2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí) 專題03 軸對(duì)稱圖形（8個(gè)知識(shí)點(diǎn)回顧+10大題型歸納+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

專題03軸對(duì)稱圖形題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1軸對(duì)稱圖形的相關(guān)概念】【題型2關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)】【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用】【題型4線段垂直平分線和角平分線的作圖】【題型5等腰三角形的性質(zhì)】【題型6求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】【題型7等腰三角形的判定與性質(zhì)】

【題型8等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】【題型9含30°角的直角三角形的性質(zhì)】【題型10將軍飲馬-最短路徑問(wèn)題】知識(shí)點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形⑴軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線稱為它的對(duì)稱軸.知識(shí)點(diǎn)2：軸對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱的性質(zhì)：①兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對(duì)稱，對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線.②關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)①關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.②關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.知識(shí)點(diǎn)4：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD為所求直線3.線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.知識(shí)點(diǎn)5：等腰三角形的概念與性質(zhì)1.等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一”．3.等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊.知識(shí)點(diǎn)6：等邊三角形的概念與性質(zhì)1.等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱軸.（2）三個(gè)角都是60°3.等邊三角形的判定（1）三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識(shí)點(diǎn)7：含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.知識(shí)點(diǎn)8：將軍飲馬-最短路徑問(wèn)題基本圖模1.已知：如圖，定點(diǎn)A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度理由：在l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小.已知：如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB值最?。ɑ颉鰽BP的周長(zhǎng)最?。┙猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，點(diǎn)P即為所求；理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短題型歸納【題型1軸對(duì)稱圖形的相關(guān)概念】1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列圖形是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（23-24八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，連接AA'，BB'，CC'，其中BB'分別交AC，A'C'于點(diǎn)D，DA．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④3．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線A．120° B．135° C．140° D．150°4．（24-25八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD沿EF折疊，若∠1=56°則∠2為度．

【題型2關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)】5．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P1a?1,5和P22,b?1關(guān)于x軸對(duì)稱，則A．0 B．?1 C．1 D．無(wú)法確定6．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）若點(diǎn)2,?3與點(diǎn)x,y關(guān)于y軸對(duì)稱，則x，y的值為（）A．x=2，y=3 B．x=?2，y=?3 C．x=?2，y=3 D．x=2，y=?37．（24-25八年級(jí)上·湖北荊州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)?2,3關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．2,?3 B．?2,?3 C．2,3 D．3,?28．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）一只電子跳蚤從點(diǎn)A2,?3開始，先以x軸為對(duì)稱軸跳至點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B，緊接著又以y軸為對(duì)稱軸跳至點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

A．2,3 B．?2,3 C．3,2 D．【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用】9．（24-25八年級(jí)上·重慶銅梁·期中）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=4cm，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，若△BCE的周長(zhǎng)是10cm，則△ABC的周長(zhǎng)是等于（

A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm10．（24-25八年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，在△ABC中，DE,FG分別是線段AB,BC的垂直平分線，若∠ABC=100°，則∠DBF的度數(shù)是（

）A．20° B．30° C．40° D．50°11．（24-25八年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，AB=18cm，AC=8cm，則BE的長(zhǎng)為（A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm12．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三個(gè)村莊的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)13．（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D．連接BD．若AC=12，CD=7，則BD=14．（24-25八年級(jí)上·江西贛州·期中）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．(1)請(qǐng)你判斷AD與EF關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若AB=12，AC=8，S△ABC=60，求15．（24-25八年級(jí)上·湖北荊門·期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：(1)BE=CF；(2)AD垂直平分EF．【題型4線段垂直平分線和角平分線的作圖】16．（24-25八年級(jí)上·青海西寧·期中）在兩條公路的交叉處有兩個(gè)村莊C、D，政府想在交叉處的內(nèi)部建一個(gè)加油站P，并且使加油站到村莊C、D的距離相等且到兩條公路的距離也相等．（請(qǐng)用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺找到點(diǎn)P，保留作圖痕跡，不寫作法）17．（23-24八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，已知∠AOB及點(diǎn)C、D，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，并且使點(diǎn)P到OA、18．（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）尺規(guī)作圖（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）：(1)在如圖所示的△ABC中，作AB邊上的垂直平分線EF，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．(2)在（1）的條件下，連接AF，若AE=3，△ABC的周長(zhǎng)為18，求△ACF的周長(zhǎng)．19．（24-25八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°(1)（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法：）作AB的垂直平分線分別交CB于M,?AB于(2)依據(jù)（1）的圖形，若CM=8，求BM的長(zhǎng)．【題型5等腰三角形的性質(zhì)】20．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4.5cm，9cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為（A．22.5cm B．18cm C．22.5cm或1821．（24-25八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角的度數(shù)為（

）A．50° B．40°或130° C．50°或140° D．50°或130°22．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）若等腰三角形一個(gè)角為50°，則頂角的度數(shù)是（

）A．50° B．80° C．50°或80° D．60°或70°23．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在線段AB上，且滿足AE=EC．若∠ACE=40°，則∠BCE的度數(shù)是（

