

：.OQ=4OM+Hb=5

???以。為圓心，以。。為半徑的OP的方程為（《-4）2+3-3）”=25.

9.【答案】（1）解：將點/（-M）月&Q）代入>="+/得：

—l-A+c=O

b-9+35+c=0'

[6=2

解得：?.，

c=3

所以拋物線解析式為9=-^+笈+3；

（2）解：：3=-/+笈+3="（x-l）a+4,

..D（U）,

令x=0,則y=3,

-.0（03）,

AO=LCO=3，

tanZAC0=-，

3

????（-LO）,B（3Q）,D（14）,

BC=3>/ZC0=7IBD=245，

A^Z）a=BCa+CD2，

??qBCD是直角三角形,

：.ZBCD=9Q°，

：.ZAC0=ZDBC；

（3）解：存在點尸，使得NEFG=90°,」Lg&EG=1,理由如下:

2

vy=-x1+2x+3=-（x-1）2+4

拋物線的對稱軸為直線x=l，

設(shè)直線的解析式為＞=得,

3*+b=0

bb=3

￡="1

解得:

"3

設(shè)直線AD的解析式為J=&X+4，可得,

一年f4=0

%=2

解得：,

A=2

工y=2j+2,

p=2x+2

聯(lián)立方程組，

J=-H3

X=3

解得：，

8

設(shè)尸(bf)，

如圖1,當(dāng)G點在對稱軸的右側(cè)，卜點住E點下方時,

圖1

過點F作MN「y軸，過E點作EM二x軸交MN于點M,過點G作GNI0MN交于N點,

Z￡FG=90°，

ZEFM+ZFEM=90°.ZEFM十ZGF￥=90°

ZFEM=ZGFN，

AEFM7GN，

+3

M=（舍去），與=-2夜+：,

Jn

如圖2,當(dāng)G點對稱軸的左側(cè)，F(xiàn)點在E點下方時,

圖2

過E點作EK垂直對稱軸交于點K,過點F作FHDy軸，過點G作GH二HF交于H,

vZ￡FG=90°，

：.ZHFG+ZHFE=9(f,

^ZHFE+ZEFK=9(f，

：,ZHFG=ZEFK,

：jJiGF^^KEF

GFGHHF

A￡F=XF=FK7

^tanZFEG-\，

2

.絲,

‘‘EF2，

二郎=［甌HF=^KF,

22

二A,

323

解得：片=-生色+2或為=至+2（舍去），

“33々33

（.4y/62、

?，尸（L--3-+JI;

如圖3,當(dāng)F點在E點上方時，此時G點在對稱軸的右側(cè),

圖3

過點F作PQIIx軸，過點E作EP二PQ交于點P,過點G作GQE3PQ交于點Q,

vZEFG=90°,

AZPF￡：+Z0F(?=9O0,

vZ?FE+ZPEF=90°，

^ZQFG=ZPEF,

：jt^PEF^AQFG,

.EF二PF二PE

,?而二9二而

%*tanZFEG=\,

2

FG_\

A￡F-2T

:.PF=2QG,PE=2FQ,

mm+*”加，

解得；「社工=宜過

33

v-</<4,

3

綜上可得：點的坐標(biāo)為（L+期或停半）或L+；

10.【答案】（1）解：CD=EF,CD匚EF,

（2）解：結(jié)論仍然成立,

理由如下：VAB=AC,匚BAC=90。,

.,.□ABC=JACB=45°,

???將線段AD繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,

???AD=AE,匚DAE=90°=匚BAC,

/.□BAD=DCAE,且AB=AC,AD=AE,

A1ABDOOACE(SAS)

.\BD=CE,ABD=ACE=45°,

ABCF=nACB+nACE=90°,

ACDDEF,

又???□ABC=45。,

.,.□BFC=^ABC,

，BC=CF,

/.CD=EF；

(3)解：如圖，過點A作ANDCE于點N,過點G作GH匚CE于H,

,:AB^AC~42，

ABC=CF=2,

VANDCE,□ACF=45°,

???AN=CN=1,

???UmZAEC々緇,

???EN=2,

???EC=CN+EN=3,

，EF=EC-CF=1=CD,

VGHQCE,OECD=90°,

.,.HGQCD,

EGHGEH口》“

==，且EG-DG>

EDCDEC

EH=2

22

:?FH=EH-EF=占

IL【答案】（1）證明：如圖2,連接0D,由題意得，OD是00的半徑,

/.BAD=IIOAD.

VOA=OD,

.,.□ODA=DOAD.

/.□BAD=DODA,

J.AB^OD.

VABQBC,

AODQBC.