）A．70° B．30° C．40° D．45°24．（24-25八年級(jí)上·貴州黔東南·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，AD恰好平分∠BAC．若DE=3，則BC的長(zhǎng)是（

）

A．9 B．6 C．7 D．525．（24-25八年級(jí)上·江蘇·期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D．若∠A=40°，則∠DCB的度數(shù)為（

A．15° B．20° C．40° D．50°【題型6求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】

26．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)且使△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．927．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A、B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D形中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【題型7等腰三角形的判定與性質(zhì)】28．（24-25八年級(jí)上·河南焦作·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連接DE．(1)求證：△BCD為等腰三角形．(2)求∠EDC的度數(shù)．29．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，連接EC．(1)求∠ECB的度數(shù)；(2)若CE=4，求BC長(zhǎng)．30．（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC與BD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．(1)求證：EF垂直平分BC；(2)如圖2，若EF=DE，求∠ABE的度數(shù)．31．（24-25八年級(jí)上·天津南開·期中）在△ABC中，∠C=∠B=50°，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，在△ADC內(nèi)部作∠ADE=50°，DE與AC邊相于點(diǎn)E．(1)如圖1，當(dāng)∠BDA=100°時(shí)，∠EDC=______（度），∠AED=______（度）；(2)如圖2，若AC=DC，證明：△ABD≌△DCE；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，直接寫出此時(shí)∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型8等邊三角形的判定云性質(zhì)綜合】32．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，連接CD，BE交于點(diǎn)F，求證：(1)BE=DC；(2)FA平分∠DFE．33．（24-25八年級(jí)上·湖北宜昌·期中）已知：在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD=BE．(1)如圖1，求證：DE=DC；(2)如圖2，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且CF+BE=10，求AF的長(zhǎng)．34．（24-25八年級(jí)上·江西南昌·期中）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點(diǎn)P，求證：(1)△ABE≌△CAD；(2)BP=2PQ.35．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．(1)求證：AD=BE；(2)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)求出線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型9含30°角的直角三角形的性質(zhì)】36．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若∠B=30°，BC=8cm，則CD的長(zhǎng)為（

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm37．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=24，則BD的長(zhǎng)為．38．（24-25八年級(jí)上·上海·期末）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠CBA，且交AC于點(diǎn)D，AC=1，那么AD的長(zhǎng)是．39．（24-25八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=8，D是BC邊上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E．若EC=3，則DB的長(zhǎng)為．【題型10將軍飲馬-最短路徑問(wèn)題】40．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°41．（24-25八年級(jí)上·福建·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，點(diǎn)P、Q分別是AB，AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ+BQ的最小值為（）

A．7 B．8 C．9 D．1442．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，在△ABC中，直線m是線段BC的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若AB=7，AC=4，BC=5，則△APC周長(zhǎng)的最小值是（

）A．12 B．11 C．9 D．743．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，A、B、A1三點(diǎn)在一條直線上，且△ABC≌△A1BC1．若D為線段A．10 B．12 C．16 D．1844．（18-19八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·廣東韶關(guān)·期中）下列剪紙作品中，是軸對(duì)稱圖形的為（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P?3,2關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

A．?2,3 B．2,?3 C．3,?2 D．3,23．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，若BD=4，則DC的長(zhǎng)是（

）A．2 B．4 C．6 D．84．（24-25八年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若A．17 B．18 C．20 D．225．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D'，C'的位置．若∠DEF=65°，則A．45° B．50° C．60° D．65°6．（24-25八年級(jí)上·貴州銅仁·期中）如圖，對(duì)于△ABC，小穎作如下操作：①分別以A、C為圓心，大于12AC長(zhǎng)為半徑在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；②作直線MN交BC、AC于E、F兩點(diǎn)；連接AE，恰好AB=AE，已知AD⊥BC于D，△ABC周長(zhǎng)為16，AC=6，則DC長(zhǎng)為（A．5 B．8 C．9 D．107．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖：等邊三角形ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是（

）A．45° B．55° C．60° D．75°8．（24-25八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AB=11，AC=5，則BE的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，已知：∠MON=30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1AA．22022 B．22023 C．22024二、填空題10．（2012·山東德州·一模）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是．11．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，BC=6，AD⊥BC于D，則BD的長(zhǎng)為．12．（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D，E?F為AD上兩點(diǎn)，連接EB?EC?13．（24-25八年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．若△ABC的周長(zhǎng)為16cm，則DE的長(zhǎng)為cm14．（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期中）如圖是某商場(chǎng)一部手扶電梯的示意圖，若∠ABC=150°，BC長(zhǎng)為8米，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度?=米．15．（24-25八年級(jí)上·四川自貢·期中）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=24cm，BC=18cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC上以xcm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A16．（24-25八年級(jí)上·遼寧撫順·期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，AB>AC，AC=6，∠BAC=60°，點(diǎn)M，N分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+MN有最小值時(shí)，則CN的長(zhǎng)是．三、解答題17．（24-25八年級(jí)上·湖北荊州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)即為格點(diǎn)）．(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A(2)求△ABC的面積；(3)在y軸上畫出點(diǎn)P，使PA+PC最?。?8．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E是BC邊上兩點(diǎn)，且AD=AE．求證：BE=CD．19．（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連結(jié)AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點(diǎn)D．連結(jié)DE．(1)若△ABC的周長(zhǎng)為25，△DEC的周長(zhǎng)為13，求AB的長(zhǎng)．(2)若∠ABC=40°，∠C=48°，求∠CDE的度數(shù)．20．（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·期中）綜合與實(shí)踐：我們知道，在一個(gè)三角形中，相等的邊所對(duì)的角相等，那么，不相等的邊所對(duì)的角之間的大小關(guān)系是怎樣的呢？

【觀察猜想】（1）在△ABC中，AB>AC，猜想∠C與∠B的大小關(guān)系；【操作證明】（2）如圖1，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)在△ABC中，若AB>AC，可將△ABC折疊，使邊AC落在AB上，點(diǎn)C落在邊AB上的E點(diǎn)，折線交BC于點(diǎn)D，連接ED，發(fā)現(xiàn)∠AED=∠B+∠EDB，……，請(qǐng)用上述思路證明（1）中猜想的結(jié)論；【操作發(fā)現(xiàn)】同學(xué)們用類似操作繼續(xù)折紙?zhí)骄俊按筮厡?duì)大角，大角對(duì)大邊”，發(fā)現(xiàn)存在圖1中的四邊形AEDC，滿足AE=AC，DE=DC．查閱資料，如圖2有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”．【拓展應(yīng)用】（3）資料顯示，“箏形”儀器可用于檢測(cè)門框是否水平．如圖3，“箏形”儀器AEDC上的點(diǎn)A處綁一條線繩，線繩另一端掛一個(gè)鉛錘．某同學(xué)將儀器上的點(diǎn)E、C緊貼門框上方，觀察若線繩恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則可判斷門框是水平的．請(qǐng)說(shuō)明此同學(xué)做法的理由；（4）如圖4，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)、當(dāng)四邊形AEFC為“箏形”時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠BFE的度數(shù)．

專題03軸對(duì)稱圖形題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1軸對(duì)稱圖形的相關(guān)概念】【題型2關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)】【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用】【題型4線段垂直平分線和角平分線的作圖】【題型5等腰三角形的性質(zhì)】【題型6求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】【題型7等腰三角形的判定與性質(zhì)】

【題型8等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】【題型9含30°角的直角三角形的性質(zhì)】【題型10將軍飲馬-最短路徑問(wèn)題】知識(shí)點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形⑴軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線稱為它的對(duì)稱軸.知識(shí)點(diǎn)2：軸對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱的性質(zhì)：①兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對(duì)稱，對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線.②關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)①關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.②關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.知識(shí)點(diǎn)4：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD為所求直線3.線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.知識(shí)點(diǎn)5：等腰三角形的概念與性質(zhì)1.等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一”．3.等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊.知識(shí)點(diǎn)6：等邊三角形的概念與性質(zhì)1.等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱軸.（2）三個(gè)角都是60°3.等邊三角形的判定（1）三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識(shí)點(diǎn)7：含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.知識(shí)點(diǎn)8：將軍飲馬-最短路徑問(wèn)題基本圖模1.已知：如圖，定點(diǎn)A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度理由：在l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小.已知：如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB值最?。ɑ颉鰽BP的周長(zhǎng)最?。┙猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，點(diǎn)P即為所求；理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短題型歸納【題型1軸對(duì)稱圖形的相關(guān)概念】1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列圖形是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，牢記軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，從而進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（23-24八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，連接AA'，BB'，CC'，其中BB'分別交AC，A'C'于點(diǎn)D，DA．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟知如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)各結(jié)論進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵△ABC和△A'B∴AA'∥∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)∴∠ADB=∠A'D∵△ABC和△A'B∴線段AA'，∴直線l垂直平分AA'，故∵△ABC和△A'B∴線段AC、A'C'所在直線的交點(diǎn)一定在直線l∴正確的有①②③，故選：A．3．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線A．120° B．135° C．140° D．150°【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)．由軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得∠B【詳解】解：∵△ABC和△A'B∴∠B故選：B．4．（24-25八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD沿EF折疊，若∠1=56°則∠2為度．