??,OD是OO的半徑，

???BC是的切線.

(2)解：由題意得：AE是C)0的直徑,

.,.□ADE=90°,

VABDBC,nABD=90°.

ABD=DADE,

由(1)知，DBAD=DDAE,

A0ABDOOADE.

,ABAD，

=即HI3I=加,忿=12,

ADAE

解得：ND=2石，

在RtElADE中，smZAED=—=—,即邁=畫,

AE2AE2

解得：H?=4，

???00的半徑=1公=!*4=2,

22

???Q0的半徑為2.

12.【答案】（1）證明：?：OA=OC,OB=OD,

.??四邊形3CD為平行四邊形，

工期|CD,

"0BE30DF

ZOBE=ZODF

在/0E和DOF中，OB=OD,

ZBOE=ZDOF

JJJSOE^DOF（ASA）,

:.BE=DF,

又丁。尸||初T,

???四邊形。班尸是平行四邊形，

^EFLBD,

工四力形DEM是菱形.

（2）解：如圖，過點尸作FG_L四于點G，

vADnEF,EFIBD,

.\ZXDB=90°,

???在中，ADi^BDi=ABi

vAD+AB=\ZBD=4j3，

r.AD1+(^)1=(12-j<D)a,

解得3=4,

二9=12-,

不皿|砂，

?BEOBOBOBI

二萬=而=8+QD=i^=3'

二班=1押=4,

2

An1

在RUZBD中，.M心血=喂=；,

AB2

.\ZXBD=30°,

???四力形DEM是菱形，

：.ZEBF=2ZABD=^BF=BE=4,

二BG=BF-cos^EBF=2,FG=BF-sin^EBF=2萬?

AG=AB-BG=6,

則在5/A/GF中，AF=JA&+F&=西+q6y=癡

13.【答案】(1)證明：如圖1,連接0D.

圖1

???PD是。。的切線，

/.Z/W=90°

.,.ZPDB+Z^DO=90°

???AB是00的直徑，

：.ZADB=9(f

；?ZA+ZABD=90。

：0B=0D,

:?&D0=/0BD

9-ZA=ZPDB

(2)解：???ZfiDO+ZPD3=90°,ZDO3+ZP=900ZP=ZPDB

：?ZBD0=ZD0B

???BD=BO.

.OB=OD，

：-BD=BO=OD

.,.Z20BD為等邊三角形.

??ZDOB=60。，ZD3c=300

???AB是00的直徑，

..ZBDC=ZADB=90°

RD

?,?血“g=癡3/=*,cosZDBC=cos3(f=^

BDBC

又,：BD=6

:.DC=1,BC=2，

弱=60冗?4=叵

1803

??,陰影部分的周長為1?2+叵=3+叵，

33

陰影部分的面積為:xlx￡-盥霏.（有丫一）＞噂x（百j

~22nT-)

5^31

1~2n

???陰影部分周長為3+叵，面積為2巨一人”.

342

（3）解：如圖2,連接OM,過點D作。尸_L/EF點F.

圖2

：.OMLAB

?:筋=而，

?-ZDMB=ZA

:.tanZDMB=tanA.

*.*］，

2

?,?那=黑=9

AD2

設(shè)BD=a,則AD=2a.

由勾股定理得出==島.

由三角形的面積公式得!=!花?AF.

22

??.。尸=^^.

5

VOMLABDFLAB.

.,.□MON=ODFN=90o,XOONM=DFND,

:.AOMNS曲N

.DNDF

,,加=成

又?.,。尸=亞0,OM=—a>

52

.2岳yfs.

??DnNirtMN=-r—a—fl=AW

52

即郵：虺D=59

14.【答案】（1）解：a與。之間的數(shù)量關(guān)系為：a+p=90°.理由:

連接0B,如圖，

/1BOC=2BAC,DBAC=a,

，B0C=2a.

VOC=OB,

/.□OCB=aOBC=p.

/.□BOC+aOCB+aOBC=180°,

/.2a4-2p=180°.

Aa+p=90°.

⑵解：①:燈+45。，a+p=90°,

??,90°-a=Y+45°.

/.a+Y=45°.

VDBAC=a,CBAO^,

/.□OAC=aBAC+DBAO=45°.

?/OA=OC,

:.JOAC=：1OCA=45°.

???aAOC=90°.

VAD=20D,

OD1

sinDOAD=—―='—-.

AD2

：.□OAD=30°.

/.□BAC=15°,

:.」BOC=2LBAC=30。.

VOA=OD,

A：10BA=BAO=30°.

/.1DOB=DDBO=30°,

DO=DB.