【答案】68【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)長(zhǎng)方形性質(zhì)得出平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DEF，根據(jù)折疊求出∠FEG，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AD∥BC,∴∠DEF=∠1=56°,∵沿EF折疊D到D'∴∠FEG=∠DEF=56°,∴∠2=180°?56°?56°=68°,故答案為：68．【題型2關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)】5．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P1a?1,5和P22,b?1關(guān)于x軸對(duì)稱，則A．0 B．?1 C．1 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】本題考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)P1(a?1,5)和P2(2,b?1)關(guān)于x軸對(duì)稱，可得a?1=2，b?1=?5，求出【詳解】解：∵點(diǎn)P1a?1,5和P2∴a?1=2，b?1=?5，解得a=3，b=?4，∴(a+b)故選：B6．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）若點(diǎn)2,?3與點(diǎn)x,y關(guān)于y軸對(duì)稱，則x，y的值為（）A．x=2，y=3 B．x=?2，y=?3 C．x=?2，y=3 D．x=2，y=?3【答案】B【分析】本題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，熟知這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變解答即可．【詳解】∵點(diǎn)2,?3與點(diǎn)x,y關(guān)于y軸對(duì)稱，∴x=?2，y=?3．故選：B．7．（24-25八年級(jí)上·湖北荊州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)?2,3關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．2,?3 B．?2,?3 C．2,3 D．3,?2【答案】C【分析】本題考查軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變換，熟練掌握關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變換特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等求解即可．【詳解】解：點(diǎn)?2,3關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是2,3，故選：C．8．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）一只電子跳蚤從點(diǎn)A2,?3開始，先以x軸為對(duì)稱軸跳至點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B，緊接著又以y軸為對(duì)稱軸跳至點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

A．2,3 B．?2,3 C．3,2 D．【答案】B【分析】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，掌握關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)成為解題的關(guān)鍵．首先寫出A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)，再寫出點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)即可解答．關(guān)于x軸對(duì)稱x坐標(biāo)不變，另一個(gè)坐標(biāo)變成相反數(shù)．【詳解】解∶∵A2,?3∴點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是2,3，點(diǎn)B以y軸為對(duì)稱軸的點(diǎn)C的坐標(biāo)是∶?2,3．故選B．【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用】9．（24-25八年級(jí)上·重慶銅梁·期中）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=4cm，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，若△BCE的周長(zhǎng)是10cm，則△ABC的周長(zhǎng)是等于（