過點D作DEOB于點E,如圖,

VtanJDOB=—,

OE

「DE

.?金T.

32

ADE=—.

6

5

.?.SODOB=-XQB*DE=-

212

VS^OCB=l0nxlZ=-c_

3601r

/.S=S曰彩OCB-SI1DBO=—

12

?Va+2y=90°,a+p=90°,

???B=2y.

延長AO,交圓0于點G,連接BG,如圖，

0

i

VJBOG=2DBAO=2y,

ABOG=OCB.

vnOBC=nocB,

???」BOG=Z1OBC.

.?.BCOAG.

則CF=BF=gBC,」lCOF=gBOC=a.

過點O作OFUBC于點F,

22

CF

Vsina=k,sina=—二，

oc

.*.CF=OC*sina=k,

/.BC=2k.

設(shè)OD=x,則CD=OC-OD=l?x,

VBCDOA,

/.□DAOaDDBC.

.OAOD

'BC=CD

x

?.?1__?

2*1-x

15.【答案】(1)5：4

(2)解：???AC=AD=J(2+退-+2'=，

AH=AG=J(2+2)+F=而，

AM=AN=百十(2+葉=拒，

/.AC=AD>AH=AG>AM=AN,

???以A為圓心，AC長為半徑所畫的圓為大貨車的危險區(qū)域.

如圖所示.

16.【答案】(1)證明：如圖1,延長AO交口0于M,連接DM,則AM是70直徑,

/.□ADM=90°,

/.□AMD+nMAD=90°

VACDBD,

/.□AEB=90°,

.,.□BAC+DABD=90°,

,/□ABD=DAMD,

二AMD+MAD=90°,

/.□BAC=DMAD,

即DBAC=C]OAD；

(2)證明：如圖2,

J

由(1)可得，□BAC=EJOAD,

AnBAC+DCAO=COAD+rCAO,

.,.□BAF=DCAD,

,.,□ABD=DACD,

/.□ABFQnACD,

,AB_BF

????

ACCD

VAC=CD,

.AB=BF；

(3)解：連接OC、OD,在線CA上取Qi,使得CQI=DQ=6,連接QQI,OQU線段QQI和線段

O交于點Pi,再過圓心O作OOEAC于點Oi,如圖：

由(2)知：DABF□匚ACD,

/.□EFA=rCDA,

,/□CDA=DEAD

/.□EAD=DEFA,

又VQAEF=□DEA=90°,

,.□EFAODEAD,

.EFAE

AEDE

.*AC=CD,EC=DF,

\AE-AC-EC=CD-EC=CD-DF,

.,DE=EF+DF,

EFCD-DF

CD-DFEF+DF

(CD-DF)2=EF(EF+DF)①，

/□CED=90°,

,.CD2=EC2+DE2=DF2+(EF+DF)2,

??(CD-DF)(CD+DF)=(EF+DF)2@,

CD+DFEF^DF

將②式除以①式得

CD-DFEF

,CD-DF+2DF=g衛(wèi)EF.DF.DF

=1+

CD-DF-CD-DFEF~EF

.2DFDF

?CD-DF=京'

??2EF=CD-DF,

3空?，

CD+DF^

CD1=CEl+D￡2=AF*+(

2

???5DF2+2CDDF-3CD2=0，

:.(5DF-3CD)?(DF+CD)=0,

VDF+CD>0,

，5DF-3CD=0,

3

J

3

：?CD--CDi

EF=3DF——金一=-OD'

2

32

：.AE=AC-CE=CD-DF=CD--CD^-CD,

?/w

在RtDAEF中

AF=4AE、EF告CD

VOOiDAC,

/.OOiA=DFEA=90°,Oi是AC的中點,

/.EFQOOi,

廠—CD

AFAE石-54

OA0kAOA-CD5

2

：.OA=—CD，

4

VJPOQ=DOFD,DOFD=CEFA,

.\nPOQ=nEFA,

,.,□EAF+QEFA=90°,DEAF=LCAO.

.,.□CAO+JPOQ=90°,

VAC=CD,

J□CAO=口OCA=□CDO=口OCD,

.,.□OCIX-|POQ=90o,

：.JCOP+nDOQ+□CDO=90°,

VOC=OD,□OCA=DCDO,CQi=DQ=6,

.,.□OCQiDDODQ(SAS),

AOQi=OQ,IDOQ=QCOQi,

:.□COP+aCOQi+DCDO=90°,

/.POQi+DOCD=90°,

而］OCDmPOQ=90。，

??.」POQ=IZ)POQi,

???PQ=PiQ,

???P為CQ中點,

?,.PiP是DCQiQ的中位線，

AP.PnCQ