A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm【答案】A【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，根據(jù)中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，得到AE=BE，進(jìn)而得到△BCE的周長(zhǎng)等于BC+AC，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∴AE=BE，∴△BCE的周長(zhǎng)=BE+BC+CE=AE+CE+BC=AC+BC=10cm∴AC=10?BC=6cm∵AB=AC=6cm∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=16cm故選A．10．（24-25八年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，在△ABC中，DE,FG分別是線段AB,BC的垂直平分線，若∠ABC=100°，則∠DBF的度數(shù)是（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠A=∠DBA，∠C=∠FBC，由三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠C=180°?∠ABC=80°，等量代換可得出∠DBA+∠FBC=80°，再利用角的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：∵DE,FG分別是線段AB,BC的垂直平分線，∴AD=DB，BF=FC，∴∠A=∠DBA，∠C=∠FBC，∵∠A+∠C=180°?∠ABC=80°，∴∠DBA+∠FBC=80°，∴∠DBF=∠ABC?∠DBA+∠FBC故選：A．11．（24-25八年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，AB=18cm，AC=8cm，則BE的長(zhǎng)為（A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，連接CD,BD，證明△DFC≌△DEB，得到CF=BE，證明△ADF≌△ADE，得到AF=AE，進(jìn)而得到AC+CF=AB?BE，求解即可．【詳解】解：連接CD,BD，則：DC=BD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴DF=DE,∠BED=∠DEA=∠DFA=90°，∴△DFC≌△DEBHL∴CF=BE，∵AD=AD，∴△ADF≌△ADEHL∴AF=AE，∴AC+CF=AB?BE，∴2BE=AB?AC=10，∴BE=5cm故選：D．12．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三個(gè)村莊的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】本題主要考查三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)．根據(jù)到三個(gè)村莊的距離相等，即確定一個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)都相等，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，可得這個(gè)點(diǎn)是三角形三個(gè)垂直平分線的交點(diǎn)．【詳解】解：∵由三條公路連接的A，B，C三個(gè)村莊所構(gòu)成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，且使集貿(mào)市場(chǎng)到三個(gè)村莊的距離相等，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在三角形ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：D．13．（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D．連接BD．若AC=12，CD=7，則BD=【答案】5【分析】先求出AD=12?7=5，再由線段垂直平分線的性質(zhì)推出BD=AD=5，即可作答．本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是線段垂直平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用．【詳解】解：∵AC=12，∴AD=AC?CD=12?7=5，∵D在AB的垂直平分線上，∴BD=AD=5故答案為：5．14．（24-25八年級(jí)上·江西贛州·期中）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．(1)請(qǐng)你判斷AD與EF關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若AB=12，AC=8，S△ABC=60，求【答案】(1)AD垂直平分EF，理由見解析(2)DE=6【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DF，根據(jù)三角形全等的判定得出Rt△AED≌Rt△AFD（2）根據(jù)三角形面積公式得出12【詳解】（1）解：AD垂直平分EF，理由如下：∵AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF，在Rt△AED與RtAD=ADDE=DF∴Rt△AED≌∴AE=AF，∵DE=DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE=DF，∴S△ABC∵AB=12，AC=8，∴DE=6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形面積公式，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明Rt△AED≌15．（24-25八年級(jí)上·湖北荊門·期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：(1)BE=CF；(2)AD垂直平分EF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，結(jié)合D是BC的中點(diǎn)，即可證明Rt△DEB≌Rt△DFC（2）首先由DE=DF得到點(diǎn)D在EF的垂直平分線上，然后由Rt△DEB≌Rt△DFCHL得到∠B=∠C，得到【詳解】（1）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD為∠BAC的平分線，∴DE=DF，在Rt△DEB和Rt∵BD=CDDE=DF∴Rt∴BE=CF；（2）證明：∵DE=DF，∴點(diǎn)D在EF的垂直平分線上，由（1）知：Rt△DEB≌∴∠B=∠C，∴AB=AC，∵BE=CF，∴AB?BE=AC?CF，∴AE=AF，∴點(diǎn)A在EF的垂直平分線上，∴AD垂直平分EF．【題型4線段垂直平分線和角平分線的作圖】16．（24-25八年級(jí)上·青海西寧·期中）在兩條公路的交叉處有兩個(gè)村莊C、D，政府想在交叉處的內(nèi)部建一個(gè)加油站P，并且使加油站到村莊C、D的距離相等且到兩條公路的距離也相等．（請(qǐng)用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺找到點(diǎn)P，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確應(yīng)用角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先作出線段CD的垂直平分線EF，再作出∠AOB的平分線OP，則EF與OP的交點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．17．（23-24八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，已知∠AOB及點(diǎn)C、D，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，并且使點(diǎn)P到OA、【答案】見解析【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，作CD的垂直平分線和∠AOB的平分線，它們的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．18．（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）尺規(guī)作圖（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）：(1)在如圖所示的△ABC中，作AB邊上的垂直平分線EF，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．(2)在（1）的條件下，連接AF，若AE=3，△ABC的周長(zhǎng)為18，求△ACF的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)△ACF的周長(zhǎng)為12．【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=BE=3，AF=BF，由△ABC的周長(zhǎng)為18，求得AC+AF+CF=12，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；；（2）解：由題意得AE=BE=3，AF=BF，∵△ABC的周長(zhǎng)為18，∴AB+AC+BC=18，∴6+AC+BF+CF=18，∴AC+AF+CF=12，∴△ACF的周長(zhǎng)為12．19．（24-25八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°(1)（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法：）作AB的垂直平分線分別交CB于M,?AB于(2)依據(jù)（1）的圖形，若CM=8，求BM的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題主要考查作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可；（2）連接AM，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到BM=AM，則∠MAB=∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=30°，則∠MAB=30°，進(jìn)而得到∠CAM=90°，從而可得BM=AM=1【詳解】（1）解：直線MN即為所求；（2）解：連接AM，∵直線MN為線段AB的垂直平分線，∴BM=AM，∴∠MAB=∠B，∵AB=AC,∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=30°，∴∠CAM=90°，在Rt△ACM中，∠C=30°∴AM=1∴BM=AM=4．【題型5等腰三角形的性質(zhì)】20．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4.5cm，9cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為（A．22.5cm B．18cm C．22.5cm或18【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4.5cm和9【詳解】解：①9cm為腰，4.5cm為底，9+9>4.5能構(gòu)成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)為②9cm為底，4.5∴該三角形的周長(zhǎng)是22.5cm故選：A．21．（24-25八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角的度數(shù)為（

）A．50° B．40°或130° C．50°或140° D．50°或130°【答案】D【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，分高在三角形的內(nèi)部和外部，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)高在三角形的內(nèi)部時(shí)：由題意，得：∠ADB=90°，∠ABD=40°，∴∠A=50°；當(dāng)高在三角形的外部時(shí)，如圖：由題意，得：∠ADB=90°,∠ABD=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=180°?50°=130°；故選D．22．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）若等腰三角形一個(gè)角為50°，則頂角的度數(shù)是（

）A．50° B．80° C．50°或80° D．60°或70°【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形一內(nèi)角為50°，沒說(shuō)明是頂角還是底角，所以有兩種情況討論．【詳解】解：當(dāng)50°角為頂角，頂角度數(shù)即為50°；當(dāng)50°為底角時(shí)，頂角=180°?2×50°=80°；綜上，若等腰三角形一個(gè)角為50°，則頂角的度數(shù)是50°或80°，故選：C．23．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在線段AB上，且滿足AE=EC．若∠ACE=40°，則∠BCE的度數(shù)是（

）A．70° B．30° C．40° D．45°【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，掌握等腰三角形性質(zhì)是關(guān)鍵；由AE=EC及∠ACE=40°，得∠EAC=40°；由AB=AC可求得∠ACB，再由∠BCE=∠ACB?∠ACE即可求解．【詳解】解：∵AE=EC，∠ACE=40°，∴∠EAC=∠ACE=40°；∵AB=AC，∴∠ACB=1∴∠BCE=∠ACB?∠ACE=70°?40°=30°；故選：B．24．（24-25八年級(jí)上·貴州黔東南·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，AD恰好平分∠BAC．若DE=3，則BC的長(zhǎng)是（

）

A．9 B．6 C．7 D．5【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得AD=BD，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出∠DAB=∠B，然后根據(jù)角平分線的定義與直角三角形兩銳角互余，求出∠B=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BD，然后求解即可．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=3，∵DE是AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB，∵∠DAB=∠CAD，∴∠CAD=∠DAB=∠B，∵∠C=90°，∴∠CAD+∠DAB+∠B=90°，∴∠B=30°，∴BD=2DE=6，∴BC=BD+CD=6+3=9，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等；等邊對(duì)等角；直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．25．（24-25八年級(jí)上·江蘇·期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D．若∠A=40°，則∠DCB的度數(shù)為（

A．15° B．20° C．40° D．50°【答案】B【分析】本題考查了等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理，由作圖可得AC=AD，再由等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ACD的度數(shù)，最后由∠DCB=∠ACB?∠ACD計(jì)算即可得解．【詳解】解：由作圖可得：AC=AD，∵∠A=40°，∴∠ACD=∠ADC=180°?∠A∴∠DCB=∠ACB?∠ACD=20°，故選：B．【題型6求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】

26．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)且使△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)（包括兩個(gè)等腰直角三角形）；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．一共有8個(gè)點(diǎn).故選：C．27．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A、B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D形中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作弧，分別找到格點(diǎn)即可求解．【詳解】解：當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)，當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作弧，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有6個(gè)；∴這樣的頂點(diǎn)C有8個(gè)．故選：C．【題型7等腰三角形的判定與性質(zhì)】28．（24-25八年級(jí)上·河南焦作·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連接DE．(1)求證：△BCD為等腰三角形．(2)求∠EDC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠EDC=50°【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理．（1）先利用三角形的內(nèi)角和求出∠ABC=80°，再利用角平分線的定義求出∠DBC=40°，得到∠DBC=∠ACB，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可求證；（2）由（1）可得∠BDC=100°，根據(jù)等腰三角形三線合一即可求得∠EDC的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠ABC=180°?∠BAC?∠ACB=80°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=1∴∠DBC=∠ACB=40°，∴DB=DC，∴△BCD為等腰三角形；（2）解：∵∠DBC=∠ACB=40°，∴∠BDC=180°?40°?40°=100°，∵DB=DC，E為BC的中點(diǎn)，∴DE平分∠BDC，∴∠EDC=129．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，連接EC．(1)求∠ECB的度數(shù)；(2)若CE=4，求BC長(zhǎng)．【答案】(1)36°(2)4【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC=EA，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ECD=∠A=36°，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù)，再用角的和差來(lái)計(jì)算求解；（2）由（1）得∠ECD=36°，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到∠B的度數(shù)，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠BEC=∠B，從而得出BC=CE即可求解．【詳解】（1）解：∵DE是AC的垂直平分線，∴EC=EA，∴∠ECD=∠A=36°．∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=180°?36°∴∠ECB=∠ACB?∠ACE=72°?36°=36°．（2）解：由（1）得∠ECD=36°．∠B=72°．∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC=36°+36°=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=CE=4．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．30．（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC與BD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．(1)求證：EF垂直平分BC；(2)如圖2，若EF=DE，求∠ABE的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)30°【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的判定定理先判定Rt△ABC≌Rt△DCB，然后根據(jù)其全等性質(zhì)即可得出∠ACB=∠DBC，進(jìn)而得出BE=CE（2）證明CE平分∠DCB，得出∠ACB=∠DCE，由（1）得∠ACB=∠DBC，∠DCB+∠DBC=90°，得出∠ACB=∠DBC=∠DCE=30°，結(jié)合【詳解】（1）證明：在Rt△ABC和RtBC=CBAB=DC∴Rt△ABC≌∴∠ACB=∠DBC，∴BE=CE，∴△BEC是等腰三角形，又∵EF⊥BC，∴BF=CF，∴EF垂直平分BC；（2）解：∵EF=DE，EF⊥BC，∴CE平分∠DCB，∴∠ACB=∠DCE，由（1）得∠ACB=∠DBC，∴∠ACB=∠DBC=∠DCE=30°，∵∠A=90°，∴∠ABE=90°?∠ACB?∠DBC=30°，即∠ABE的度數(shù)為30°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、角平分線的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．31．（24-25八年級(jí)上·天津南開·期中）在△ABC中，∠C=∠B=50°，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，在△ADC內(nèi)部作∠ADE=50°，DE與AC邊相于點(diǎn)E．(1)如圖1，當(dāng)∠BDA=100°時(shí)，∠EDC=______（度），∠AED=______（度）；(2)如圖2，若AC=DC，證明：△ABD≌△DCE；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，直接寫出此時(shí)∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)30，80；(2)證明見解析；(3)△ADE的形狀可以是等腰三角形，∠BDA的度數(shù)為為115°或100°．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠EDC=30°，然后利用∠EDC=180°?∠ADB?∠ADE=30°，∠AED=∠EDC+∠C=80°，即可得解；（2）首先推導(dǎo)出AB=DC進(jìn)一步推導(dǎo)出∠DAC=∠ADC=12180°?50°=65°，利用外角的性質(zhì)得到∠BAD=∠CDE=15°，利用（3）分三種情況討論：①當(dāng)DA=DE時(shí)，②當(dāng)AD=AE時(shí)，③當(dāng)EA=ED時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵∠C=∠B=50°，∴AB=AC，∵∠ADE=50°，∠BDA=100°，∵∠EDC=180°?∠ADB?∠ADE=30°，∴∠AED=∠EDC+∠C=30°+50°=80°，故答案為：30，80；（2）證明：∵AC=DC，AB=AC，∴AB=DC，∵∠C=50°，∴∠DAC=∠ADC=1∴∠BAD=65°?50°=15°，∴∠CDE=65°?50°=15°，∴∠BAD=∠CDE，在△ABD和△DCE中，∠B=∠CAB=DC∴△ABD≌△DCEASA（3）解：△ADE的形狀可以是等腰三角形，∠BDA的度數(shù)為115°或100°，理由如下:∵∠B=∠C=50°，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?50°?50°=80°，分三種情況討論：①當(dāng)DA=DE時(shí)，∠DAE=∠DEA，∵∠ADE=50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，∴∠DAE=180°?50°∴∠BAD=∠BAC?∠DAE=80°?65°=15°，∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴∠BDA=180°?∠B?∠BAD=180°?50°?15°=115°，②當(dāng)AD=AE時(shí)，∠AED=∠ADE=50°，∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠DAE=180°?∠AED?∠ADE=180°?50°?50°=80°，又∵∠BAC=80°，∴∠DAE=∠BAE，∴點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意；③當(dāng)EA=ED時(shí)，∠DAE=∠ADE=50°，∴∠BAD=∠BAC?∠DAE=80°?50°=30°，∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴∠BDA=180°?∠B?∠BAD=180°?50°?30°=100°，綜上所述，△ADE的形狀可以是等腰三角形，∠BDA的度數(shù)為為115°或100°．【題型8等邊三角形的判定云性質(zhì)綜合】32．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，連接CD，BE交于點(diǎn)F，求證：(1)BE=DC；(2)FA平分∠DFE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，進(jìn)而可得∠DAC=∠BAE，利用“SAS”證明（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，利用“AAS”證明△DAM≌△BAN，由全等三角形的性質(zhì)可得【詳解】（1）證明：∵△ABD，△AEC是等邊三角形，∴AD=AB，∵∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△DAC≌△BAESAS∴BE=DC；（2）證明：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如下圖，∴∠DMA=∠BNA=90°，∵△DAC≌∴∠ADC=∠ABE，在△DAM和△BAN中，∠ADC=∠ABE∠DMA=∠BNA∴△DAM≌△BANAAS∴AM=AN，∴FA平分∠DFE．33．（24-25八年級(jí)上·湖北宜昌·期中）已知：在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD=BE．(1)如圖1，求證：DE=DC；(2)如圖2，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且CF+BE=10，求AF的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程見詳解(2)2【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DM∥BC，可得△ADM是等邊三角形，BD=CM，DM=BE，∠DBE=∠DMC，證明△DMC≌△EBDSAS（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DN∥BC，由（1）的證明可得，△ADN是等邊三角形，BD=CN，由等邊三角形的性質(zhì)，外角和的性質(zhì)，對(duì)頂角相等的知識(shí)可得∠ADF=∠BDE=30°，AD=2AF=BD=BE，DN=2NF=AD，則有CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，根據(jù)CF+BE=10，得到3AF+2AF=10，由此即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DM∥BC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC，∵DM∥BC，∴∠ADM=∠ABC=60°,∠AMD=∠ACB=60°，∴△ADM是等邊三角形，∴AD=DM=AM，∴AB?AD=AC?AM，即BD=CM，∵AD=BE，∴DM=BE，∵∠ABC=∠AMD=60°，∴∠DBE=∠DMC=180°?60°=120°，在△DMC和△EBD中，DM=EB∴△DMC≌△EBDSAS∴DE=DC；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DN∥BC，由（1）的證明可得，△ADN是等邊三角形，∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴AD=BD=1∵AD=BE，∴BE=BD，∴△BDE是等腰三角形，則∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=60°，∴∠E=∠BDE=30°，∴∠ADF=∠BDE=30°，在△ADF中，∠A=60°，∴∠AFD=180°?∠ADF?∠A=180°?30°?60°=90°，∴AD=2AF=BD=BE，∵∠ADN=60°,∠ADF=30°，∴∠FDN=30°，且∠DFN=90°，∴DN=2NF=AD，∴AF=FN，由（1）可得BD=CN，∴CN=2NF=2AF，∴CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，∵CF+BE=10，∴3AF+2AF=10，解得，AF=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角和的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合，掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（24-25八年級(jí)上·江西南昌·期中）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點(diǎn)P，求證：(1)△ABE≌△CAD；(2)BP=2PQ.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30°（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等；（2）通過(guò)全等的性質(zhì)得到∠ABE=∠CAD，證得∠BPQ=60°，再根據(jù)BQ⊥AD，得到∠PBQ=30°，進(jìn)而得BP=2PQ.【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，AB=AC∠BAE=∠C∴△ABE≌△CADSAS（2）解：由（1）知：△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠BPQ=∠ABE+∠PAB=∠CAD+∠PAB=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=90°?∠BPQ=90°?60°=30°，∴BP=2PQ.35．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．(1)求證：AD=BE；(2)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)求出線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)AE=BE+2CM，理由見解析【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，進(jìn)而證明△ACD≌△BCESAS（2）同（1）可證△ACD≌△BCESAS，推出AD=BE．再根據(jù)△DCE為等腰直角三角形，得出DM=ME=CM，即可得出AE=AD+DE=BE+2CM【詳解】（1）證明：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB?∠DCB=∠DCE?∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（2）解：AE=BE+2CM，理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴CA=CB，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB?∠DCB=∠DCE?∠DCB，即∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE．∵△DCE為等腰直角三角形，CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【題型9含30°角的直角三角形的性質(zhì)】36．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若∠B=30°，BC=8cm，則CD的長(zhǎng)為（

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求AC=12BC=4cm，根據(jù)角度關(guān)系求出【詳解】解：∵∠BAC=90°，∠B=30°，BC=8cm∴∠C=90°?∠B=60°，AC=1∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°?∠C=30°，∴CD=1∴CD的長(zhǎng)為2cm故選：B．37．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=24，則BD的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，在Rt△ABC中，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)先求得BC=12，在Rt△BCD中，同理可得【詳解】解：在Rt△ABC∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=24，∴BC=1在Rt△BCD∵∠B=90°?∠A=90°?30°=60°，∴∠BCD=90°?∠B=30°，∴BD=1故答案為：638．（24-25八年級(jí)上·上?！て谀┤鐖D，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠CBA，且交AC于點(diǎn)D，AC=1，那么AD的長(zhǎng)是．【答案】2【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)、角平分線定義以及等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．由直角三角形的性質(zhì)和角平分線定義得∠CBD=∠ABD=30°=∠A，則BD=2CD，AD=BD=2CD，得AC=3CD，再求出CD=1【詳解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠ABD=30°=∠A，∴BD=2CD，AD=BD=2CD，∴AC=3CD，∵AC=1，∴CD=1∴AD=AC?CD=1?故答案為：2339．（24-25八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=8，D是BC邊上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E．若EC=3，則DB的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握“直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”是解本題的關(guān)鍵．首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠C=60°，AB=BC=8，求出∠EDC=30°可得CD=2CE=6，從而可得答案．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=60°，AB=BC=8∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠EDC=90°?60°=30°∵CE=3∴CD=2CE=6∴BD=BC?DC=2．故答案為：2．【題型10將軍飲馬-最短路徑問(wèn)題】40．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°【答案】D【分析】連接BE，則BE的長(zhǎng)度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解決問(wèn)題．本題考查的是最短線路問(wèn)題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接BE，與AD交于點(diǎn)P，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE≥BE，即BE長(zhǎng)就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PCB+∠PBC=30°+30°=60°，故選：D．41．（24-25八年級(jí)上·福建·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，點(diǎn)P、Q分別是AB，AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ+BQ的最小值為（）

A．7 B．8 C．9 D．14【答案】A【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱中的最短路線問(wèn)題、垂線段最短等知識(shí)，找出點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)P關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接QP'，由△AQP≌△AQP'，得PQ=QP'，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，即當(dāng)BP'⊥AC時(shí)，【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接QP'

在△AQP和△AQPAP=A∴△AQP≌△AQP∴PQ=QP∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP∴當(dāng)BP'⊥AC時(shí)，BQ+QP'的值最小，此時(shí)Q與D重合，P在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14∴BC=1∴PQ+BQ的最小值是7，故選：A．42．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，在△ABC中，直線m是線段BC的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若AB=7，AC=4，BC=5，則△APC周長(zhǎng)的最小值是（

）A．12 B．11 C．9 D．7【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題中的“將軍飲馬”問(wèn)題，解法是：作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡的對(duì)稱點(diǎn)，由于點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，AP+CP值的最小，求出AB長(zhǎng)度即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)直線m交AB于D，連接BP，如圖所示：∵直線m是BC的垂直平分線，∴B、C關(guān)于直線m對(duì)稱，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長(zhǎng)，∵△APC周長(zhǎng)=AP+PC+AC，且AP+CP的最小值等于AB，∴△APC周長(zhǎng)的最小值是AB+AC=7+4=11，故選：B．43．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，A、B、A1三點(diǎn)在一條直線上，且△ABC≌△A1BC1．若D為線段A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)找對(duì)稱點(diǎn)，形成兩點(diǎn)之間的線段來(lái)解決最短問(wèn)題，連接CA1交BC1于點(diǎn)E，點(diǎn)C、A1關(guān)于直線BC1對(duì)稱，推出當(dāng)點(diǎn)